| Закреплена за кафедрой | Кафедра алгебры и математической логики |
|---|---|
| Направление подготовки | 02.04.01. Математика и компьютерные науки |
| Профиль | Алгебра и дискретная математика |
| Форма обучения | Очная |
| Общая трудоемкость | 3 ЗЕТ |
| Учебный план | 02_04_01_Математика и компьютерные науки_АиДМ-2022 |
|
|
||||||||||||||
Распределение часов по семестрам
| Курс (семестр) | 2 (4) | Итого | ||
|---|---|---|---|---|
| Недель | 17 | |||
| Вид занятий | УП | РПД | УП | РПД |
| Лекции | 24 | 24 | 24 | 24 |
| Практические | 8 | 8 | 8 | 8 |
| Сам. работа | 49 | 49 | 49 | 49 |
| Часы на контроль | 27 | 27 | 27 | 27 |
| Итого | 108 | 108 | 108 | 108 |
Визирование РПД для исполнения в очередном учебном году
Рабочая программа пересмотрена, обсуждена и одобрена для
исполнения в 2023-2024 учебном году на заседании
кафедры
Кафедра алгебры и математической логики
Протокол от 31.08.2023 г. № 6
Заведующий кафедрой профессор, д.ф.-м.н. Будкин А.И.
| 1.1. | Цель – изложить основы современной (некоммутативной) теории ассоциативных колец, включающей такие важные разделы как радикалы Джекобсона, Бэра, Левицкого, теоремы плотности, строения артиновых колец, ниль-колец, удовлетворящих тождествам или условиям обрыва цепей однородных идеалов, теории алгебр с тождествами. Задачи: 1. изложить основные понятия теории колец и модулей; конструкции фактор-кольца, прямых произведений, теоремы о гомоморфизмах, строение неприводимых модулей, леммы Шура, радикал Джекобсона, его различные характеризации, вычисление Радикала Джекобсона для колец Rn, R[x], R , C(G), теорема плотности и ее следствия; строение конечных полей, теорему Джекобсона о коммутативности потентных колец; 2. изложить строение артиновых колец; 3. изложить строение колец без нильпотентных элементов (теорему Андрунакиевича-Рябухина); 4. изложить теоремы Нагата-Хигмана и Кегеля; верхний ниль-радикал, строение полупростых колец. Примеры; 5. изложить теорию радикала Левицкого и нижнего ниль-радикала, теоремы Бэра и А.М. Бабича. Примеры Е.И. Зельманова и Голода-Шафаревича; 6. изложить строение ниль-колец с условиями обрыва цепей односторонних идеалов (теорема Шону и ее следствия); строение ниль-колец с тождествами; строение алгебраических алгебр с тождествами (теорема Капланского), теорема А.И. Ширшова о высоте; 7. многообразия колец. |
|---|
| Цикл (раздел) ООП: Б1.О.03 |
| ОПК-3 | Способен самостоятельно создавать прикладные программные средства на основе современных информационных технологий и сетевых ресурсов, в том числе отечественного производства |
| ОПК-3.1 | Знает основные положения и концепции современных информационных технологий. |
| ОПК-3.2 | Умеет создавать программные средства для решения стандартных математических задач, в частности, задач алгебры и дискретной математики. |
| ОПК-3.3 | Имеет практические навыки самостоятельного выбора эффективных инструментов создания программных средств для решения задач профессиональной деятельности. |
| ПК-2 | Способен планировать свою научно-исследовательскую деятельность (НИД) и выбирать адекватные методы решения научно-исследовательских задач в области алгебры и дискретной математики. |
| ПК-2.1 | Составляет общий план исследования и детальные планы отдельных стадий НИД. |
| ПК-2.2 | Умеет проводить расчетно-теоретические и экспериментальные оценки методов и методик решения поставленных задач с учетом временных затрат, вычислительных и материальных ресурсов для осуществления НИД. |
| В результате освоения дисциплины обучающийся должен | |
| 3.1. | Знать: |
|---|---|
| 3.1.1. | ОПК-3.1. Знает основные положения и концепции современных информационных технологий. ПК-2.1. Составляет общий план исследования и детальные планы отдельных стадий НИД . |
| 3.2. | Уметь: |
| 3.2.1. | ОПК-3.2. Умеет создавать программные средства для решения стандартных математических задач, в частности, задач алгебры и дискретной математики. ПК-2.2. Умеет проводить расчетно-теоретические и экспериментальные оценки методов и методик решения поставленных задач с учетом временных затрат, вычислительных и материальных ресурсов для осуществления НИД. |
| 3.3. | Иметь навыки и (или) опыт деятельности (владеть): |
| 3.3.1. | ОПК-3.3. Имеет практические навыки самостоятельного выбора эффективных инструментов создания программных средств для решения задач профессиональной деятельности. |
| Код занятия | Наименование разделов и тем | Вид занятия | Семестр | Часов | Компетенции | Литература |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Раздел 1. Конечные кольца | ||||||
| 1.1. | Кольца классов вычетов по модулю n Делители нуля и обратимые элементы конечного кольца. Примеры. | Лекции | 4 | 2 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2 |
| 1.2. | Кольца классов вычетов по модулю n Делители нуля и обратимые элементы конечного кольца | Практические | 4 | 1 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2 |
| 1.3. | Разложение конечного кольца в прямую сумму идеалов. Неразложимые кольца | Лекции | 4 | 2 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2 |
| 1.4. | Разложение конечного кольца в прямую сумму идеалов. Неразложимые кольца | Практические | 4 | 1 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2 |
| 1.5. | Многочлены над коммутативными кольцами | Лекции | 4 | 2 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2 |
| 1.6. | Многочлены над коммутативными кольцами | Практические | 4 | 1 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2 |
| 1.7. | Простые и полупростые конечные кольца. Некоторые классы конечных колец (приложения теоремы Молина-Веддерберна-Артина) | Лекции | 4 | 2 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2 |
| 1.8. | Простые и полупростые конечные кольца. Некоторые классы конечных колец (приложения теоремы Молина-Веддерберна-Артина) | Практические | 4 | 1 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2 |
| 1.9. | Локальные кольца. Кольца Галуа. Кольца порядка p, p^2, p^3 | Лекции | 4 | 2 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2 |
| 1.10. | Локальные кольца. Кольца Галуа. Кольца порядка p, p^2, p^3 | Практические | 4 | 1 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2 |
| 1.11. | Конечные кольца | Сам. работа | 4 | 24 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2 |
| Раздел 2. Конечные поля | ||||||
| 2.1. | Конечные поля, подполя конечного поля. Характеристика конечного поля. Число элементов конечного поля. Мультипликативная группа конечного поля | Лекции | 4 | 2 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2 |
| 2.2. | Конечные поля, подполя конечного поля. Характеристика конечного поля. Число элементов конечного поля. Мультипликативная группа конечного поля | Практические | 4 | 1 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2 |
| 2.3. | Примитивные элементы поля. Расширения конечных полей | Лекции | 4 | 2 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2 |
| 2.4. | Примитивные элементы поля. Расширения конечных полей | Практические | 4 | 1 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2 |
| 2.5. | Многочлены над конечными полями Алгебраические числа, минимальный многочлен Неприводимые многочлены над полем, корни неприводимых многочленов Поле разложения многочлена | Лекции | 4 | 2 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2 |
| 2.6. | Многочлены над конечными полями Алгебраические числа, минимальный многочлен Неприводимые многочлены над полем, корни неприводимых многочленов Поле разложения многочлена | Практические | 4 | 1 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2 |
| 2.7. | Следы, нормы и базисы, корни из единицы и круговые многочлены Разложение многочленов на множители, вычисление корней многочленов Представление элементов конечных полей Автоморфизмы конечных полей | Лекции | 4 | 2 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2 |
| 2.8. | Теорема Веддерберна: конечное тело является полем | Лекции | 4 | 2 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2 |
| 2.9. | Тождества в конечных кольцах (теорема Львова) | Лекции | 4 | 4 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2 |
| 2.10. | Конечные поля | Сам. работа | 4 | 25 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3 | Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2 |
| 5.1. Контрольные вопросы и задания для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины |
| Оценочные материалы для текущего контроля по разделам и темам дисциплины в полном объеме размещены в онлайн-курсе на образовательном портале «Цифровой университет АлтГУ» – https://portal.edu.asu.ru/enrol/index.php?id=6721. ОЦЕНКА СФОРМИРОВАННОСТИ КОМПЕТЕНЦИИ ОПК-3 Способен самостоятельно создавать прикладные программные средства на основе современных информационных технологий и сетевых ресурсов, в том числе отечественного производства ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ ЗАКРЫТОГО ТИПА 1. Какие из следующих множеств образуют кольцо: 1) множество {0}; 2) множество N натуральных чисел; 3) множество целых неотрицательных чисел; 4) множество целых неположительных чисел; 5) множество Z целых чисел; 6) множество 2Z четных чисел; 7) множество nZ целых чисел, кратных заданному числу n; 8) множество Q рациональных чисел; 9) множество иррациональных чисел; 10) множество R вещественных чисел; 11) множество C комплексных чисел; 12) множество Z[i] целых гауссовы чисел, т. е. комплексных чисел с целыми действительной и мнимой частями; 13) множество комплексных чисел с рациональными действительной и мнимой частями? ОТВЕТ: 1), 5), 6), 7), 8), 10), 11), 12), 13). 2. Какие из следующих множеств образуют поле: 1) множество {0}; 2) множество N натуральных чисел; 3) множество целых неотрицательных чисел; 4) множество целых неположительных чисел; 5) множество Z целых чисел; 6) множество 2Z четных чисел; 7) множество nZ целых чисел, кратных заданному числу n; 8) множество Q рациональных чисел; 9) множество иррациональных чисел; 10) множество R вещественных чисел; 11) множество C комплексных чисел; 12) множество Z[i] целых гауссовы чисел, т. е. комплексных чисел с целыми действительной и мнимой частями; 13) множество комплексных чисел с рациональными действительной и мнимой частями? ОТВЕТ: 8), 10), 11), 13). 3. Любое конечное поле имеет: 1) положительную характеристику; 2) нулевую характеристику. ОТВЕТ: 1). 4. Z_m ⊗ Z_n ∼= Z_d, где: 1) d = m + n; 2) d = mn; 3) d = (m, n). ОТВЕТ: 3). 5. Элемент в конечном кольце необратим тогда и только тогда, когда он: 1) является нулем; 2) является делителем нуля или нулем; 3) является нильпотентным; ОТВЕТ: 2). 6. Конечное кольцо без делителей нуля … 1) содержит единицу; 2) не содержит единицу. ОТВЕТ: 1). 7. В конечном кольце без делителей нуля … 1) все его ненулевые элементы обратимы; 2) не все его ненулевые элементы обратимы. ОТВЕТ: 1). 8. Пусть F – конечное поле. Тогда: 1) |F| = pq, где p и q – простые числа; 2) |F| = p^n, где p – простое число; 3) |F| = p, где p – простое число. ОТВЕТ: 2). 9. Пусть F – конечное поле. Тогда: 1) ⟨F \ {0}, ·⟩ – циклическая группа; 2) ⟨F \ {0}, ·⟩ – произвольная абелева группа. ОТВЕТ: 1). 10. Кольцо Z_3 [x] / (x^2 + 1) является … 1) кольцом с делителями нуля; 2) полем порядка 6; 3) полем порядка 9. ОТВЕТ: 3). 11. Кольцо Z_n является полем тогда и только тогда, когда … 1) n – любое число; 2) n – простое число; 3) n – составное число. ОТВЕТ: 2). 12. Элемент a ∈ (Z_n)^∗ тогда и только тогда, когда … 1) a делит n; 2) (a, n) = 1; 3) a не делит n. ОТВЕТ: 2). 13. Пусть p, q – различные простые нечетные числа. Кольцо GF(pq) ⊕ GF(pq) порождается … 1) одним элементом; 2) двумя элементами; 3) pq элементами. ОТВЕТ: 1). 14. Кольцо Z_7 [x] / (x^3 − 2) является … 1) кольцом с делителями нуля; 2) полем порядка 7 x 3 = 21; 3) полем порядка 7^3. ОТВЕТ: 3). 15. Кольцо Z[√2] / (3), где Z[√2] = {a + b√2 | a, b ∈ Z} и (3) – идеал в Z[√2], порожденный 3, является … 1) кольцом с делителями нуля; 2) полем порядка 9; 3) полем порядка 6. ОТВЕТ: 2). КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ: Каждое задание оценивается 1 баллом. Оценивание КИМ теоретического характера в целом: • «зачтено» – верно выполнено более 50% заданий; «не зачтено» – верно выполнено 50% и менее 50% заданий; • «отлично» – верно выполнено 85-100% заданий; «хорошо» – верно выполнено 70-84% заданий; «удовлетворительно» – верно выполнено 51-69% заданий; «неудовлетворительно» – верно выполнено 50% или менее 50% заданий. ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ ОТКРЫТОГО ТИПА 1. Пусть I – максимальный идеал в Z_k [x]. Верно ли, что Z_k [x] / I – конечное поле? ОТВЕТ: да. 2. Пусть R – конечное кольцо. Если R не содержит делителей нуля, то оно имеет единицу и все его ненулевые элементы обратимы. ОТВЕТ: да. 3. Кольца Z_11 [x] / (x^2 + 1) и Z_11 [x] / (x^2 + x + 4) не изоморфны. ОТВЕТ: нет. 4. Кольца Z_mn и Z_m ⊕ Z_n изоморфны тогда и только тогда, когда m и n взаимно просты. ОТВЕТ: да. 5. Кольцо называется вполне приводимым справа, если оно является прямой суммой правых идеалов, являющимися простыми модулями над этим кольцом. При каких n кольцо вычетов Z_n вполне приводимо? ОТВЕТ: n – произведение конечного числа различных простых чисел. 6. Пусть F – конечное поле порядка p^n, где p – простое число. Тогда F ∼= Z_p [x] / (π(x)), где π(x) … ОТВЕТ: неприводимый многочлен степени n в кольце Z_p [x]. 7. Пусть p – простое число и n – натуральное число. Верно ли, что, если F – конечное поле порядка p^n, то элементы из F являются корнями многочлена x^(p^n) – x и исчерпывают все корни этого многочлена в алгебраическом замыкании поля Z_p. ОТВЕТ: да. 8. Кольцо GF(4) ⊕ GF(4) является одно-порожденной алгеброй над полем GF(2). ОТВЕТ: нет. 9. Пусть p, q – различные простые нечетные числа. Кольцо GF(pq) ⊕ GF(pq) порождается одним элементом. ОТВЕТ: да. 10. Пусть p – простое число и a, b ∈ Z. Многочлен f(x) = x^4 + ax^2 + b^2 является неприводимым в кольце Z_p [x]. ОТВЕТ: нет. 11. Пусть GF(q) – конечное поле порядка q. Верно ли, что q = 2^n для некоторого целого числа n ≥ 1 тогда и только тогда, когда для любого элемента x ∈ GF(q) существует элемент y ∈ GF(q), такой, что x = y^2. ОТВЕТ: да. 12 Пусть α ∈ GF(p^n) и α – корень неприводимого многочлена f(x) ∈ Z_p [x] степени m. Тогда m|n и {α, α^p, α^(p^2), . . ., α^(p^(m−1))} – … ОТВЕТ: все корни многочлена f(x). 13. Пусть φ(x) – неприводимый многочлен степени d в Z_p [x] и E – поле, содержащее поле Z_p и некоторый корень α многочлена φ(x). Элементы поля E α, α^p, α^(p^2), . . ., α^(p^(d−1)) являются … ОТВЕТ: попарно различными и исчерпывают все корни многочлена φ(x). 14. Пусть p – простое число и α ∈ (Z_p)^∗. Многочлен x^p − x − α является приводимым в Z_p [x]. ОТВЕТ: нет. 15. Кольца Z_17 [x] / (x^4 +1) и Z_17 ⊕ Z_17 ⊕ Z_17 ⊕ Z_17 изоморфны. ОТВЕТ: да. 16. Кольца Z_41 [x] / (x^4 +1) и Z_41 ⊕ Z_41 ⊕ Z_41 ⊕ Z_41; не изоморфны. ОТВЕТ: нет. 17. Кольца Z_19 [x] / (x^4 −5) и Z_19 ⊕ Z_19 ⊕ GF(361) не изоморфны. ОТВЕТ: нет. 18. (Z_(p^k))^* – циклическая группа, если p – нечетное простое число. ОТВЕТ: да. 19. Пусть m, n – взаимно простые целые числа, превосходящие единицу. Верно ли, что тензорное произведение Z-модулей Z/mZ ⊗_Z Z/nZ равно (0). ОТВЕТ: да. 20. Идеал тождеств произвольного конечного ассоциативного кольца является конечно порожденным. ОТВЕТ: да. КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ОТКРЫТЫХ ВОПРОСОВ. «Отлично» (зачтено): Ответ полный, развернутый. Вопрос точно и исчерпывающе передан, терминология сохранена, студент превосходно владеет основной и дополнительной литературой, ошибок нет. «Хорошо» (зачтено): Ответ полный, хотя краток, терминологически правильный, нет существенных недочетов. Студент хорошо владеет пройденным программным материалом; владеет основной литературой, суждения правильны. «Удовлетворительно» (зачтено): Ответ неполный. В терминологии имеются недостатки. Студент владеет программным материалом, но имеются недочеты. Суждения фрагментарны. «Неудовлетворительно» (не зачтено): Не использована специальная терминология. Ответ в сущности неверен. Переданы лишь отдельные фрагменты соответствующего материала вопроса. Ответ не соответствует вопросу или вовсе не дан. ОЦЕНКА СФОРМИРОВАННОСТИ КОМПЕТЕНЦИИ ПК-2 Способен планировать свою научно-исследовательскую деятельность (НИД) и выбирать адекватные методы решения научно-исследовательских задач в области алгебры и дискретной математики. 1. Какие из следующих множеств образуют кольцо: 1) множество {0}; 2) множество N натуральных чисел; 3) множество целых неотрицательных чисел; 4) множество целых неположительных чисел; 5) множество Z целых чисел; 6) множество 2Z четных чисел; 7) множество nZ целых чисел, кратных заданному числу n; 8) множество Q рациональных чисел; 9) множество иррациональных чисел; 10) множество R вещественных чисел; 11) множество C комплексных чисел; 12) множество Z[i] целых гауссовы чисел, т. е. комплексных чисел с целыми действительной и мнимой частями; 13) множество комплексных чисел с рациональными действительной и мнимой частями? ОТВЕТ: 1), 5), 6), 7), 8), 10), 11), 12), 13). 2. Какие из следующих множеств образуют поле: 1) множество {0}; 2) множество N натуральных чисел; 3) множество целых неотрицательных чисел; 4) множество целых неположительных чисел; 5) множество Z целых чисел; 6) множество 2Z четных чисел; 7) множество nZ целых чисел, кратных заданному числу n; 8) множество Q рациональных чисел; 9) множество иррациональных чисел; 10) множество R вещественных чисел; 11) множество C комплексных чисел; 12) множество Z[i] целых гауссовы чисел, т. е. комплексных чисел с целыми действительной и мнимой частями; 13) множество комплексных чисел с рациональными действительной и мнимой частями? ОТВЕТ: 8), 10), 11), 13). 3. Любое конечное поле имеет: 1) положительную характеристику; 2) нулевую характеристику. ОТВЕТ: 1). 4. Z_m ⊗ Z_n ∼= Z_d, где: 1) d = m + n; 2) d = mn; 3) d = (m, n). ОТВЕТ: 3). 5. Элемент в конечном кольце необратим тогда и только тогда, когда он: 1) является нулем; 2) является делителем нуля или нулем; 3) является нильпотентным; ОТВЕТ: 2). 6. Конечное кольцо без делителей нуля … 1) содержит единицу; 2) не содержит единицу. ОТВЕТ: 1). 7. В конечном кольце без делителей нуля … 1) все его ненулевые элементы обратимы; 2) не все его ненулевые элементы обратимы. ОТВЕТ: 1). 8. Пусть F – конечное поле. Тогда: 1) |F| = pq, где p и q – простые числа; 2) |F| = p^n, где p – простое число; 3) |F| = p, где p – простое число. ОТВЕТ: 2). 9. Пусть F – конечное поле. Тогда: 1) ⟨F \ {0}, ·⟩ – циклическая группа; 2) ⟨F \ {0}, ·⟩ – произвольная абелева группа. ОТВЕТ: 1). 10. Кольцо Z_3 [x] / (x^2 + 1) является … 1) кольцом с делителями нуля; 2) полем порядка 6; 3) полем порядка 9. ОТВЕТ: 3). 11. Кольцо Z_n является полем тогда и только тогда, когда … 1) n – любое число; 2) n – простое число; 3) n – составное число. ОТВЕТ: 2). 12. Элемент a ∈ (Z_n)^∗ тогда и только тогда, когда … 1) a делит n; 2) (a, n) = 1; 3) a не делит n. ОТВЕТ: 2). 13. Пусть p, q – различные простые нечетные числа. Кольцо GF(pq) ⊕ GF(pq) порождается … 1) одним элементом; 2) двумя элементами; 3) pq элементами. ОТВЕТ: 1). 14. Кольцо Z_7 [x] / (x^3 − 2) является … 1) кольцом с делителями нуля; 2) полем порядка 7 x 3 = 21; 3) полем порядка 7^3. ОТВЕТ: 3). 15. Кольцо Z[√2] / (3), где Z[√2] = {a + b√2 | a, b ∈ Z} и (3) – идеал в Z[√2], порожденный 3, является … 1) кольцом с делителями нуля; 2) полем порядка 9; 3) полем порядка 6. ОТВЕТ: 2). КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ: Каждое задание оценивается 1 баллом. Оценивание КИМ теоретического характера в целом: • «зачтено» – верно выполнено более 50% заданий; «не зачтено» – верно выполнено 50% и менее 50% заданий; • «отлично» – верно выполнено 85-100% заданий; «хорошо» – верно выполнено 70-84% заданий; «удовлетворительно» – верно выполнено 51-69% заданий; «неудовлетворительно» – верно выполнено 50% или менее 50% заданий. ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ ОТКРЫТОГО ТИПА 1. Пусть I – максимальный идеал в Z_k [x]. Верно ли, что Z_k [x] / I – конечное поле? ОТВЕТ: да. 2. Пусть R – конечное кольцо. Если R не содержит делителей нуля, то оно имеет единицу и все его ненулевые элементы обратимы. ОТВЕТ: да. 3. Кольца Z_11 [x] / (x^2 + 1) и Z_11 [x] / (x^2 + x + 4) не изоморфны. ОТВЕТ: нет. 4. Кольца Z_mn и Z_m ⊕ Z_n изоморфны тогда и только тогда, когда m и n взаимно просты. ОТВЕТ: да. 5. Кольцо называется вполне приводимым справа, если оно является прямой суммой правых идеалов, являющимися простыми модулями над этим кольцом. При каких n кольцо вычетов Z_n вполне приводимо? ОТВЕТ: n – произведение конечного числа различных простых чисел. 6. Пусть F – конечное поле порядка p^n, где p – простое число. Тогда F ∼= Z_p [x] / (π(x)), где π(x) … ОТВЕТ: неприводимый многочлен степени n в кольце Z_p [x]. 7. Пусть p – простое число и n – натуральное число. Верно ли, что, если F – конечное поле порядка p^n, то элементы из F являются корнями многочлена x^(p^n) – x и исчерпывают все корни этого многочлена в алгебраическом замыкании поля Z_p. ОТВЕТ: да. 8. Кольцо GF(4) ⊕ GF(4) является одно-порожденной алгеброй над полем GF(2). ОТВЕТ: нет. 9. Пусть p, q – различные простые нечетные числа. Кольцо GF(pq) ⊕ GF(pq) порождается одним элементом. ОТВЕТ: да. 10. Пусть p – простое число и a, b ∈ Z. Многочлен f(x) = x^4 + ax^2 + b^2 является неприводимым в кольце Z_p [x]. ОТВЕТ: нет. 11. Пусть GF(q) – конечное поле порядка q. Верно ли, что q = 2^n для некоторого целого числа n ≥ 1 тогда и только тогда, когда для любого элемента x ∈ GF(q) существует элемент y ∈ GF(q), такой, что x = y^2. ОТВЕТ: да. 12 Пусть α ∈ GF(p^n) и α – корень неприводимого многочлена f(x) ∈ Z_p [x] степени m. Тогда m|n и {α, α^p, α^(p^2), . . ., α^(p^(m−1))} – … ОТВЕТ: все корни многочлена f(x). 13. Пусть φ(x) – неприводимый многочлен степени d в Z_p [x] и E – поле, содержащее поле Z_p и некоторый корень α многочлена φ(x). Элементы поля E α, α^p, α^(p^2), . . ., α^(p^(d−1)) являются … ОТВЕТ: попарно различными и исчерпывают все корни многочлена φ(x). 14. Пусть p – простое число и α ∈ (Z_p)^∗. Многочлен x^p − x − α является приводимым в Z_p [x]. ОТВЕТ: нет. 15. Кольца Z_17 [x] / (x^4 +1) и Z_17 ⊕ Z_17 ⊕ Z_17 ⊕ Z_17 изоморфны. ОТВЕТ: да. 16. Кольца Z_41 [x] / (x^4 +1) и Z_41 ⊕ Z_41 ⊕ Z_41 ⊕ Z_41; не изоморфны. ОТВЕТ: нет. 17. Кольца Z_19 [x] / (x^4 −5) и Z_19 ⊕ Z_19 ⊕ GF(361) не изоморфны. ОТВЕТ: нет. 18. (Z_(p^k))^* – циклическая группа, если p – нечетное простое число. ОТВЕТ: да. 19. Пусть m, n – взаимно простые целые числа, превосходящие единицу. Верно ли, что тензорное произведение Z-модулей Z/mZ ⊗_Z Z/nZ равно (0). ОТВЕТ: да. 20. Идеал тождеств произвольного конечного ассоциативного кольца является конечно порожденным. ОТВЕТ: да. КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ОТКРЫТЫХ ВОПРОСОВ. «Отлично» (зачтено): Ответ полный, развернутый. Вопрос точно и исчерпывающе передан, терминология сохранена, студент превосходно владеет основной и дополнительной литературой, ошибок нет. «Хорошо» (зачтено): Ответ полный, хотя краток, терминологически правильный, нет существенных недочетов. Студент хорошо владеет пройденным программным материалом; владеет основной литературой, суждения правильны. «Удовлетворительно» (зачтено): Ответ неполный. В терминологии имеются недостатки. Студент владеет программным материалом, но имеются недочеты. Суждения фрагментарны. «Неудовлетворительно» (не зачтено): Не использована специальная терминология. Ответ в сущности неверен. Переданы лишь отдельные фрагменты соответствующего материала вопроса. Ответ не соответствует вопросу или вовсе не дан. |
| 5.2. Темы письменных работ для проведения текущего контроля (эссе, рефераты, курсовые работы и др.) |
| Не предусмотрено. |
| 5.3. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации |
| Промежуточная аттестация заключается в проведении в конце семестра зачета (для обучающихся, не получивших зачет по результатам текущей успеваемости) по всему изученному курсу. Зачет проводится в устной форме по билетам. В билет входит 2 вопроса: 1 вопрос теоретического характера и 1 вопрос практико-ориентированного характера. ВОПРОСЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ХАРАКТЕРА 1) Кольца классов вычетов по модулю n 2) Делители нуля и обратимые элементы конечного кольца 3) Разложение конечного кольца в прямую сумму идеалов. Неразложимые кольца 4) Многочлены над коммутативными кольцами 5) Простые и полупростые конечные кольца 6) Некоторые классы конечных колец (приложения теоремы Молина-Веддерберна-Артина) 7) Локальные кольца 8) Кольца Галуа 9) Кольца порядка p, p^2, p^3 10) Конечные поля, подполя конечного поля 11) Характеристика конечного поля 12) Число элементов конечного поля 13) Мультипликативная группа конечного поля 14) Примитивные элементы поля 15) Расширения конечных полей 16) Многочлены над конечными полями 17) Алгебраические числа, минимальный многочлен 18) Неприводимые многочлены над полем, корни неприводимых многочленов 19) Поле разложения многочлена 20) Следы, нормы и базисы, корни из единицы и круговые многочлены 21) Разложение многочленов на множители, вычисление корней многочленов 22) Представление элементов конечных полей 23) Автоморфизмы конечных полей 24) Теорема Веддерберна: конечное тело является полем 25) Тождества в конечных кольцах (теорема Львова) ВОПРОСЫ ПРАКТИКО-ОРИЕНТИРОВАННОГО ХАРАКТЕРА 1. Пусть R – конечное кольцо. Докажите, что 1) если R не содержит делителей нуля, то оно имеет единицу и все его ненулевые элементы обратимы; 2) если R имеет единицу, то каждый его элемент, имеющий односторонний обратный, обратим; 3) если R имеет единицу, то всякий левый делитель нуля является правым делителем нуля. Верно ли утверждение 3) для колец без единицы? 2. При каких a и b факторкольца Z_2 [x] / (x^2 + ax + b) а) изоморфны между собой; б) являются полями? 3. Пусть I – максимальный идеал в Z_k [x]. Докажите, что Z_k [x] / I – конечное поле. 4. Докажите, что кольца Z_mn и Z_m ⊕ Z_n изоморфны тогда и только тогда, когда m и n взаимно просты. 5. Кольцо называется вполне приводимым справа, если оно является прямой суммой правых идеалов, являющимися простыми модулями над этим кольцом. При каких n кольцо вычетов Z_n вполне приводимо? 6. Докажите, что любое конечное поле имеет положительную характеристику. 7. Докажите, что GF(4) ⊕ GF(4) не является одно-порожденной алгеброй над полем GF(2). 8. Пусть p, q – различные простые нечетные числа. Докажите, что кольцо GF(pq) ⊕ GF(pq) порождается одним элементом. 9. Пусть a = 3 + 2x + 2x^2 ∈ Z_4[x]. Найдите элемент, обратный к a. 10. Пусть m, n – взаимно простые целые числа, превосходящие единицу. Докажите, что тензорное произведение Z-модулей Z/mZ ⊗_Z Z/nZ равно (0). 11. Докажите, что Z_m ⊗ Z_n ∼= Z_d, где d = (m, n). 12. Пусть p – простое число и a, b ∈ Z. Докажите, что многочлен f(x) = x^4 + ax^2 + b^2 является приводимым в кольце Z_p [x]. 13. Пусть GF(q) – конечное поле порядка q. Докажите, что q = 2^n для некоторого целого числа n ≥ 1 тогда и только тогда, когда для любого элемента x ∈ GF(q) существует элемент y ∈ GF(q), такой, что x = y^2. 14. Решите уравнения: 1. x^3 = 10 в кольце Z_37; 2. 6x^3 + 27x^2 + 17x + 20 = 0 в кольце Z_30. 15. Сколько корней имеет уравнение x^7 = 35 в поле Z_601? 16. Пусть α ∈ GF(p^n) и α – корень неприводимого многочлена f(x) ∈ Z_p [x] степени m. Докажите, что m|n и {α, α^p, α^(p^2), . . ., α^(p^(m−1))} – все корни многочлена f(x). 17. Пусть φ(x) – неприводимый многочлен степени d в Z_p [x] и E – поле, содержащее поле Z_p и некоторый корень α многочлена φ(x). Докажите, что элементы поля E α, α^p, α^(p^2), . . ., α^(p^(d−1)) являются попарно различными и исчерпывают все корни многочлена φ(x). 18. Пусть p – простое число и α ∈ Z^∗_p. Докажите, что: 1. многочлен x^p − x − α является неприводимым в Z_p [x]; 2. если a – корень этого многочлена в алгебраическом замыкании поля Z_p, то {a, a+1, . . . , a+(p−1)} – все корни этого многочлена. 19. Докажите, что в кольце Z_7 [x] многочлен f(x) = ½ (1 + x^4 + (1 − x)^4) является квадратом другого многочлена. 20. Докажите, что в кольце Z_11 [x] многочлен f(x) = ½ (1 + x^6 + (1 − x)^6) является квадратом другого многочлена. 21. Докажите, что многочлен x^(2·3n) + x^(3n) +1 является неприводимым в Z_2 [x]. 22. Докажите изоморфизм колец: Z_11 [x] / (x^2 + 1) ∼= Z_11 [x] / (x^2 + x + 4). 23. Пусть a, b – элементы поля GF(2^(2n+1)), такие, что a^2 + ab + b^2 = 0. Докажите, что a = b = 0. 24. Докажите, что: 1. Z_7 [x] / (x3 − 2) – поле порядка 7^3; 2. Z[√2] / (3) – поле порядка 9, где Z[√2] = {a + b√2| a, b ∈ Z} и (3) – идеал в Z[√2], порожденный 3; 3. поле Z_3 [x] / (x2 + 1) изоморфно полю Z_3 [x] / (x^2 + x + 2); 4. поле Z_2 [x] / (x3+x+1) изоморфно полю Z_2 [x] / (x^3+x^2+1). 25. Пусть F – конечное поле. Докажите, что: 1. |F| = p^n, где p – простое число; 2. ⟨F \ {0}, ·⟩ – циклическая группа. 26. Докажите, что Z_3 [x] / (x^2 + 1) является полем порядка 9 и найдите циклический порождающий мультипликативной группы (Z_3 [x] / (x^2 + 1))^∗. 27. Пусть F – конечное поле порядка p^n, где p – простое число. Докажите, что F ∼= Z_p [x] / (π(x)), где π(x) – неприводимый многочлен степени n в кольце Z_p [x]. 28. Пусть p – простое число и n – натуральное число. Докажите, что, если F – конечное поле порядка p^n, то элементы из F являются корнями многочлена x^(p^n) – x и исчерпывают все корни этого многочлена в алгебраическом замыкании поля Z_p. 29. Пусть p – простое число. Докажите, что в поле Z_p разрешимо уравнение x^2 + y^2 = a, где a – фиксированный элемент поля Z_p. 30. Докажите, что 1. Z_17 [x] / (x^4 +1) ∼= Z_17 ⊕ Z_17 ⊕ Z_17 ⊕ Z_17; 2. Z_41 [x] / (x^4 +1) ∼= Z_41 ⊕ Z_41 ⊕ Z_41 ⊕ Z_41; 3. Z_19 [x] / (x^4 −5) ∼= Z_19 ⊕ Z_19 ⊕ GF(361). 31. Докажите, что Z_n – поле тогда и только тогда, когда n – простое число. 32. Докажите, что a ∈ (Z_n)^∗ ⇔ (a, n) = 1. 33. Докажите, что (Z_(p^k))^* – циклическая группа, если p – нечетное простое число. 35. Доказать, что в конечном кольце с единицей: 1) каждый элемент, имеющий односторонний обратный, обратим; 2) всякий левый делитель нуля является правым делителем нуля. 36. Докажите, что M_2 (GF(q)) удовлетворяет тождеству (x – x^q)(x – x^(q^2)) = 0. 37. Пусть R – простое кольцо, удовлетворяющее тождеству x = x^3. Докажите, что R изоморфно либо GF(2), либо GF(3). 38. Докажите, что x^2 = x^8 и [(x + x^2)^3, y] = 0 – тождества в кольце M_2 (GF(2)). 39. Докажите, что: 1. x^2 = x^26 – тождество в M_2 (GF(3)); 2. x^3 = x^87 – тождество в M_3 (GF(2)); 3. x^3 = x^315 – тождество в M_3 (GF(3)). 40. Докажите, что в кольце Z_105 выполнено тождество (x + y)^49 = x^49 + y^49. КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ: «Отлично» (зачтено): студентом дан полный, в логической последовательности развернутый ответ на поставленные вопросы, где он продемонстрировал знания предмета в полном объеме учебной программы, достаточно глубоко осмысливает дисциплину, самостоятельно, и исчерпывающе отвечает на дополнительные вопросы, приводит собственные примеры по проблематике поставленного вопроса, решил предложенные практические задания без ошибок. «Хорошо» (зачтено): студентом дан развернутый ответ на поставленный вопрос, где студент демонстрирует знания, приобретенные на лекционных и семинарских занятиях, а также полученные посредством изучения обязательных учебных материалов по курсу, дает аргументированные ответы, приводит примеры, в ответе присутствует свободное владение монологической речью, логичность и последовательность ответа. Однако допускаются неточности в ответе. Решил предложенные практические задания с небольшими неточностями. «Удовлетворительно» (зачтено): студентом дан ответ, свидетельствующий в основном о знании процессов изучаемой дисциплины, отличающийся недостаточной глубиной и полнотой раскрытия темы, знанием основных вопросов теории, слабо сформированными навыками анализа явлений, процессов, недостаточным умением давать аргументированные ответы и приводить примеры, недостаточно свободным владением монологической речью, логичностью и последовательностью ответа. Допускается несколько ошибок в содержании ответа и решении практических заданий. «Неудовлетворительно» (не зачтено): студентом дан ответ, который содержит ряд серьезных неточностей, обнаруживающий незнание процессов изучаемой предметной области, отличающийся неглубоким раскрытием темы, незнанием основных вопросов теории, неумением давать аргументированные ответы. Выводы поверхностны. Решение практических заданий не выполнено. Студент не способен ответить на вопросы даже при дополнительных наводящих вопросах преподавателя. |
| 6.1. Рекомендуемая литература | ||||
| 6.1.1. Основная литература | ||||
| Авторы | Заглавие | Издательство, год | Эл. адрес | |
| Л1.1 | М.И. Каргаполов, Мерзляков Ю.И. | Основы теории групп: учеб. пособие | СПб.: Лань, // ЭБС «Лань», 2009 | http://e.lanbook.com/book/177 |
| Л1.2 | Ю. Н. Мальцев, Е. В. Журавлев | Лекции по теории ассоциативных колец: учеб. пособие | Изд-во АлтГУ, 2015 | elibrary.asu.ru |
| 6.1.2. Дополнительная литература | ||||
| Авторы | Заглавие | Издательство, год | Эл. адрес | |
| Л2.1 | Кострикин А.И. | Введение в алгебру. Часть 3: Основные структуры алгебры.: учеб. пособие | М.: МЦМНО, 2009 | http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=62951 |
| Л2.2 | А.Г. Курош | Теория групп: учеб. пособие | СПб.: Лань, 2005 | |
| 6.2. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет" | ||||
| Название | Эл. адрес | |||
| Э1 | Сайт библиотеки АлтГУ: www.lib.asu.ru; | |||
| Э2 | электронно-библиотечная система издательства «Лань»: www.e.lanbook.com; | |||
| Э3 | электронно-библиотечная система "Университетская библиотека online": www.biblioclub.ru; | |||
| Э4 | Теория колец | portal.edu.asu.ru | ||
| 6.3. Перечень программного обеспечения | ||||
| 1. Microsoft Office 2010 (Office 2010 Professional, № 4065231 от 08.12.2010), (бессрочно); 2. Microsoft Windows 7 (Windows 7 Professional, № 61834699 от 22.04.2013), (бессрочно); 3. Chrome (http://www.chromium.org/chromium-os/licenses ), (бессрочно); 4. 7-Zip (http://www.7-zip.org/license.txt ), (бессрочно); 5. AcrobatReader (http://wwwimages.adobe.com/content/dam/Adobe/en/legal/servicetou/Acrobat_com_Additional_TOU-en_US-20140618_1200.pdf), (бессрочно); 6. ASTRA LINUX SPECIAL EDITION (https://astralinux.ru/products/astra-linux-special-edition/), (бессрочно); 7. LibreOffice (https://ru.libreoffice.org/), (бессрочно); 8. Веб-браузер Chromium (https://www.chromium.org/Home/), (бессрочно); 9. Антивирус Касперский (https://www.kaspersky.ru/), (до 23 июня 2024); 10. Архиватор Ark (https://apps.kde.org/ark/), (бессрочно); 11. Okular (https://okular.kde.org/ru/download/), (бессрочно); 12. Редактор изображений Gimp (https://www.gimp.org/), (бессрочно) | ||||
| 6.4. Перечень информационных справочных систем | ||||
| 1. http://www.lib.asu.ru - Научная библиотека Алтайского государственного университета; 2. http://www.biblioclub.ru - электронно-библиотечная система издательства «Лань»; 3. http://exponenta.ru - Образовательный математический сайт 4. http://www.biblioclub.ru - электронно-библиотечная система "Университетская библиотека online"; 5. База данных литературы информационно-методического кабинета факультета социологии АлтГУ "ФОЛИАНТ" | ||||
| Аудитория | Назначение | Оборудование |
|---|---|---|
| Учебная аудитория | для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), проведения практик | Стандартное оборудование (учебная мебель для обучающихся, рабочее место преподавателя, доска) |
| Помещение для самостоятельной работы | помещение для самостоятельной работы обучающихся | Компьютеры, ноутбуки с подключением к информационно-телекоммуникационной сети «Интернет», доступом в электронную информационно-образовательную среду АлтГУ |
| 1. Для успешного освоения содержания дисциплины необходимо посещать лекции, принимать активное участие в работе на семинаре, практическом занятии, а также выполнять задания, предлагаемые преподавателем для самостоятельного изучения. 2. Лекция. -На лекцию приходите не опаздывая, так как это неэтично. - На лекционных занятиях необходимо конспектировать изучаемый материал. - Для систематизации лекционного материала, который будет полезен при подготовке к итоговому контролю знаний, записывайте на каждой лекции тему, вопросы для изучения, рекомендуемую литературу. - В каждом вопросе выделяйте главное, обязательно запишите ключевые моменты (определение, факты, законы, правила и т.д.), подчеркните их. - Если по содержанию материала возникают вопросы, не нужно выкрикивать, запишите их и задайте по окончании лекции или на семинарском занятии. - Перед следующей лекцией обязательно прочитайте предыдущую, чтобы актуализировать знания и осознанно приступить к освоению нового содержания. 3.Семинарское (практическое) занятие – это форма работы, где студенты максимально активно участвуют в обсуждении темы. - Для подготовки к семинару необходимо взять план семинарского занятия (у преподавателя). - Самостоятельную подготовку к семинарскому занятию необходимо начинать с изучения понятийного аппарата темы. Рекомендуем использовать справочную литературу (словари, справочники, энциклопедии), целесообразно создать и вести свой словарь терминов. - На семинар выносится обсуждение не одного вопроса, поэтому важно просматривать и изучать все вопросы семинара, но один из вопросов исследовать наиболее глубоко, с использованием дополнительных источников (в том числе тех, которые вы нашли самостоятельно). Не нужно пересказывать лекцию. - Важно запомнить, что любой источник должен нести достоверную информацию, особенно это относится к Internet-ресурсам. При использовании Internet - ресурсов в процессе подготовки не нужно их автоматически «скачивать», они должны быть проанализированы. Не нужно «скачивать» готовые рефераты, так как их однообразие преподаватель сразу выявляет, кроме того, они могут быть сомнительного качества. - В процессе изучения темы анализируйте несколько источников. Используйте периодическую печать - специальные журналы. - Полезным будет работа с электронными учебниками и учебными пособиями в Internet-библиотеках. Зарегистрируйтесь в них: университетская библиотека Онлайн (http://www.biblioclub.ru/) и электронно-библиотечная система «Лань» (http://e.lanbook.com/). - В процессе подготовки и построения ответов при выступлении не просто пересказывайте текст учебника, но и выражайте свою личностно-профессиональную оценку прочитанного. - Если к семинарским занятиям предлагаются задания практического характера, продумайте план их выполнения или решения при подготовке к семинару. - При возникновении трудностей в процессе подготовки взаимодействуйте с преподавателем, консультируйтесь по самостоятельному изучению темы. 4. Самостоятельная работа. - При изучении дисциплины не все вопросы рассматриваются на лекциях и семинарских занятиях, часть вопросов рекомендуется преподавателем для самостоятельного изучения. - Поиск ответов на вопросы и выполнение заданий для самостоятельной работы позволит вам расширить и углубить свои знания по курсу, применить теоретические знания в решении задач практического содержания, закрепить изученное ранее. - Эти задания следует выполнять не «наскоком», а постепенно, планомерно, следуя порядку изучения тем курса. - При возникновении вопросов обратитесь к преподавателю в день консультаций на кафедру. - Выполнив их, проанализируйте качество их выполнения. Это поможет вам развивать умения самоконтроля и оценочные компетенции. 5. Итоговый контроль. - Для подготовки к зачету/экзамену возьмите перечень примерных вопросов у преподавателя. - В списке вопросов выделите те, которые были рассмотрены на лекции, семинарских занятиях. Обратитесь к своим записям, выделите существенное. Для более детального изучения изучите рекомендуемую литературу. - Если в списке вопросов есть те, которые не рассматривались на лекции, семинарском занятии, изучите их самостоятельно. Если есть сомнения, задайте вопросы на консультации перед экзаменом. - Продумайте свой ответ на экзамене, его логику. Помните, что ваш ответ украсит ссылка на источник литературы, иллюстрация практики применения теоретического знания, а также уверенность и наличие авторской аргументированной позиции как будущего субъекта профессиональной деятельности. |