1. Цели освоения дисциплины
| 1.1. | Обучение основным понятиям и методам теории обыкновенных дифференциальных уравнений, являющихся одним из мощных средств для анализа явлений и процессов различной природы и разработки эффективных математических методов решения задач естествознания, техники, экономики и управления; овладение основными понятиями теории дифференциальных уравнений и методами качественного исследования и решения уравнений и систем уравнений; ознакомление студентов с начальными навыками математического моделирования |
|---|
2. Место дисциплины в структуре ООП
| Цикл (раздел) ООП: Б1.О.04 |
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
| ОПК-3 | Способен применять и модифицировать математические модели для решения задач в области профессиональной деятельности |
| ОПК-3.1 | Демонстрирует навыки применения современного математического аппарата для построения адекватных математических моделей реальных процессов, объектов и систем для решения задач в области своей профессиональной деятельности |
| ОПК-3.2 | Имеет способность критически переосмысливать накопленный опыт, модифицировать при необходимости вид и характеристики разрабатываемой математической модели. |
| ОПК-3.3 | Умеет применять на практике математические модели и компьютерные технологии для решения различных задач в области своей профессиональной деятельности. |
| В результате освоения дисциплины обучающийся должен | |
| 3.1. | Знать: |
|---|---|
| 3.1.1. | об основных методах решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными первого порядка |
| 3.2. | Уметь: |
| 3.2.1. | знать основные понятия и теоремы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными первого порядка; знать и уметь применять основные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем уравнений, уравнений с частными производными первого порядка |
| 3.3. | Иметь навыки и (или) опыт деятельности (владеть): |
| 3.3.1. | применения качественного анализа решений; математического моделирования |
4. Структура и содержание дисциплины
| Код занятия | Наименование разделов и тем | Вид занятия | Семестр | Часов | Компетенции | Литература |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Раздел 1. Понятие дифференциального уравнения | ||||||
| 1.1. | Понятие дифференциального уравнения. Поле направлений. Частное и общее решения. Интегральные кривые, векторное поле, фазовые траектории. Элементарные приемы интегрирования: уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним. | Лекции | 4 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л1.4, Л1.2, Л1.1 |
| 1.2. | Уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения. | Сам. работа | 4 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1 |
| 1.3. | Уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения. | Сам. работа | 4 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л1.3, Л1.2, Л1.1 |
| Раздел 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка | ||||||
| 2.1. | Однородные и квазиоднородные уравнения. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли и Риккати. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. | Лекции | 4 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л1.4, Л1.1 |
| 2.2. | Однородные уравнения. Уравнения Бернулли и Риккати . Уравнения в полных дифференциалах. | Лабораторные | 4 | 3 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л1.4, Л1.2, Л1.1 |
| 2.3. | Однородные уравнения. Уравнения Бернулли и Риккати . Уравнения в полных дифференциалах. | Сам. работа | 4 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л1.3, Л1.2 |
| 2.4. | Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка. | Лекции | 4 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л1.4, Л1.1 |
| 2.5. | Теорема существования и единственности. | Лабораторные | 4 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л2.2, Л1.4, Л1.2 |
| 2.6. | Теорема существования и единственности. | Сам. работа | 4 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л2.2, Л1.4, Л1.2, Л1.1 |
| 2.7. | Простейшие типы уравнений, не разрешенных относительно производной. Метод введения параметра. Уравнения Лагранжа и Клеро. | Лекции | 4 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л2.2, Л1.4, Л1.2 |
| 2.8. | Уравнения, не разрешенные относительно производной. | Лабораторные | 4 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л2.2, Л1.4, Л1.2 |
| 2.9. | Уравнения, не разрешенные относительно производной. | Сам. работа | 4 | 10 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л2.2, Л1.3, Л1.2 |
| 2.10. | Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной. | Лекции | 4 | 8 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л1.4, Л1.1 |
| 2.11. | Теорема существования и единственности. | Лабораторные | 4 | 9 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л2.2, Л1.2, Л1.1 |
| 2.12. | Теорема существования и единственности. | Сам. работа | 4 | 10 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л2.2, Л1.3, Л1.2, Л1.1 |
| 2.13. | Продолжение решений. Интервал существования решения уравнения. Непрерывная зависимость решения от параметра. Дифференцируемость решения по параметру. | Лекции | 4 | 4 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л1.4, Л1.2 |
| 2.14. | Разные уравнения первого порядка (повторение). | Лабораторные | 4 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л2.2, Л1.4, Л1.2 |
| 2.15. | Разные уравнения первого порядка (повторение). | Сам. работа | 4 | 42 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л2.2, Л1.4, Л1.2, Л1.1 |
| Раздел 3. Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков | ||||||
| 3.1. | Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения высокого порядка. Простейшие случаи понижения порядка дифференциальных уравнений. | Лекции | 4 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л2.2, Л1.3, Л1.4, Л1.2 |
| 3.2. | Уравнения, допускающие понижение порядка. | Лабораторные | 4 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л1.3, Л1.1 |
| 3.3. | Уравнения, допускающие понижение порядка. | Сам. работа | 4 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л1.3, Л1.1 |
| 3.4. | Линейные уравнения высокого порядка. Линейная зависимость функций и определитель Вронского. Понижения порядка линейного дифференциального уравнения. Формула Лиувилля-Остроградского. Фундаментальная система решений и общее решение линейного однородного уравнения. | Лекции | 4 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л2.2, Л1.3, Л1.4 |
| 3.5. | Линейные однородные уравнения с переменными коэффициентами. Понижения порядка линейного уравнения. | Лабораторные | 4 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1 |
| 3.6. | Линейные однородные уравнения с переменными коэффициентами. Понижения порядка линейного уравнения. | Сам. работа | 4 | 4 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1 |
| 3.7. | Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Однородные уравнения Эйлера. | Лекции | 4 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л1.4, Л1.2, Л1.1 |
| 3.8. | Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Однородные уравнения Эйлера. | Лабораторные | 4 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л2.2, Л1.4, Л1.2, Л1.1 |
| 3.9. | Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Однородные уравнения Эйлера. | Сам. работа | 4 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л1.4, Л1.1 |
| 3.10. | Линейные неоднородные уравнения. Метод вариации постоянных. Неоднородные уравнения Эйлера. | Лекции | 4 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л2.2, Л1.4, Л1.2 |
| 3.11. | Линейные неоднородные уравнения, метод вариации постоянных. Неоднородные уравнения Эйлера. | Лабораторные | 4 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л1.4, Л1.2 |
| 3.12. | Линейные неоднородные уравнения, метод вариации постоянных. Неоднородные уравнения Эйлера. | Сам. работа | 4 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л1.4, Л1.1 |
| 3.13. | Краевая задача для линейного уравнения второго порядка. Функция Грина. | Лекции | 4 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л1.4, Л1.2 |
| 3.14. | Краевые задачи, функция Грина. | Лабораторные | 4 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л2.2, Л1.3, Л1.2 |
| 3.15. | Краевые задачи, функция Грина. | Сам. работа | 4 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л2.2, Л1.3, Л1.2 |
| Раздел 4. Системы дифференциальных уравнений | ||||||
| 4.1. | Теорема существования и единственности решения задачи Коши для системы уравнений. Интегрирование систем дифференциальных уравнений путем сведения к одному уравнению высокого порядка. Нахождение интегрируемых комбинаций. Первые интегралы. | Лекции | 4 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л1.2, Л1.1 |
| 4.2. | Интегрирование системы дифференциальных уравнений путем сведения к одному уравнению. Нахождение интегрируемых комбинаций. | Лабораторные | 4 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1 |
| 4.3. | Интегрирование системы дифференциальных уравнений путем сведения к одному уравнению. Нахождение интегрируемых комбинаций. | Сам. работа | 4 | 6 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л2.2, Л1.4, Л1.2 |
| 4.4. | Системы линейных однородных уравнений. Определитель Вронского. | Лекции | 4 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л2.2, Л1.4, Л1.2 |
| 4.5. | Системы линейных однородных уравнений. Определитель Вронского. | Лабораторные | 4 | 3 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1 |
| 4.6. | Системы линейных однородных уравнений. Определитель Вронского. | Сам. работа | 4 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л1.4, Л1.2 |
| 4.7. | Фундаментальная система решений и общее решение линейной однородной системы уравнений. Системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами. Системы линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод вариации постоянных. | Лекции | 4 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1 |
| 4.8. | Линейные однородные системы с постояннми коэффициентами (простые корни характеристического уравнения). Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами (кратные корни характеристического уравнения). Линейные неоднородные системы. Метод вариации постоянных. | Лабораторные | 4 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1 |
| 4.9. | Линейные однородные системы с постояннми коэффициентами (простые корни характеристического уравнения). Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами (кратные корни характеристического уравнения). Линейные неоднородные системы. Метод вариации постоянных. | Сам. работа | 4 | 6 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л2.2, Л1.2, Л1.1 |
| 4.10. | Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения неоднородной системы уравнений с постоянными коэффициентами и правыми частями специального вида (квазимногочлены). | Лекции | 4 | 2 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л1.4, Л1.1 |
| 4.11. | Метод неопределенных коэффициентов нахождения частного решения неоднородной системы уравнений с постоянными коэффициентами. | Лабораторные | 4 | 5 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1 |
| 4.12. | Метод неопределенных коэффициентов нахождения частного решения неоднородной системы уравнений с постоянными коэффициентами. | Сам. работа | 4 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л2.2, Л1.3, Л1.2, Л1.1 |
| Раздел 5. Теория устойчивости | ||||||
| 5.1. | Устойчивость решения по Ляпунову. | Лекции | 5 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л1.4, Л1.1 |
| 5.2. | Устойчивость решения по Ляпунову. | Практические | 5 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л2.2, Л1.4, Л1.2 |
| 5.3. | Устойчивость решения по Ляпунову. | Сам. работа | 5 | 27 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л2.2, Л1.4, Л1.2 |
| 5.4. | Фазовые траектории двумерной линейной системы с постоянными коэффициентами. Особые точки: седло, узел, фокус, центр. | Лекции | 5 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л2.2, Л1.2, Л1.1 |
| 5.5. | Фазовые траектории двумерной линейной системы с постоянными коэффициентами. | Практические | 5 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л2.2, Л1.2, Л1.1 |
| 5.6. | Фазовые траектории двумерной линейной системы с постоянными коэффициентами. | Сам. работа | 5 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л2.2, Л1.2, Л1.1 |
| 5.7. | Теоремы Ляпунова об устойчивости и об асимптотической устойчивости. Теорема Четаева о неустойчивости | Лекции | 5 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л1.4, Л1.1 |
| 5.8. | Теоремы Ляпунова об устойчивости и об асимптотической устойчивости, Четаева о неустойчивости. | Практические | 5 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л2.2, Л1.4, Л1.2 |
| 5.9. | Теоремы Ляпунова об устойчивости и об асимптотической устойчивости, Четаева о неустойчивости. | Сам. работа | 5 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л2.2, Л1.3, Л1.2, Л1.1 |
| 5.10. | Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению и ее применение. | Лекции | 5 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л1.3, Л1.1 |
| 5.11. | Исследование на устойчивость по первому приближению. | Лекции | 5 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л1.4, Л1.2 |
| 5.12. | Исследование на устойчивость по первому приближению. | Сам. работа | 5 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л2.2, Л1.4, Л1.2 |
| Раздел 6. Уравнения с частными производными первого порядка | ||||||
| 6.1. | Связь характеристик с решениями. Первые интегралы. | Лекции | 5 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л2.2, Л1.4, Л1.2 |
| 6.2. | Связь характеристик с решениями. Первые интегралы | Практические | 5 | 24 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л2.2, Л1.4, Л1.2 |
| 6.3. | Связь характеристик с решениями. Первые интегралы | Сам. работа | 5 | 1 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л2.2, Л1.4, Л1.2 |
| 6.4. | Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка. Уравнения Пфаффа. | Лекции | 5 | 20 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л2.2, Л1.4, Л1.2 |
| 6.5. | Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка. Уравнения Пфаффа. | Практические | 5 | 3 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л2.2, Л1.4, Л1.2 |
| 6.6. | Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка. Уравнения Пфаффа. | Сам. работа | 5 | 30 | ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л2.1, Л2.2, Л1.4, Л1.2, Л1.1 |
5. Фонд оценочных средств
| 5.1. Контрольные вопросы и задания для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины |
| Методические материалы, лекции, сборники задач, вопросы для подготовки к экзамену и перечень необходимой литературы представлен на образовательном портале АлтГУ https://portal.edu.asu.ru/course/view.php?id=4439 и бесплатных онлайн библиотеках. ОЦЕНКА СФОРМИРОВАННОСТИ КОМПЕТЕНЦИИ ОПК-3 Способен применять и модифицировать математические модели для решения задач в области профессиональной деятельности. ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ ЗАКРЫТОГО ТИПА - https://disk.yandex.ru/i/_Aj1GcmgFP9zzw ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ ОТКРЫТОГО ТИПА - https://disk.yandex.ru/i/PhxUE6wFJqVOKg КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ: Каждое задание оценивается 3 баллами. Максимальная сумма баллов за ИПЗ – 30 баллов. Оценивание КИМ в целом: «отлично» – верно выполнено 85-100% заданий (26-30 баллов); «хорошо» – верно выполнено 70-84% заданий (22-25 баллов); «удовлетворительно» – верно выполнено 50- 69% заданий (14-21 баллов); «неудовлетворительно» – верно выполнено 49% или менее 49% заданий (0-13 баллов). |
| 5.2. Темы письменных работ для проведения текущего контроля (эссе, рефераты, курсовые работы и др.) |
| 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. 1.1 Основные понятия и определения. 1.2 Теоремы существования и единственности решения 1.3 Однородные уравнения 1.4 Линейные уравнения с разделяющимися переменными 1.5 Однородные уравнения 1.6 Уравнения в полных дифференциалах 1.7 Уравнения, не разрешенные относительно производной 2. Дифференциальные уравнения высших порядков 2.1 Уравнения, допускающие понижение порядка 2.2 Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка 2.3 Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами 2.4 Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами 2.5 Однородные уравнения Эйлера 2.6 Неоднородные уравнения Эйлера 2.7 Уравнения Лагранжа 2.8 Линейные уравнения с переменными коэффициентами 2.9 Краевые задачи. Функция Грина 3. Система дифференциальных уравнений 3.1 Основные понятия и определения 3.2 Системы линейных дифференциальных уравнений 3.3 Системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными ко-эффициентами 3.4 Система линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами 3.5 Произвольные системы линейных неоднородных уравнений 3.6 Системы нелинейных дифференциальных уравнений 4. Устойчивость решений дифференциальных уравнений 4.1 Понятие устойчивости решения 4.2 Исследование устойчивости методом функций Ляпунова 4.3 Простейшие типы точек покоя 4.4 Исследование на устойчивость по первому приближению 5. Уравнения с частными производными первого порядка 5.1 Линейные и квазилинейные уравнения 5.2 Уравнения Пфаффа |
| 5.3. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации |
| Вопросы к зачету: 1. Примеры, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям (радиактивный распад, второй закон Ньютона, аэрофинишер), задача Коши. 2. Список стандартных уравнений: уравнения с разделяющимися переменными, однород-ные дифференциальные уравнения первого порядка, линейные дифференциальные урав-нения первого порядка (метод вариации постоянной), уравнения Бернулли и Рикатти, уравнения в полных дифференциалах, интегрирующий множитель. 3. Лемма Гронуолла. 4. Уравнения Лагранжа и Клеро. 5. Уравнение Эйлера. 6. Теорема существования решения задачи Коши дифференциального уравнения первого порядка. 7. Теорема единственности для дифференциальных уравнений первого порядка. 8. Непродолжаемое решение дифференциального уравнения. 9. Теорема существования решения задачи Коши нормальной системы дифференциаль-ного уравнения первого порядка. 10. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной. Огибаю-щая однопараметрического семейства кривых, свойства (теорема). 11. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной. Особое решение, свойства (теорема). 12. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной. Огибающая и особое решение (теорема). 13. Общее решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений 1-го по-рядка с постоянными коэффициентами. 14. Оценка решений нормальной системы линейных неоднородных уравнений первого порядка. 15. Зависимость решения задачи Коши нормальной системы дифференциальных уравне-ний от начальных условий и параметров. 16. Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка, метод стрельбы. 17. Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка, прямая и обрат-ная прогонка. 18. Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка, метод прогонки. 19. Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка, функция Грина. Вопросы к экзамену: Список вопросов для проверки основных знаний (без подготовки) 1. Примеры, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям (радиактивный распад, второй закон Ньютона, аэрофинишер), задача Коши. 2. Список стандартных уравнений: уравнения с разделяющимися переменными, однород-ные дифференциальные уравнения первого порядка, линейные дифференциальные урав-нения первого порядка (метод вариации постоянной), уравнения Бернулли и Рикатти, уравнения в полных дифференциалах, интегрирующий множитель. 3. Лемма Гронуолла. 4. Уравнения Лагранжа и Клеро. 5. Уравнение Эйлера. 6. Системы дифференциальных уравнений, основные понятия и определения. 7. Задача Коши для нормальной системы уравнений, геометрическая интерпретация. 8. Общее решение системы дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами (случай кратных корней характеристического уравнения). 9. Общее решение системы дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами (случай простых корней характеристического уравнения). 10. Фундаментальная система решений линейной однородной системы уравнений, общее решение линейной однородной системы. 11. Определитель Вронского системы дифференциальных уравнений 1-го порядка и его ос-новные свойства. 12. Дифференцируемость по параметру решения нормальной системы дифференциальных уравнений. 13. Однородная система линейных уравнений, основные свойства решений. 14. Общее решение неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений перво-го порядка. 15. Формула Лиувилля для неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка. 16. Решение неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений первого по-рядка методом вариации постоянных. 17. Сведение дифференциального уравнения n-го порядка к системе уравнений первого по-рядка, постановка начальных условий. 18. Понятие устойчивости, устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость. 19. Понятие характеристической системы квазилинейного уравнения в частных производ-ных первого порядка (характеристическая поверхность). Список вопросов для подготовки с конспектом 1. Теорема существования решения задачи Коши дифференциального уравнения первого порядка. 2. Теорема единственности для дифференциальных уравнений первого порядка. 3. Непродолжаемое решение дифференциального уравнения. 4. Теорема существования решения задачи Коши нормальной системы дифферен-циального уравнения первого порядка. 5. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной. Оги-бающая однопараметрического семейства кривых, свойства (теорема). 6. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной. Осо-бое решение, свойства (теорема). 7. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной. Оги-бающая и особое решение (теорема). 8. Общее решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами. 9. Оценка решений нормальной системы линейных неоднородных уравнений пер-вого порядка. 10. Зависимость решения задачи Коши нормальной системы дифференциальных уравнений от начальных условий и параметров. 11. Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка, метод стрельбы. 12. Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка, прямая и обратная прогонка. 13. Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка, метод про-гонки. 14. Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка, функция Грина. 15. Первая теорема Ляпунова об устойчивости. 16. Вторая теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. 17. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. 18. Теорема Ляпунова о неустойчивости. 19. Теорема Четаева о неустойчивости. 20. Необходимое и достаточное условие асимптотической устойчивости положения равновесия однородной линейной системы уравнений с постоянными коэффици-ентами. 21. Квазилинейное уравнение в частных производных первого порядка, связь его ре-шения с решением характеристической системы. 22. Решение задачи Коши для квазилинейного уравнения в частных производных (слу-чай разрешимости относительно параметров). 23. Задача Коши для нелинейного уравнения первого порядка с частными производ-ными. 24. Уравнение Пфаффа, теорема о локальной разрешимости. КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ: "Отлично": Студентом дан исчерпывающий и незамедли-тельный ответ на вопрос из списка вопросов для проверки основных знаний (без под-готовки); дан полный, в логической последовательности развернутый ответ на вопрос из второй части, где он продемонстрировал достаточно глубокое осмысление дисциплины; самостоятельно, и ис-черпывающе ответил на дополнительные вопросы, решил предложенные практические задания. "Хорошо": Студентом дан правильный ответ на вопрос из списка вопросов для проверки основных знаний (без подготовки); Студентом дан развернутый ответ на вопрос из второй части, подготовленный с использование собственного рукописного конспекта, однако допускается неточность в ответе. Решил пред-ложенные практические задания с небольшими неточностями. "Удовлетворитеьно": Студентом дан в правильный ответ на вопрос из списка вопросов для проверки основных зна-ний (без подготовки); Студентом дан ответ на вопрос из второй части, свидетельствующий в основном о знании про-цессов изучаемой дисциплины, отличающийся недостаточной глубиной и полнотой раскрытия темы, знанием основных вопросов теории, слабо сформированными навыками анализа явлений, процессов, недостаточным умением давать аргументированные ответы и приводить примеры, недостаточно свободным владением монологической речью, логичностью и последовательностью ответа. Допускается несколько ошибок в содержании ответа и решении практических заданий. "Неудовлетворитеьно": Студентом не дано правильного ответа на во-прос из первой части. Решение практических заданий не выполнено. Студент не способен ответить на вопросы даже при дополнительных наводящих вопросах преподавателя. |
| Приложения |
6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
| 6.1. Рекомендуемая литература | ||||
| 6.1.1. Основная литература | ||||
| Авторы | Заглавие | Издательство, год | Эл. адрес | |
| Л1.1 | Пономаренко А. К. , Сахаров В. Ю. , Черняев П. К. | Индивидуальные задания по обыкновенным дифференциальным уравнениям: учебное пособие : | Издательство Санкт-Петербургского Государственного Университета, 2016 | biblioclub.ru |
| Л1.2 | Литвин Д. Б. , Мелешко С. В. , Мамаев И. И. | Обыкновенные дифференциальные уравнения: учебное пособие : | Ставропольский государственный аграрный университет, 2017 | biblioclub.ru |
| Л1.3 | Хеннер В.К., Белозерова Т.С., Хеннер М.В. | Обыкновенные дифференциальные уравнения, вариационное исчисление, основы специальных функций и интегральных уравнений: | Лань, 2017 | e.lanbook.com |
| Л1.4 | Жабко А.П., Котина Е.Д., Чижова О.Н. | Дифференциальные уравнения и устойчивость: | Лань, 2015 | e.lanbook.com |
| 6.1.2. Дополнительная литература | ||||
| Авторы | Заглавие | Издательство, год | Эл. адрес | |
| Л2.1 | Бибиков, Ю.Н. | Курс обыкновенных дифференциальных уравнений: | СПб. : Лань // ЭБС "Лань", 2011 | e.lanbook.com |
| Л2.2 | А. Б. Васильева [и др.] | Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах: учебное пособие | СПб. ; М. ; Краснодар : Лань, 2010 | e.lanbook.com |
| 6.2. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет" | ||||
| Название | Эл. адрес | |||
| Э1 | Электронная библиотечная система Алтайского государственного университета | www.elibrary.ru | ||
| Э2 | Электронно-библиотечная система издательства "Лань" | www.e.lanbook.com | ||
| Э3 | Электронно-библиотечная система "Университетская библиотека Online" | www.biblioclub.ru | ||
| Э4 | Образовательный курс Дифференциальные уравнения на платформе MOODLE | portal.edu.asu.ru | ||
| 6.3. Перечень программного обеспечения | ||||
| Программное обеспечение для проведения практических работ: Microsoft Office Excel, Microsoft Office Word, Adobe Reader. Microsoft Windows 7-Zip Chrome (http://www.chromium.org/chromium-os/licenses), (бессрочно); 7-Zip (http://www.7-zip.org/license.txt), (бессрочно); AcrobatReader (http://wwwimages.adobe.com/content/dam/Adobe/en/legal/servicetou/Acrobat_com_Additional_TOU-en_US-20140618_1200.pdf), (бессрочно); ASTRA LINUX SPECIAL EDITION (https://astralinux.ru/products/astra-linux-special-edition/), (бессрочно); LibreOffice (https://ru.libreoffice.org/), (бессрочно); Веб-браузер Chromium (https://www.chromium.org/Home/), (бессрочно); Антивирус Касперский (https://www.kaspersky.ru/), (до 23 июня 2024); Архиватор Ark (https://apps.kde.org/ark/), (бессрочно); Okular (https://okular.kde.org/ru/download/), (бессрочно); Редактор изображений Gimp (https://www.gimp.org/), (бессрочно) | ||||
| 6.4. Перечень информационных справочных систем | ||||
| Сайт библиотеки АлтГУ: www.lib.asu.ru; электронно-библиотечная система издательства «Лань»: www.e.lanbook.com; электронно-библиотечная система «Университетская библиотека online»: www.biblioclub.ru; свободная энциклопедия «Википедия»: http://ru.wikipedia.org единый образовательный портал http://portal.edu.asu.ru/course/index.php?categoryid=96 | ||||
7. Материально-техническое обеспечение дисциплины
| Аудитория | Назначение | Оборудование |
|---|---|---|
| Учебная аудитория | для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), проведения практик | Стандартное оборудование (учебная мебель для обучающихся, рабочее место преподавателя, доска) |
| Помещение для самостоятельной работы | помещение для самостоятельной работы обучающихся | Компьютеры, ноутбуки с подключением к информационно-телекоммуникационной сети «Интернет», доступом в электронную информационно-образовательную среду АлтГУ |
8. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
| 1. Для успешного освоения содержания дисциплины необходимо посещать лекции, принимать активное участие в работе на практическом занятии, а также выполнять задания, предлагаемые преподавателем для самостоятельного изучения. 2. Лекция. -На лекцию приходите не опаздывая, так как это неэтично. - На лекционных занятиях необходимо конспектировать изучаемый материал. - Для систематизации лекционного материала, который будет полезен при подготовке к итоговому контролю знаний, записывайте на каждой лекции тему, вопросы для изучения, рекомендуемую литературу. - В каждом вопросе выделяйте главное, обязательно запишите ключевые моменты (определение, факты, законы, правила и т.д.), подчеркните их. - Если по содержанию материала возникают вопросы, не нужно выкрикивать, запишите их и задайте по окончании лекции или на семинарском занятии. - Перед следующей лекцией обязательно прочитайте предыдущую, чтобы актуализировать знания и осознанно приступить к освоению нового содержания. 3.Практическое занятие – это форма работы, где студенты максимально активно участвуют в обсуждении темы. - Для подготовки к практическому занятию необходимо взять план занятия (у преподавателя). - Самостоятельную подготовку к занятию необходимо начинать с изучения понятийного аппарата темы. Рекомендуем использовать справочную литературу, учебники. - Важно запомнить, что любой источник должен нести достоверную информацию, особенно это относится к Internet-ресурсам. При использовании Internet - ресурсов в процессе подготовки не нужно их автоматически «скачивать», они должны быть проанализированы. Не нужно «скачивать» готовые рефераты, так как их однообразие преподаватель сразу выявляет, кроме того, они могут быть сомнительного качества. - В процессе изучения темы анализируйте несколько источников. Используйте научные специальные журналы. - Полезным будет работа с электронными учебниками и учебными пособиями в Internet-библиотеках. Зарегистрируйтесь в них: университетская библиотека Онлайн (http://www.biblioclub.ru/) и электронно-библиотечная система «Лань» (http://e.lanbook.com/). - При возникновении трудностей в процессе подготовки взаимодействуйте с преподавателем, консультируйтесь по самостоятельному изучению темы. 4. Самостоятельная работа. - При изучении дисциплины не все вопросы рассматриваются на лекциях и практических занятиях, часть вопросов рекомендуется преподавателем для самостоятельного изучения. - Поиск ответов на вопросы и выполнение заданий для самостоятельной работы позволит вам расширить и углубить свои знания по курсу, применить теоретические знания в решении задач практического содержания, закрепить изученное ранее. - Эти задания следует выполнять не «наскоком», а постепенно, планомерно, следуя порядку изучения тем курса. - При возникновении вопросов обратитесь к преподавателю в день консультаций на кафедру. - Выполнив их, проанализируйте качество их выполнения. Это поможет вам развивать умения самоконтроля и оценочные компетенции. 5. Итоговый контроль. - Для подготовки к зачету/экзамену возьмите перечень примерных вопросов у преподавателя. - В списке вопросов выделите те, которые были рассмотрены на лекции, практических занятиях. Обратитесь к своим записям, выделите существенное. Для более детального изучения изучите рекомендуемую литературу. - Если в списке вопросов есть те, которые не рассматривались на лекции, на практическом занятии, изучите их самостоятельно. Если есть сомнения, задайте вопросы на консультации перед экзаменом. - Продумайте свой ответ на экзамене, его логику. Помните, что ваш ответ украсит ссылка на источник литературы, иллюстрация практики применения теоретического знания, а также уверенность и наличие авторской аргументированной позиции как будущего субъекта профессиональной деятельности. |