МИНОБРНАУКИ РОССИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Алтайский государственный университет»

Теория Галуа

рабочая программа дисциплины
Закреплена за кафедройКафедра алгебры и математической логики
Направление подготовки02.04.01. Математика и компьютерные науки
ПрофильАлгебра и дискретная математика
Форма обученияОчная
Общая трудоемкость3 ЗЕТ
Учебный план02_04_01_Математика и компьютерные науки_АиДМ-2022
Часов по учебному плану 108
в том числе:
аудиторные занятия 32
самостоятельная работа 76
Виды контроля по семестрам
зачеты: 3

Распределение часов по семестрам

Курс (семестр) 2 (3) Итого
Недель 15
Вид занятий УПРПДУПРПД
Лекции 8 8 8 8
Практические 24 24 24 24
Сам. работа 76 76 76 76
Итого 108 108 108 108

Программу составил(и):
к.ф.-м.н., Доцент, Журавлев Е.В.

Рецензент(ы):
к.ф.-м.н., Доцент, Петров Е.П.

Рабочая программа дисциплины
Теория Галуа

разработана в соответствии с ФГОС:
Федеральный государственный образовательный стандарт высшего образования - магистратура по направлению подготовки 02.04.01 Математика и компьютерные науки (приказ Минобрнауки России от 23.08.2017 г. № 810)

составлена на основании учебного плана:
02.04.01 Математика и компьютерные науки
утвержденного учёным советом вуза от 29.10.2021 протокол № 1/1.

Рабочая программа одобрена на заседании кафедры
Кафедра алгебры и математической логики

Протокол от 31.08.2023 г. № 6
Срок действия программы: 2023-2024 уч. г.

Заведующий кафедрой
Будкин Александр Иванович


Визирование РПД для исполнения в очередном учебном году

Рабочая программа пересмотрена, обсуждена и одобрена для
исполнения в 2023-2024 учебном году на заседании кафедры

Кафедра алгебры и математической логики

Протокол от 31.08.2023 г. № 6
Заведующий кафедрой Будкин Александр Иванович


1. Цели освоения дисциплины

1.1.Целями освоения дисциплины Теория Галуа являются:
1. демонстрация роли симметрии в математике;
2. получение представления о понятии эквивалентности категорий на примере полей и их расширений; применение этого понятия к конкретным задачам;
3. получение представления о структуре полей, о различных способах их описания, о до-полнительных структурах на полях и на группах Галуа, об их связях с различными раз-делами математики;
4. ознакомление с когомологической техникой.

2. Место дисциплины в структуре ООП

Цикл (раздел) ООП: Б1.О.03

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

ОПК-1Способен находить, формулировать и решать актуальные и значимые проблемы прикладной и компьютерной математики
ОПК-1.1 Знает современные методы решения классических проблем прикладной и компьютерной математики.
ОПК-1.2 Умеет формулировать концептуальную постановку проблемы исследования.
ОПК-1.3 Имеет навыки поиска актуальных задач в выбранной области алгебры и дискретной математики.
ПК-1Способен демонстрировать базовые знания математических и естественных наук при решении фундаментальных и прикладных задач в области алгебры и дискретной математики.
ПК-1.1 Знает фундаментальные основы в области математических и естественных наук.
ПК-1.2 Умеет решать стандартные задачи алгебры и дискретной математики.
ПК-1.3 Владеет навыками математического моделирования с использованием прикладных программных комплексов.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
3.1.Знать:
3.1.1.ПК-1.1. Знает фундаментальные основы в области математических и естественных наук.
ОПК-1.1. Знает современные методы решения классических проблем прикладной и компьютерной математики.
3.2.Уметь:
3.2.1.ПК-1.2. Умеет решать стандартные задачи алгебры и дискретной математики.
ОПК-1.2. Умеет формулировать концептуальную постановку проблемы исследования.
3.3.Иметь навыки и (или) опыт деятельности (владеть):
3.3.1.ПК-1.3. Владеет навыками математического моделирования с использованием прикладных программных комплексов.
ОПК-1.3. Имеет навыки поиска актуальных задач в выбранной области алгебры и дискретной математики.

4. Структура и содержание дисциплины

Код занятия Наименование разделов и тем Вид занятия Семестр Часов Компетенции Литература
Раздел 1. Алгебраические и нормальные расширения полей
1.1. Цели и задачи курса. Историческая справка об Э. Галуа. Современное состояние некоммутативной теории Галуа ассоциативных колец. Алгоритмы решения уравнений степеней 3 и 4. Примеры. Лекции 3 2 ПК-1.1, ПК-1.2, ПК-1.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.1
1.2. Алгоритмы решения уравнений степеней 3 и 4. Практические 3 4 ПК-1.1, ПК-1.2, ПК-1.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.1
1.3. Алгебраические расширения полей, строение простых алгебраических расширений, минимальный многочлен, фактор кольца. Конечные расширения. Композит полей. Конечно порожденные алгебраические расширения. Теорема о примитивном элементе. Поле разложения многочлена. Нормальные расширения и их совпадение с полями разложений. Лекции 3 1 ПК-1.1, ПК-1.2, ПК-1.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.1
1.4. Алгебраические расширения полей, строение простых алгебраических расширений, минимальный многочлен. Конечные расширения. Композит полей. Конечно порожденные алгебраические расширения.Поле разложения многочлена. Нормальные расширения. Практические 3 4 ПК-1.1, ПК-1.2, ПК-1.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.1
1.5. Группа Галуа нормального расширения: определения, примеры. Теорема Артина. Лекции 3 1 ПК-1.1, ПК-1.2, ПК-1.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.1
1.6. Группа Галуа нормального расширения. Практические 3 4 ПК-1.1, ПК-1.2, ПК-1.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.1
1.7. Алгебраические и нормальные расширения полей Сам. работа 3 30 ПК-1.1, ПК-1.2, ПК-1.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.1
Раздел 2. Основная теорема теории Галуа
2.1. Дискриминант уравнения. Описание групп Галуа многочленов. Транзитивность группы Галуа неприводимого многочлена. Алгоритм вычисления дискриминанта и групп Галуа многочленов степени 2 и 3. Кубическая резольвента для многочлена 4 степени. Алгоритм вычисления группы Галуа многочлена 4 степени. Лекции 3 1 ПК-1.1, ПК-1.2, ПК-1.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.1
2.2. Алгоритм вычисления дискриминанта и групп Галуа многочленов степени 2 и 3. Кубическая резольвента для многочлена 4 степени. Алгоритм вычисления группы Галуа многочлена 4 степени. Практические 3 4 ПК-1.1, ПК-1.2, ПК-1.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.1
2.3. Простые радикальные расширения. Резольвента Лагранжа. Примеры многочленов степени 2 и 3. Лекции 3 1 ПК-1.1, ПК-1.2, ПК-1.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.1
2.4. Простые радикальные расширения. Практические 3 4 ПК-1.1, ПК-1.2, ПК-1.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.1
2.5. Уравнения, разрешимые в радикалах. Разрешимые группы. Корневая башня подполей, вложение в нормальное расширение, имеющего нормальную башню подполей. Композит нормального расширения и произвольного расширения. Теорема “natural irrationality”. Лекции 3 1 ПК-1.1, ПК-1.2, ПК-1.3, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.1
2.6. Уравнения, разрешимые в радикалах. Практические 3 2 ПК-1.1, ПК-1.2, ПК-1.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.1
2.7. Основная теорема теории Галуа. Применения: алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел, построения с помощью циркуля и линейки. Лекции 3 1 ПК-1.1, ПК-1.2, ПК-1.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.1
2.8. Построения с помощью циркуля и линейки. Практические 3 2 ПК-1.1, ПК-1.2, ПК-1.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.1
2.9. Теория Галуа Сам. работа 3 46 ПК-1.1, ПК-1.2, ПК-1.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.1

5. Фонд оценочных средств

5.1. Контрольные вопросы и задания для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
Оценочные материалы для текущего контроля по разделам и темам дисциплины в полном объеме размещены в онлайн-курсе на образовательном портале «Цифровой университет АлтГУ» – https://portal.edu.asu.ru/course/view.php?id=11771

ОЦЕНКА СФОРМИРОВАННОСТИ КОМПЕТЕНЦИИ ОПК-1
Способен находить, формулировать и решать актуальные и значимые проблемы прикладной и компьютерной математики

ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ ЗАКРЫТОГО ТИПА
1. Пусть E – поле разложения многочлена (x^4 – 2) над полем рациональных чисел Q. Отметьте верное равенство:
1) [E : Q] = 4;
2) [E : Q] = 2;
3) [E : Q] = 8.
ОТВЕТ: 8.

2. Пусть α - корень многочлена (x^2 - 2) и β - корень многочлена (x^2 - 3). Какой из следующих элементов будет примитивным для поля разложения многочлена (x^2 - 2) (x^2 - 3) (над полем Q)?
1) α + 1;
2) 2β + 1;
3) α + β.
ОТВЕТ: α + β.

3. Пусть E – поле разложения многочлена (x^2 - 3) (x^2 - 5) над полем рациональных чисел Q. Найти степень (размерность) поля E над полем Q.
1) 4;
2) 3;
3) 2.
ОТВЕТ: 4.

4. Какому из следующих колец изоморфно фактор-кольцо R[x]/(x^2 + 1) :
1) C - поле комплексных чисел;
2) R - поле действительных чисел;
3) Q - поле рациональных чисел.
ОТВЕТ: C.

5. Пусть ε – первообразный (комплексный) корень 7-ой степени из 1. Отметьте верное равенство:
1) [Q(ε) : Q] = 2;
2) [Q(ε) : Q] = 3;
3) [Q(ε) : Q] = 6.
ОТВЕТ: [Q(ε) : Q] = 6.

6. Найти группу Галуа расширения Q(i), где i^2 = -1.
1) циклическая группа второго порядка;
2) симметрическая группа S3;
3) циклическая группа четвертого порядка.
ОТВЕТ: циклическая группа второго порядка.

7. Пусть α - корень многочлена (x^4 - 5) и i^2 = -1. Какое из следующих расширений поля Q является нормальным?
1) Q(α);
2) [Q(i, α).
ОТВЕТ: [Q(i, α).

8. Пусть E – поле разложения многочлена f(x) = x^4 + x^2 + 1 над полем рациональных чисел Q. Найти порядок группы Галуа G(E, Q).
1) 2;
2) 4;
3) 8.
ОТВЕТ: 2.

9. Пусть E – поле разложения многочлена f(x) = (x + 1)^4 + x^4 + 1 над полем рациональных чисел Q. Найти порядок группы Галуа G(E, Q).
1) 2;
2) 4;
3) 8.
ОТВЕТ: 2.

10. Пусть C(x) - поле рациональных функций над полем комплексных чисел C и σ - автоморфизм этого поля над полем комплексных чисел C такой, что σ(x) = -x. Найти поле инвариантов поля C(x) относительно этого автоморфизма.
1) C(x^2);
2) C(x^3);
3) C(x^2 - x).
ОТВЕТ: C(x^2).

11. Найти группу Галуа многочлена (x^3 + x^2 – 2x – 1) над полем рациональных чисел Q.
1) C3;
2) A3;
3) S3.
ОТВЕТ: S3.

12. Найти группу Галуа многочлена (x^3 + 3x^2 – 1) над полем рациональных чисел Q.
1) C3;
2) C2;
3) A3;
4) S3.
ОТВЕТ: A3.

13. Найти группу Галуа многочлена (x^4 + 3x^3 – 3x – 2) над полем рациональных чисел Q.
1) V;
2) C;
3) A4;
4) S4.
ОТВЕТ: S4.

14. Найти группу Галуа многочлена (x^4 + 1) над полем рациональных чисел Q.
1) V;
2) C;
3) D;
4) A4;
5) S4.
ОТВЕТ: V.

15. Найти группу Галуа многочлена (x^4 - 6x^2 + 8x + 28) над полем рациональных чисел Q.
1) D;
2) C;
3) A4;
4) S4.
ОТВЕТ: A4.

КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ: Каждое задание оценивается 1 баллом. Оценивание КИМ теоретического характера в целом:
• «зачтено» – верно выполнено более 50% заданий; «не зачтено» – верно выполнено 50% и менее 50% заданий;
• «отлично» – верно выполнено 85-100% заданий; «хорошо» – верно выполнено 70-84% заданий; «удовлетворительно» – верно выполнено 51-69% заданий; «неудовлетворительно» – верно выполнено 50% или менее 50% заданий.

ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ ОТКРЫТОГО ТИПА
1. Пусть Z[i] - кольцо целых гауссовых чисел и (3) – идеал Z[i], порожденный 3. Найти в фактор-кольце Z[i]/(3) элемент, обратный к сопряженному элементу для (1-i).
ОТВЕТ: сопряженный элемент для (2 + 2i).
2. Пусть α - корень многочлена (x^2 - 3), β - корень многочлена (x^3 - 5) и γ - корень многочлена (x^5 – 5x + 5). Найти степень (размерность) расширения Q(α, β, γ) поля Q.
ОТВЕТ: 30.
3. Пусть α - корень многочлена (x^2 - 5) и i^2 = -1 (i ∊ C). Найти примитивный элемент расширения Q(α, i) поля Q.
ОТВЕТ: (α + i).
4. Пусть C(x) - поле рациональных функций над полем комплексных чисел C и y = x^n + 1/x^n. Найти размерность поля C(x) над подполем C(y).
ОТВЕТ: 2n.
5. Пусть Q(x) - поле рациональных функций над полем рациональных чисел Q и y = x^2 - x. Найти степень [Q(x) : Q(y)].
ОТВЕТ: 2.
6. Пусть E – поле разложения многочлена (x^4 - 7) над полем Q(i). Найти степень этого расширения [E : Q(i)].
ОТВЕТ: 4.
7. Найти группу Галуа многочлена (x^2 + 3) над полем рациональных чисел Q.
ОТВЕТ: S2.
8. Найти группу Галуа многочлена (x^3 + x^2 – x - 1) над полем рациональных чисел Q.
ОТВЕТ: <1>.
9. Найти группу Галуа многочлена (x^3 + x^2 + x + 1) над полем рациональных чисел Q.
ОТВЕТ: S2.
10. Найти группу Галуа многочлена (x^3 - x^2 + 3x + 1) над полем рациональных чисел Q.
ОТВЕТ: S3.
11. Найти группу Галуа многочлена (x^4 - 2x^2 - 2x + 4) над полем рациональных чисел Q.
ОТВЕТ: S3.
12. Найти группу Галуа многочлена (x - 2)(x^4 - x^2 + 1) над полем рациональных чисел Q.
ОТВЕТ: V.
13. Найти группу Галуа многочлена (x - 5)(x^3 + 3x^2 - 1) над полем рациональных чисел Q.
ОТВЕТ: A3.
14. Найти группу Галуа многочлена (x^4 + x + 14) над полем рациональных чисел Q.
ОТВЕТ: S4.
15. Найти группу Галуа многочлена (x^4 - 2) над полем Q(i).
ОТВЕТ: C.
16. Найти группу Галуа многочлена (x^5 - 15x - 10) над полем рациональных чисел Q.
ОТВЕТ: S5.
17. Найти группу Галуа многочлена (x^5 - 55x - 11) над полем рациональных чисел Q.
ОТВЕТ: S5.
18. Найти степень поля разложения многочлена (x^2 - 3)(x^2 - 2) над полем рациональных чисел Q.
ОТВЕТ: 4.
3. Пусть α - корень многочлена (x^2 + 3). Найти группу Галуа многочлена (x^3 - 54) над полем Q(α).
ОТВЕТ: A3.
20. Найти группу Галуа многочлена (x^5 - 55x - 22) над полем рациональных чисел Q.
ОТВЕТ: S5.


КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ОТКРЫТЫХ ВОПРОСОВ.
«Отлично» (зачтено): Ответ полный, развернутый. Вопрос точно и исчерпывающе передан, терминология сохранена, студент превосходно владеет основной и дополнительной литературой, ошибок нет.
«Хорошо» (зачтено): Ответ полный, хотя краток, терминологически правильный, нет существенных недочетов. Студент хорошо владеет пройденным программным материалом; владеет основной литературой, суждения правильны.
«Удовлетворительно» (зачтено): Ответ неполный. В терминологии имеются недостатки. Студент владеет программным материалом, но имеются недочеты. Суждения фрагментарны.
«Неудовлетворительно» (не зачтено): Не использована специальная терминология. Ответ в сущности неверен. Переданы лишь отдельные фрагменты соответствующего материала вопроса. Ответ не соответствует вопросу или вовсе не дан.

ОЦЕНКА СФОРМИРОВАННОСТИ КОМПЕТЕНЦИИ ПК-1
Способен демонстрировать базовые знания математических и естественных наук при решении фундаментальных и прикладных задач в области алгебры и дискретной математики.

ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ ЗАКРЫТОГО ТИПА
1. Пусть E – поле разложения многочлена (x^4 – 2) над полем рациональных чисел Q. Отметьте верное равенство:
1) [E : Q] = 4;
2) [E : Q] = 2;
3) [E : Q] = 8.
ОТВЕТ: 8.

2. Пусть α - корень многочлена (x^2 - 2) и β - корень многочлена (x^2 - 3). Какой из следующих элементов будет примитивным для поля разложения многочлена (x^2 - 2) (x^2 - 3) (над полем Q)?
1) α + 1;
2) 2β + 1;
3) α + β.
ОТВЕТ: α + β.

3. Пусть E – поле разложения многочлена (x^2 - 3) (x^2 - 5) над полем рациональных чисел Q. Найти степень (размерность) поля E над полем Q.
1) 4;
2) 3;
3) 2.
ОТВЕТ: 4.

4. Какому из следующих колец изоморфно фактор-кольцо R[x]/(x^2 + 1) :
1) C - поле комплексных чисел;
2) R - поле действительных чисел;
3) Q - поле рациональных чисел.
ОТВЕТ: C.

5. Пусть ε – первообразный (комплексный) корень 7-ой степени из 1. Отметьте верное равенство:
1) [Q(ε) : Q] = 2;
2) [Q(ε) : Q] = 3;
3) [Q(ε) : Q] = 6.
ОТВЕТ: [Q(ε) : Q] = 6.

6. Найти группу Галуа расширения Q(i), где i^2 = -1.
1) циклическая группа второго порядка;
2) симметрическая группа S3;
3) циклическая группа четвертого порядка.
ОТВЕТ: циклическая группа второго порядка.

7. Пусть α - корень многочлена (x^4 - 5) и i^2 = -1. Какое из следующих расширений поля Q является нормальным?
1) Q(α);
2) [Q(i, α).
ОТВЕТ: [Q(i, α).

8. Пусть E – поле разложения многочлена f(x) = x^4 + x^2 + 1 над полем рациональных чисел Q. Найти порядок группы Галуа G(E, Q).
1) 2;
2) 4;
3) 8.
ОТВЕТ: 2.

9. Пусть E – поле разложения многочлена f(x) = (x + 1)^4 + x^4 + 1 над полем рациональных чисел Q. Найти порядок группы Галуа G(E, Q).
1) 2;
2) 4;
3) 8.
ОТВЕТ: 2.

10. Пусть C(x) - поле рациональных функций над полем комплексных чисел C и σ - автоморфизм этого поля над полем комплексных чисел C такой, что σ(x) = -x. Найти поле инвариантов поля C(x) относительно этого автоморфизма.
1) C(x^2);
2) C(x^3);
3) C(x^2 - x).
ОТВЕТ: C(x^2).

11. Найти группу Галуа многочлена (x^3 + x^2 – 2x – 1) над полем рациональных чисел Q.
1) C3;
2) A3;
3) S3.
ОТВЕТ: S3.

12. Найти группу Галуа многочлена (x^3 + 3x^2 – 1) над полем рациональных чисел Q.
1) C3;
2) C2;
3) A3;
4) S3.
ОТВЕТ: A3.

13. Найти группу Галуа многочлена (x^4 + 3x^3 – 3x – 2) над полем рациональных чисел Q.
1) V;
2) C;
3) A4;
4) S4.
ОТВЕТ: S4.

14. Найти группу Галуа многочлена (x^4 + 1) над полем рациональных чисел Q.
1) V;
2) C;
3) D;
4) A4;
5) S4.
ОТВЕТ: V.

15. Найти группу Галуа многочлена (x^4 - 6x^2 + 8x + 28) над полем рациональных чисел Q.
1) D;
2) C;
3) A4;
4) S4.
ОТВЕТ: A4.

КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ: Каждое задание оценивается 1 баллом. Оценивание КИМ теоретического характера в целом:
• «зачтено» – верно выполнено более 50% заданий; «не зачтено» – верно выполнено 50% и менее 50% заданий;
• «отлично» – верно выполнено 85-100% заданий; «хорошо» – верно выполнено 70-84% заданий; «удовлетворительно» – верно выполнено 51-69% заданий; «неудовлетворительно» – верно выполнено 50% или менее 50% заданий.

ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ ОТКРЫТОГО ТИПА
1. Пусть Z[i] - кольцо целых гауссовых чисел и (3) – идеал Z[i], порожденный 3. Найти в фактор-кольце Z[i]/(3) элемент, обратный к сопряженному элементу для (1-i).
ОТВЕТ: сопряженный элемент для (2 + 2i).
2. Пусть α - корень многочлена (x^2 - 3), β - корень многочлена (x^3 - 5) и γ - корень многочлена (x^5 – 5x + 5). Найти степень (размерность) расширения Q(α, β, γ) поля Q.
ОТВЕТ: 30.
3. Пусть α - корень многочлена (x^2 - 5) и i^2 = -1 (i ∊ C). Найти примитивный элемент расширения Q(α, i) поля Q.
ОТВЕТ: (α + i).
4. Пусть C(x) - поле рациональных функций над полем комплексных чисел C и y = x^n + 1/x^n. Найти размерность поля C(x) над подполем C(y).
ОТВЕТ: 2n.
5. Пусть Q(x) - поле рациональных функций над полем рациональных чисел Q и y = x^2 - x. Найти степень [Q(x) : Q(y)].
ОТВЕТ: 2.
6. Пусть E – поле разложения многочлена (x^4 - 7) над полем Q(i). Найти степень этого расширения [E : Q(i)].
ОТВЕТ: 4.
7. Найти группу Галуа многочлена (x^2 + 3) над полем рациональных чисел Q.
ОТВЕТ: S2.
8. Найти группу Галуа многочлена (x^3 + x^2 – x - 1) над полем рациональных чисел Q.
ОТВЕТ: <1>.
9. Найти группу Галуа многочлена (x^3 + x^2 + x + 1) над полем рациональных чисел Q.
ОТВЕТ: S2.
10. Найти группу Галуа многочлена (x^3 - x^2 + 3x + 1) над полем рациональных чисел Q.
ОТВЕТ: S3.
11. Найти группу Галуа многочлена (x^4 - 2x^2 - 2x + 4) над полем рациональных чисел Q.
ОТВЕТ: S3.
12. Найти группу Галуа многочлена (x - 2)(x^4 - x^2 + 1) над полем рациональных чисел Q.
ОТВЕТ: V.
13. Найти группу Галуа многочлена (x - 5)(x^3 + 3x^2 - 1) над полем рациональных чисел Q.
ОТВЕТ: A3.
14. Найти группу Галуа многочлена (x^4 + x + 14) над полем рациональных чисел Q.
ОТВЕТ: S4.
15. Найти группу Галуа многочлена (x^4 - 2) над полем Q(i).
ОТВЕТ: C.
16. Найти группу Галуа многочлена (x^5 - 15x - 10) над полем рациональных чисел Q.
ОТВЕТ: S5.
17. Найти группу Галуа многочлена (x^5 - 55x - 11) над полем рациональных чисел Q.
ОТВЕТ: S5.
18. Найти степень поля разложения многочлена (x^2 - 3)(x^2 - 2) над полем рациональных чисел Q.
ОТВЕТ: 4.
3. Пусть α - корень многочлена (x^2 + 3). Найти группу Галуа многочлена (x^3 - 54) над полем Q(α).
ОТВЕТ: A3.
20. Найти группу Галуа многочлена (x^5 - 55x - 22) над полем рациональных чисел Q.
ОТВЕТ: S5.

КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ОТКРЫТЫХ ВОПРОСОВ.
«Отлично» (зачтено): Ответ полный, развернутый. Вопрос точно и исчерпывающе передан, терминология сохранена, студент превосходно владеет основной и дополнительной литературой, ошибок нет.
«Хорошо» (зачтено): Ответ полный, хотя краток, терминологически правильный, нет существенных недочетов. Студент хорошо владеет пройденным программным материалом; владеет основной литературой, суждения правильны.
«Удовлетворительно» (зачтено): Ответ неполный. В терминологии имеются недостатки. Студент владеет программным материалом, но имеются недочеты. Суждения фрагментарны.
«Неудовлетворительно» (не зачтено): Не использована специальная терминология. Ответ в сущности неверен. Переданы лишь отдельные фрагменты соответствующего материала вопроса. Ответ не соответствует вопросу или вовсе не дан.
5.2. Темы письменных работ для проведения текущего контроля (эссе, рефераты, курсовые работы и др.)
Не предусмотрено
5.3. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
Промежуточная аттестация заключается в проведении в конце семестра зачета (для обучающихся, не получивших зачет по результатам текущей успеваемости) по всему изученному курсу. Зачет проводится в устной форме по билетам. В билет входит 2 вопроса: 1 вопрос теоретического характера и 1 вопрос практико-ориентированного характера.

ВОПРОСЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ХАРАКТЕРА
1. Алгебраические расширения полей, строение простых алгебраических расширений.
2. Конечные расширения.
3. Композит полей.
4. Конечно порожденные алгебраические расширения.
5. Теорема о примитивном элементе.
6. Поле разложения многочлена.
7. Нормальные расширения и их совпадение с полями разложений.
8. Группа Галуа нормального расширения.
9. Теорема Артина.
10. Дискриминант уравнения. Описание групп Галуа многочленов.
11. Транзитивность группы Галуа неприводимого многочлена.
12. Алгоритм вычисления дискриминанта и групп Галуа многочленов степени 2 и 3.
13. Кубическая резольвента для многочлена 4 степени.
14. Алгоритм вычисления группы Галуа многочлена 4 степени.
15. Простые радикальные расширения.
16. Резольвента Лагранжа. Примеры многочленов степени 2 и 3.
17. Уравнения, разрешимые в радикалах. Разрешимые группы.
18. Корневая башня подполей, вложение в нормальное расширение, имеющего нормальную башню подполей.
19. Композит нормального расширения и произвольного расширения.
20. Теорема “natural irrationality”.
21. Основная теорема теории Галуа.
22. Применение теории Галуа: алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел, построения с помощью циркуля и линейки.

ВОПРОСЫ ПРАКТИКО-ОРИЕНТИРОВАННОГО ХАРАКТЕРА
1) Найти группу Галуа многочлена …
2) Найти степень поля разложения многочлена …
3) Найти размерность поля … над подполем …
4) Найти примитивный элемент расширения … поля ...
5) Найти поле инвариантов поля … относительно автоморфизма …
6) Найти порядок группы Галуа …

КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ:
«Отлично» (зачтено): студентом дан полный, в логической последовательности развернутый ответ на поставленные вопросы, где он продемонстрировал знания предмета в полном объеме учебной программы, достаточно глубоко осмысливает дисциплину, самостоятельно, и исчерпывающе отвечает на дополнительные вопросы, приводит собственные примеры по проблематике поставленного вопроса, решил предложенные практические задания без ошибок.
«Хорошо» (зачтено): студентом дан развернутый ответ на поставленный вопрос, где студент демонстрирует знания, приобретенные на лекционных и семинарских занятиях, а также полученные посредством изучения обязательных учебных материалов по курсу, дает аргументированные ответы, приводит примеры, в ответе присутствует свободное владение монологической речью, логичность и последовательность ответа. Однако допускаются неточности в ответе. Решил предложенные практические задания с небольшими неточностями.
«Удовлетворительно» (зачтено): студентом дан ответ, свидетельствующий в основном о знании процессов изучаемой дисциплины, отличающийся недостаточной глубиной и полнотой раскрытия темы, знанием основных вопросов теории, слабо сформированными навыками анализа явлений, процессов, недостаточным умением давать аргументированные ответы и приводить примеры, недостаточно свободным владением монологической речью, логичностью и последовательностью ответа. Допускается несколько ошибок в содержании ответа и решении практических заданий.
«Неудовлетворительно» (не зачтено): студентом дан ответ, который содержит ряд серьезных неточностей, обнаруживающий незнание процессов изучаемой предметной области, отличающийся неглубоким раскрытием темы, незнанием основных вопросов теории, неумением давать аргументированные ответы. Выводы поверхностны. Решение практических заданий не выполнено. Студент не способен ответить на вопросы даже при дополнительных наводящих вопросах преподавателя.

6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

6.1. Рекомендуемая литература
6.1.1. Основная литература
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л1.1 Ленг С. Алгебра: М.: Мир, 1976
6.1.2. Дополнительная литература
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л2.1 Ленг С. Алгебра: М.: Мир, 1976
6.2. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет"
Название Эл. адрес
Э1 Сайт библиотеки АлтГУ; www.lib.asu.ru
Э2 электронно-библиотечная система издательства «Лань»; www.e.lanbook.com
Э3 электронно-библиотечная система "Университетская библиотека online"; www.biblioclub.ru
Э4 курс на Moodle portal.edu.asu.ru
6.3. Перечень программного обеспечения
1. Microsoft Office 2010 (Office 2010 Professional, № 4065231 от 08.12.2010), (бессрочно);
2. Microsoft Windows 7 (Windows 7 Professional, № 61834699 от 22.04.2013), (бессрочно);
3. Chrome (http://www.chromium.org/chromium-os/licenses ), (бессрочно);
4. 7-Zip (http://www.7-zip.org/license.txt ), (бессрочно);
5. AcrobatReader (http://wwwimages.adobe.com/content/dam/Adobe/en/legal/servicetou/Acrobat_com_Additional_TOU-en_US-20140618_1200.pdf), (бессрочно);
6. ASTRA LINUX SPECIAL EDITION (https://astralinux.ru/products/astra-linux-special-edition/), (бессрочно);
7. LibreOffice (https://ru.libreoffice.org/), (бессрочно);
8. Веб-браузер Chromium (https://www.chromium.org/Home/), (бессрочно);
9. Антивирус Касперский (https://www.kaspersky.ru/), (до 23 июня 2024);
10. Архиватор Ark (https://apps.kde.org/ark/), (бессрочно);
11. Okular (https://okular.kde.org/ru/download/), (бессрочно);
12. Редактор изображений Gimp (https://www.gimp.org/), (бессрочно)
6.4. Перечень информационных справочных систем
1. http://www.lib.asu.ru - Научная библиотека Алтайского государственного университета;
2. http://www.biblioclub.ru - электронно-библиотечная система издательства «Лань»;
3. http://exponenta.ru - Образовательный математический сайт
4. http://www.biblioclub.ru - электронно-библиотечная система "Университетская библиотека online";
5. База данных литературы информационно-методического кабинета факультета социологии АлтГУ "ФОЛИАНТ"

7. Материально-техническое обеспечение дисциплины

Аудитория Назначение Оборудование
Помещение для самостоятельной работы помещение для самостоятельной работы обучающихся Компьютеры, ноутбуки с подключением к информационно-телекоммуникационной сети «Интернет», доступом в электронную информационно-образовательную среду АлтГУ
Учебная аудитория для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), проведения практик Стандартное оборудование (учебная мебель для обучающихся, рабочее место преподавателя, доска)

8. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

Порядок формирования оценок по дисциплине

Оценка за текущий, промежуточный и итоговый контроль выставляется по 5 балльной
шкале.
Результирующая оценка за итоговый контроль складывается из результатов накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой составляет k1 = 0,5 и оценки за зачет, удельный вес k2 = 0,5.
Оитоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Озачет
Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме зачета/экзамена в пользу студента.

Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.