Математика в профессиональной деятельности - Рабочая программа дисциплины - 10.03.01. Информационная безопасность - Направления подготовки

Закреплена за кафедрой	Кафедра информационной безопасности
Направление подготовки	10.03.01. Информационная безопасность
Профиль	Безопасность автоматизированных систем (в сфере профессиональной деятельности)
Форма обучения	Очная
Общая трудоемкость	4 ЗЕТ
Учебный план	10_03_01_Информационная безопасность_БАС-2023

Курс (семестр)	2 (4)	Итого
Недель	22
Вид занятий	УП	РПД	УП	РПД
Лекции	30	30	30	30
Практические	20	20	20	20
Сам. работа	67	67	67	67
Часы на контроль	27	27	27	27
Итого	144	144	144	144

1. Цели освоения дисциплины

1.1.	Целью преподавания дисциплины «Математика в професиональной деятельности» является ... Задачи дисциплины:

2. Место дисциплины в структуре ООП

Цикл (раздел) ООП: Б1.О.04

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

ОПК-3	Способен использовать необходимые математические методы для решения задач профессиональной деятельности;
ОПК-3.1	Знает необходимые математические методы и теоретический аппарат для решения задач обеспечения защиты информации.
ОПК-3.2	Умеет применять совокупность необходимых математических методов и теоретических знаний для решения задач обеспечения защиты информации.
ОПК-8	Способен осуществлять подбор, изучение и обобщение научно-технической литературы, нормативных и методических документов в целях решения задач профессиональной деятельности;
ОПК-8.1	Знает методы систематизации научно-технической литературы, нормативных и методических документов для решения прикладных проблем информационной безопасности.
ОПК-8.2	Умеет изучать и обобщать научно-техническую литературу, подбирать нормативные и методические документы для решения профессиональных задач.
ОПК-8.3	Владеет навыками сбора, обработки, анализа и систематизации информации на основе научно-технической литературы, нормативных и правовых документов в области профессиональной деятельности.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
3.1.	Знать:
3.1.1.	ОПК-3.1. Знает необходимые математические методы и теоретический аппарат для решения задач обеспечения защиты информации. ОПК-8.1. Знает методы систематизации научно-технической литературы, нормативных и методических документов для решения прикладных проблем информационной безопасности.
3.2.	Уметь:
3.2.1.	ОПК-3.2. Умеет применять совокупность необходимых математических методов и теоретических знаний для решения задач обеспечения защиты информации. ОПК-8.2. Умеет изучать и обобщать научно-техническую литературу, подбирать нормативные и методические документы для решения профессиональных задач.
3.3.	Иметь навыки и (или) опыт деятельности (владеть):
3.3.1.	ОПК-8.3. Владеет навыками сбора, обработки, анализа и систематизации информации на основе научно-технической литературы, нормативных и правовых документов в области профессиональной деятельности.

4. Структура и содержание дисциплины

Код занятия	Наименование разделов и тем	Вид занятия	Семестр	Часов	Компетенции	Литература
Раздел 1. Алгебраические основы
1.1.	Бинарные отношения. Отношение эквивалентности. Отношение частичного порядка. Полугруппы. Группы. Подгруппы. Смежные классы. Теорема Лагранжа. Нормальная подгруппа. Фактор-группа. Морфизмы групп Кольца. Кольца многочленов. Подкольца. Идеалы кольца. Фактор-кольцо. Кольцо классов вычетов. Морфизмы колец. Кольца главных идеалов Поля. Простые идеалы. Подполе. Поле частных. Простые поля. Характеристика поля. Расширение полей. Поля разложения многочлена. Конечные поля. Образующие элементы конечного поля. Неприводимые многочлены над конечными полями. Автоморфизм Фробениуса. Совершенные поля. Трансцендентные расширения полей.	Лекции	4	8	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-8.1, ОПК-8.2, ОПК-8.3	Л1.1, Л2.1
1.2.	Полугруппы. Группы. Подгруппы	Практические	4	2	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-8.1, ОПК-8.2, ОПК-8.3	Л1.2
1.3.	Неприводимые многочлены над конечными полями.	Практические	4	2	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-8.1, ОПК-8.2, ОПК-8.3	Л1.2
1.4.	Полугруппы. Группы. Подгруппы. Неприводимые многослены над конечными полями.	Сам. работа	4	22	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-8.1, ОПК-8.2, ОПК-8.3	Л1.1
Раздел 2. Элементы теоретико-числовых методов
2.1.	Отношение делимости целых чисел. Наибольший общий делитель. Обобщенный алгоритм Евклида. Мультипликативные функции. Функция Мебиуса. Функция Эйлера. Сравнения. Теоремы Эйлера и Ферма. Системы линейных сравнений. Китайская теорема об остатках. Первообразные корни по простому модулю. Первообразные корни по составному модулю. Индексы (дискретные логарифмы). Квадратичные вычеты и невычеты. Символы Лежандра и Якоби. Тесты на простоту. Квадратичные сравнения по простому модулю. Квадратичные сравнения по составному модулю. Тесты на простоту. Тест на основе малой теоремы Ферма. Тест Соловея-Штрассена. Тест Миллера-Рабина. N −1 методы доказательства простоты. Разложение целых чисел на множители. Метод пробного деления. ρ-метод Полларда. (p −1)-метод Полларда. Методы дискретного логарифмирования. Полный перебор. Метод Гельфонда-Шенкса. ρ-метод Полларда. Метод исчисления порядка.	Лекции	4	10	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-8.1, ОПК-8.2, ОПК-8.3	Л1.1
2.2.	Обобщенный алгоритм Евклида	Практические	4	2	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-8.1, ОПК-8.2, ОПК-8.3	Л2.1, Л1.3
2.3.	Китайская теорема об остатках	Практические	4	2	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-8.1, ОПК-8.2, ОПК-8.3	Л1.3
2.4.	Тесты на простоту	Практические	4	2	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-8.1, ОПК-8.2, ОПК-8.3	Л1.3
2.5.	(p −1)-метод Полларда	Практические	4	2	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-8.1, ОПК-8.2, ОПК-8.3	Л1.3
2.6.	Отношение делимости целых чисел. Наибольший общий делитель. Обобщенный алгоритм Евклида. Мультипликативные функции. Функция Мебиуса. Функция Эйлера. Сравнения. Теоремы Эйлера и Ферма. Системы линейных сравнений. Китайская теорема об остатках. Первообразные корни по простому модулю. Первообразные корни по составному модулю. Индексы (дискретные логарифмы).	Сам. работа	4	22	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-8.1, ОПК-8.2, ОПК-8.3	Л1.3
Раздел 3. Практическая линейная алгебра
3.1.	Псевдообратная матрица и метод наименьших квадратов Линейная регрессия, примеры решения практических задач. Разложение полного ранга и SVD. Использование этих разложений для вычисления псевдообратной матрицы. Метрики и нормы. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах, окрестности, связь с понятием предела. Эквивалентность норм и эквивалентность топологий. Теорема об эквивалентности норм в конечномерных пространствах. Функции от матриц. Многочлены от матриц, минимальный многочлен матрицы. Многочлен Лагранжа. Матричные ряды. Представление элементарных функций рядами Тейлора. Вычисление матричных функций и оценка остаточного члена через спектральный радиус. Элементы теории возмущений Оценки собственных значений. Число обусловленности матрицы. Связь с обусловленностью систем линейных уравнений. Приближенное решение систем линейных уравнений. Методы решения больших систем линейных уравнений: обзор и примеры. Линейная алгебра и задачи оптимизации Итерационные методы решения систем линейных уравнений. Численные методы решения минимизации среднеквадратичного отклонения с линейными ограничениями. Задача выпуклого программирования и методы ее решения.	Лекции	4	12	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-8.1, ОПК-8.2, ОПК-8.3	Л1.2, Л1.3
3.2.	SVD-разложение	Практические	4	2	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-8.1, ОПК-8.2, ОПК-8.3	Л1.2
3.3.	Приближенное решение систем линейных уравнений	Практические	4	2	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-8.1, ОПК-8.2, ОПК-8.3	Л1.2
3.4.	Итерационные методы решения систем линейных уравнений	Практические	4	4	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-8.1, ОПК-8.2, ОПК-8.3	Л1.2
3.5.	Линейная алгебра и задачи оптимизации Итерационные методы решения систем линейных уравнений. Численные методы решения минимизации среднеквадратичного отклонения с линейными ограничениями. Задача выпуклого программирования и методы ее решения.	Сам. работа	4	23	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-8.1, ОПК-8.2, ОПК-8.3	Л1.2

5. Фонд оценочных средств

5.1. Контрольные вопросы и задания для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины

Оценочные материалы для текущего контроля по разделам и темам дисциплины в полном объеме размещены в онлайн-курсе на образовательном портале «Цифровой университет АлтГУ» - https://portal.edu.asu.ru/course/view.php?id=8834

ОЦЕНКА СФОРМИРОВАННОСТИ КОМПЕТЕНЦИЙ:
ОПК-3: Способен использовать необходимые математические методы для решения задач профессиональной деятельности;
Индикаторы достижения компетенции:
ОПК-3.1: Знает необходимые математические методы и теоретический аппарат для решения задач обеспечения защиты информации.
ОПК-3.2: Умеет применять совокупность необходимых математических методов и теоретических знаний для решения задач обеспечения защиты информации.
ОПК-8: Способен осуществлять подбор, изучение и обобщение научно-технической литературы, нормативных и методических документов в целях решения задач профессиональной деятельности;
Индикаторы достижения компетенции:
ОПК-8.1: Знает методы систематизации научно-технической литературы, нормативных и методических документов для решения прикладных проблем информационной безопасности.
ОПК-8.2: Умеет изучать и обобщать научно-техническую литературу, подбирать нормативные и методические документы для решения профессиональных задач.
ОПК-8.3: Владеет навыками сбора, обработки, анализа и систематизации информации на основе научно-технической литературы, нормативных и правовых документов в области профессиональной деятельности.

Примеры заданий закрытого типа

1. Установите соответствие между свойствами (обозначены цифрами) и их названиями (обозначены буквами)

1) Если бинарная алгебраическая операция * определена на множестве M, то для любых двух элементов a,b множества M a*b тоже является
элементом множества M
2) Пусть операция * такова, что для любых двух элементов a, b справедливо a*b = b*a
3) Пусть операция * такова, что для любых трех элементов a, b, c справедливо (a*b)*c = a*(b*c)

а) Коммутативность операции *
б) Ассоциативность операции *
в) Замкнутость множества относительно операции *, или групповое свойство этой операции

Ответ: 1-в, 2-а, 3-б.

2. Выберите два правильных утверждения

а) умножение матриц коммутативно
б) умножение матриц некоммутативно
в) умножение матриц ассоциативно
г) умножение матриц неассоциативно

Ответ: бв.

3. Пусть на множестве M определены две произвольные бинарные операции, одна из которых коммутативна, а другая некоммутативна. Выберите два правильных утверждения.

а) коммутативную операцию чаще всего называют "сложением"
б) коммутативную операцию чаще всего называют "умножением"
в) некоммутативную операцию чаще всего называют "умножением"
г) некоммутативную операцию чаще всего называют "сложением"

Ответ: ав.

4. Множество с определенными на нем операциями - это (выберите один правильный ответ)

а) полугруппа
б) алгебраическая система
в) группа
г) поле

Ответ: б.

5. Выберите два правильных утверждения.

а) любая алгебраическая операция ассоциативна
б) алгебраическая система с одной ассоциативной бинарной операцией называется полугруппой
в) любая группа является также полугруппой
г) любая алгебраическая операция коммутативна
д) любая полугруппа является также группой

Ответ: бв.

6. С именами каких двух математиков связано возникновение теории групп?

а) Евклид
б) Абель
в) Декарт
г) Галуа

Ответ: бг.

7. Какое из требований НЕ входит в определение группы?

а) замкнутость несущего множества M относительно операции
б) ассоциативность операции
в) коммутативность операции
г) наличие нейтрального элемента в составе M
д) наличие в M обратного элемента у каждого элемента из M

Ответ: в.

8. Какие алгебраические системы являются группами? (выберите два верных ответа)

а) множество всех действительных чисел с операцией умножения
б) множество всех положительных действительных чисел с операцией умножения
в) множество всех целых положительных чисел с операцией сложения
г) множество всех целых чисел с операцией сложения

Ответ: бг.

9. Даны две алгебраические системы: A - множество всех действительных чисел с операцией сложения;
B - множество всех положительных действительных чисел с операцией умножения. Какая функция осуществляет
изоморфное отображение A на B? (выберите один правильный ответ)

a) экспонента
б) линейная функция
в) синус
г) квадратный корень

Ответ: а.

10. Выберите два правильных утверждения.

а) группа может не иметь ни одной циклической подгруппы
б) все циклические группы одного и того же порядка изоморфны
в) среди циклических групп есть неабелевы
г) все бесконечные циклические группы изоморфны группе <Z;+>

Ответ: бг.

11. Разбиение множества - это представление его в виде (выберите один правильный ответ)

а) объединения произвольных подмножеств
б) объединения попарно непересекающихся непустых подмножеств
в) пересечения подмножеств

Ответ: б.

12. Выберите три правильных утверждения.

а) все смежные классы являются группами
б) всякий смежный класс порождается любым из своих элементов
в) любой смежный класс группы по ее подгруппе H содержит столько же элементов, что и H
г) порядок конечной группы делится на порядок подгруппы

Ответ: бвг.

13. Выберите два правильных утверждения.

а) если произвольное множество разбито на классы эквивалентности, то во всех классах - одинаковое число элементов
б) разные классы эквивалентности, на которые разбито множество, могут содержать, вообще говоря, разное число элементов
в) все смежные классы группы по заданной подгруппе содержат одинаковое число элементов
г) разные смежные классы группы по заданной подгруппе могут содержать разное число элементов

Ответ: бв.

14. Сколько подгрупп имеет группа G, если число ее элементов |G|=3? (выберите один правильный ответ)

а) ни одной, так как число 3 - простое
б) только две несобственные подгруппы, так как число 3 - простое
в) 3
г) 6

Ответ: б.

15. Как известно, симметрическая группа подстановок 3-й степени содержит 6 элементов. Сколько элементов могут содержать
ее собственные подгруппы? (выберите два правильных ответа)

а) 2
б) 3
в) 4
г) 5

Ответ: аб.

16. Пусть порядок группы G - простое число. Укажите два правильных утверждения.

а) группа G - циклическая
б) группа G - абелева
в) группа G не может быть циклической
г) группа G не может быть абелевой
д) в зависимости от того, из каких элементов состоит G, она может либо быть, либо не быть циклической
е) в зависимости от того, из каких элементов состоит G, она может либо быть, либо не быть абелевой

Ответ: аб.

17. Выберите два правильных утверждения.

а) кольцо может содержать нейтральный элемент по умножению ("единица"), а может не содержать
б) кольцо всегда содержит единицу
в) у каждого элемента кольца есть обратный элемент
г) кольцо является абелевой группой относительно сложения
д) кольцо является группой относительно умножения

Ответ: аг.

18. Выберите два правильных утверждения.

а) в кольце у каждого элемента, кроме нуля, есть обратный элемент
б) в кольце, кроме нуля, могут быть и другие элементы, у которых нет обратных элементов
в) в поле у каждого элемента, кроме нуля, есть обратный элемент
г) в поле, кроме нуля, могут быть и другие элементы, у которых нет обратных элементов

Ответ: бв.

19. Выберите два правильных утверждения.

а) в единичной матрице на главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы - нули
б) все элементы единичной матрицы - единицы
в) все элементы нулевой матрицы - нули
г) нулевая матрица - это любая матрица с нулями на главной диагонали

Ответ: ав.

20. Выберите три правильных утверждения.

а) если матрица невырожденная, то для нее существует обратная матрица
б) вырожденные матрицы являются делителями нуля
в) у вырожденных матриц нет обратных матриц
г) множество матриц образует поле

Ответ: абв.

КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ: каждое задание оценивается 1 баллом. Итоговая оценка: "отлично" - верно выполнено 85-100% заданий; "хорошо" - 70-84% заданий; "удовлетворительно" - верно выполнено 51-69% заданий: "неудовлетворительно" - верно выполнено 50% или менее 50% заданий.

Примеры заданий открытого типа

Условные обозначения:
сравнимость чисел a, b по модулю m: a = b (mod m)
a в степени k: a^k
a1 - a с индексом 1

1. Что означает замкнутость множества M относительно некоторой бинарной операции * ?
Ответ: Для всяких двух элементов a,b множества M a*b тоже принадлежит M.

2. Известно, что некоторая бинарная операция *, заданная на множестве M, коммутативна. Что это означает?
Ответ: a*b=b*a для всех элементов a,b множества M.

3. Что такое алгебраическая система?
Ответ: множество с определенными на нем операциями.

4. Что такое полугруппа?
Ответ: алгебраическая система с одной бинарной ассоциативной операцией.

5. Пусть на множестве слов M* определена операция конкатенации (сцепления).
1) Образует ли M* полугруппу?
2) Образует ли M* группу?
Ответ:
1) да, так как конкатенация ассоциативна
2) нет, так как сцепление никаких двух непустых (ненулевой длины) слов не может привести к пустому слову и, таким образом,
нет противоположных элементов.

6. Что такое подгруппа некоторой группы?
Ответ: это часть группы, которая сама является группой.

7. Может ли существовать взаимно-однозначное соответствие между элементами группы и элементами ее собственной подгруппы?
Ответ: может, если группа бесконечна.

8. Пусть множество разбито на подмножества. В каком отношении друг к другу находятся элементы одного и того же подмножества?
Ответ: в отношении эквивалентности.

9. Дано множество M={...,0, 2, 3,...} (числа упорядочены по возрастанию). Может ли алгебраическая система <M;+> быть группой? Почему?
Ответ: Нет. Если эта система - группа, то, наряду с числом 2, M содержит число -2, а тогда и -2+3=1; но по условию число 1 не входит в M.

10. Образует ли группу множество 1+2Z с операцией сложения чисел? Почему?
Ответ: Нет. Множество нечетных чисел 1+2Z незамкнуто относительно сложения (сумма двух нечетных чисел - четное число).

11. Образует ли множество трех чисел {-1,0,1}
1) группу относительно умножения? Почему?
2) группу относительно сложения? Почему?
Ответ:
1) Нет. У числа ноль нет обратного элемента.
2) Нет. В этом множестве нет, например, числа 1+1=2.

12. Коммутативно ли умножение подстановок?
Ответ: нет.

13. Для каких целых чисел справедливо сравнение a^7 = a (mod 7)?
Ответ: так как число 7 - простое, то, согласно малой теореме Ферма, это справедливо для любых целых a.

14. Дана матрица 2x2 A с элементами a11=1, a12=0, a21=0, a22=0 и матрица 2x2 B с элементами b11=0, b12=1, b21=0, b22=0.
Найдите элементы cij матрицы C=AB и элементы dij матрицы D=BA.
Ответ: c11=0, c12=1, c21=0, c22=0; d11=0, d12=0, d21=0, d22=0.

15. Найдите определители матриц: A с элементами a11=1, a12=1, a21=1, a22=1; B с элементами b11=1, b12=1, b21=-1, b22=1.
У которой из них имеется обратная матрица?
Ответ: |A|=0, обратной матрицы нет. |B|=2, обратная матрица есть.

16. Решите сравнение 13x = 16 (mod 7).
Ответ: x = 5 (mod 7).
Возможный ход решения: 13x-14x = 16 (mod 7), -x = 16 (mod 7), x = -16 (mod 7), x = -16+21 (mod 7), x = 5 (mod 7).

17. Даны подстановки: A, верхняя строка: 1 2 3, нижняя строка 2 1 3; B, верхняя строка: 1 2 3, нижняя строка 1 3 2.
Найдите произведение АВ.
Ответ: верхняя строка: 1 2 3, нижняя строка: 3 1 2.

18. Именем какого математика называются группы с коммутативной операцией?
Ответ: абелевы группы.

19. Что такое симметрическая группа подстановок степени n?
Ответ: это множество ВСЕХ подстановок степени n с операцией умножения подстановок.

20. Пусть произвольная (не обязательно абелева) группа G имеет такую подгруппу H, что для любого элемента g группы G
левый и правый классы по подгруппе H совпадают: g*H=H*g. Как называется в таком случае подгруппа H?
Ответ: нормальный делитель, или нормальная подгруппа, или инвариантная подгруппа.

21. Как известно, множество смежных классов группы G по ее нормальной подгруппе H образует группу относительно операции
умножения классов. Как называется, как обозначается эта группа?
Ответ: факторгруппа; G/H.

22. Какую алгебраическую систему образуют матрицы?
Ответ: кольцо.

23. В каком случае матрица A называется вырожденной?
Ответ: если ее определитель равен нулю: |A|=0, или det A=0.

24. Перечислите аксиомы отношения эквивалентности.
Ответ:
1) рефлексивность: a ~ a
2) симметричность: если a ~ b, то b ~ a
3) транзитивность: если a ~ b и b ~ c, то a ~ c.

25. Пусть группа G включает бинарную операцию *. Пусть H - подгруппа группы G; g - элемент группы G. Как называются подмножества G,
обозначаемые g*H, H*g?
Ответ: соответственно левый и правый смежные классы группы G по подгруппе H, порожденные элементом g.

26. Как известно, один из смежных классов группы G по подгруппе H - это сама подгруппа. Каким элементом группы G порождается этот класс?
Ответ: нейтральным элементом e, так как e*H=H*e=H.

27. Пусть G - группа с бинарной операцией * ("умножение"). Умножим все элементы группы G на некоторый элемент этой же группы.
Что вы можете сказать о получившейся алгебраической системе?
Ответ: это - та же группа G, так как G уже содержит всевозможные произведения своих элементов.

28. Образуют ли подгруппы некоторой группы ее разбиение?
Ответ: Нет. Подгруппы всегда пересекаются хотя бы потому, что все они содержат нейтральный элемент.

29. Пусть f - гомоморфное отображение группы G в группу G'. Пусть a - некоторый элемент ядра гомоморфизма;
e' - нейтральный элемент группы G'. Чему равно f(a)?
Ответ: f(a)=e' по определению ядра гомоморфизма.

КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ: каждое задание оценивается 1 баллом. Итоговая оценка: "отлично" - верно выполнено 85-100% заданий; "хорошо" - 70-84% заданий; "удовлетворительно" - верно выполнено 51-69% заданий: "неудовлетворительно" - верно выполнено 50% или менее 50% заданий.

5.2. Темы письменных работ для проведения текущего контроля (эссе, рефераты, курсовые работы и др.)

Лабораторные работы, выполненные в компьютерном классе, требуют оформления отчета. Темы таких работ:

1. Метод пробных делений. Тест Ферма.
2. Квадратичные вычеты. Символ Лежандра. Символ Якоби. Алгоритм вычисления символа Якоби.
Критерий Эйлера простоты числа. Тест Соловея - Штрассена.
3. Вероятностный тест Миллера - Рабина. Детерминированный вариант теста Миллера - Рабина.
4. Факторизация чисел: ро-метод Полларда (метод Полларда - Флойда).

5.3. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации

Промежуточная аттестация заключается в проведении в конце семестра экзамена по всему изученному курсу. Экзамен проводится в устной форме по билетам. В билет входит 2 вопроса: как правило, 1 вопрос теоретического характера и 1 вопрос практико-ориентированного характера (задача).

Перечень вопросов к экзамену
1. Понятие бинарной алгебраической операции. Примеры коммутативных и некоммутативных, ассоциативных и неассоциативных бинарных операций.
Определение и пример полугруппы. Определение группы. Абелевы группы. Примеры групп. Свойство сократимости.
(Параграфы: 1. Бинарные операции. Алгебраические структуры. 2. Полугруппы и группы.)
2. Определение и пример изоморфных групп. (Параграф 3. Изоморфные группы.)
3. Определение подстановки. Умножение подстановок. Симметрическая группа подстановок S_n, ее некоммутативность при n>2.
Определение подгруппы. Пример: подгруппы симметрической группы подстановок S_3. Теорема Кэли. (Параграфы: 4. Группы подстановок. 5. Подгруппы.)
4. Определение и пример гомоморфного отображения. Свойство гомоморфного образа группы. Ядро гомоморфизма, его свойство.
(Параграф 6. Гомоморфные отображения.)
5. Определение циклической группы. Примеры аддитивной и мультипликативной циклических групп. Пример конечной циклической группы.
Свойства циклических групп. (Параграф 7. Циклические группы.)
6. Примеры бинарных отношений. Определение отношения эквивалентности. Класс эквивалентности. Разбиение множества. Фактормножество.
(Параграф 8. Отношение эквивалентности.)
7. Определение смежных классов. Свойства смежных классов. Теорема Лагранжа, примеры ее применения. (Параграф 9. Разложение группы по подгруппе.)
8. Нормальные делители группы. Умножение смежных классов. Факторгруппа; пример: группа вычетов. Теорема о гомоморфизмах.
(Параграф 10. Факторгруппа.)
9. Определение кольца. Делители нуля, отсутствие у них обратных элементов. Определение поля. Кольцо матриц. Пример множества матриц,
образующих поле: матричная интерпретация комплексного числа. (Параграф 11. Кольца и поля.)
10. Комплексное число как пара действительных чисел; поле комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи
комплексного числа. Формула Эйлера. Показательная форма записи комплексного числа. Примеры применения формулы Эйлера. Вывод формулы Эйлера.
(Параграф 12. Поле комплексных чисел.)
11. Класс вычетов по модулю m. Сложение и умножение классов вычетов. Кольца классов вычетов по составному модулю и по простому модулю.
Поле вычетов по модулю m. Функция Эйлера. Теорема Эйлера. (Параграф 13. Классы вычетов.)

Примеры и темы задач к экзамену (на экзамене будут НЕ эти задачи, а аналогичные)
1. Дано множество M={... 0, 2, 3, ...} (числа упорядочены по возрастанию). Докажите, что <M;+> не является группой. (Параграф 7)
2. Образует ли группу множество 1+2Z с операцией сложения? (Лаб. работа 1)
3. Образует ли объединение множеств множеств 2Z и 3Z группу относительно сложения? (Лаб. работа 1)
4. На множестве чисел задана бинарная операция "*": n*m=-(n+m). Является ли эта операция ассоциативной? Коммутативной? (Параграф 2)
5. На множестве R+ задана бинарная операция "*": x*y=x^y. Является ли <R^+; *> группой? (Лаб. работа 1)
6. Образует ли множество трех чисел {-1,0,1} группу относительно умножения? Образует ли оно группу относительно сложения? (Лаб. работа 1)
7. Задача на умножение подстановок. (Параграф 4)
8. С помощью алгоритма Евклида найдите частное решение уравнения 5x+2y=3 (x,y - целые). Найдите общее решение. (Аналогичная задача: Лаб. 2, N 5)
9. Решите сравнение 13x = 16 (mod 7). (Лаб. работа 3)
10. Решите уравнение 5x+2y=3 (x,y - целые) с помощью сравнений. (Аналогичная задача: Лаб. 3, N 8)
11. Для каких целых чисел a справедливо сравнение a^7 = a (mod 7)? (См. Лаб. 5, Задание 3)
12. Даны числа n=7654321, a=12. Известно, что остаток от деления a^{(n-1)/2} на n равен 6886223, а символ Якоби
J{a,n)=1. Какое n - простое или составное? (См. Лаб. 6, Теорема 1 и ее следствие.)
13. Задача на умножение матриц. (Параграфы 1, 11)
14. Докажите. что группы <Z; +> и <2Z; +> изоморфны (по отношению друг к другу) (Параграфы 5, 3)
15. Задача о проверке существования обратной матрицы и о ее нахождении. (Параграф 11; Лаб. работа 2)

КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ:
«Отлично» (зачтено): студентом дан полный, в логической последовательности развернутый ответ на поставленные вопросы, где он продемонстрировал знания предмета в полном объеме учебной программы, достаточно глубоко осмысливает дисциплину, самостоятельно, и исчерпывающе отвечает на дополнительные вопросы, приводит собственные примеры по проблематике поставленного вопроса, решил предложенные практические задания без ошибок.
«Хорошо» (зачтено): студентом дан развернутый ответ на поставленный вопрос, где студент демонстрирует знания, приобретенные на лекционных и семинарских занятиях, а также полученные посредством изучения обязательных учебных материалов по курсу, дает аргументированные ответы, приводит примеры, в ответе присутствует свободное владение монологической речью, логичность и последовательность ответа. Однако допускаются неточности в ответе. Решил предложенные практические задания с небольшими неточностями.
«Удовлетворительно» (зачтено): студентом дан ответ, свидетельствующий в основном о знании процессов изучаемой дисциплины, отличающийся недостаточной глубиной и полнотой раскрытия темы, знанием основных вопросов теории, слабо сформированными навыками анализа явлений, процессов, недостаточным умением давать аргументированные ответы и приводить примеры, недостаточно свободным владением монологической речью, логичностью и последовательностью ответа. Допускается несколько ошибок в содержании ответа и решении практических заданий.
«Неудовлетворительно» (не зачтено): студентом дан ответ, который содержит ряд серьезных неточностей, обнаруживающий незнание процессов изучаемой предметной области, отличающийся неглубоким раскрытием темы, незнанием основных вопросов теории, неумением давать аргументированные ответы. Выводы поверхностны. Решение практических заданий не выполнено. Студент не способен ответить на вопросы даже при дополнительных наводящих вопросах преподавателя.

6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

6.1. Рекомендуемая литература
6.1.1. Основная литература
	Авторы	Заглавие	Издательство, год	Эл. адрес
Л1.1	В.М. Фомичев, Д.А. Мельников	Криптографические методы защиты информации в 2 ч. Часть 1. Математические аспекты: Учебник	Юрайт, 2018//ЭБС Юрайт	www.biblio-online.ru
Л1.2	Пахомова Е. Г., Рожкова С. В.	ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ. Учебное пособие для прикладного бакалавриата: Гриф другой организации	М.:Издательство Юрайт, 2018//ЭБС Юрайт	biblio-online.ru
Л1.3	Кряквин В.Д.	Линейная алгебра в задачах и упражнениях: Учебные пособия	Издательство "Лань", 2016//ЭБС Лань	e.lanbook.com
6.1.2. Дополнительная литература
	Авторы	Заглавие	Издательство, год	Эл. адрес
Л2.1	Шилин И. А.	Введение в алгебру. Группы: Учебные пособия	Издательство "Лань", 2012//ЭБС Лань	e.lanbook.com
6.2. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет"
	Название		Эл. адрес
Э1	Математика в профессиональной деятельности		portal.edu.asu.ru
6.3. Перечень программного обеспечения
Windows 7 Professional, № 60674416 от 17.07.2012 (бессрочная); Office 2010 Professional, № 49464762 от 14.12.2011 (бессрочная); Open Office, http://www.openoffice.org/license.html Python c расширениями PIL, Py OpenGL, https://docs.python.org/3/license.html FAR, http://www.farmanager.com/license.php?l=ru 7-Zip, http://www.7-zip.org/license.txt AcrobatReader, http://wwwimages.adobe.com/content/dam/Adobe/en/legal/servicetou/Acrobat_com_Additional_TOU-en_US-20140618_1200.pdf Chrome; http://www.chromium.org/chromium-os/licenses DjVu reader, http://djvureader.org/ Microsoft Office 2010 (Office 2010 Professional, № 4065231 от 08.12.2010), (бессрочно); Microsoft Windows 7 (Windows 7 Professional, № 61834699 от 22.04.2013), (бессрочно); Chrome (http://www.chromium.org/chromium-os/licenses), (бессрочно); 7-Zip (http://www.7-zip.org/license.txt), (бессрочно); AcrobatReader (http://wwwimages.adobe.com/content/dam/Adobe/en/legal/servicetou/Acrobat_com_Additional_TOU-en_US-20140618_1200.pdf), (бессрочно); ASTRA LINUX SPECIAL EDITION (https://astralinux.ru/products/astra-linux-special-edition/), (бессрочно); LibreOffice (https://ru.libreoffice.org/), (бессрочно); Веб-браузер Chromium (https://www.chromium.org/Home/), (бессрочно); Антивирус Касперский (https://www.kaspersky.ru/), (до 23 июня 2024); Архиватор Ark (https://apps.kde.org/ark/), (бессрочно); Okular (https://okular.kde.org/ru/download/), (бессрочно); Редактор изображений Gimp (https://www.gimp.org/), (бессрочно)
6.4. Перечень информационных справочных систем
Профессиональные базы данных: 1. Электронная база данных «Scopus» (http://www.scopus.com); 2. Электронная библиотечная система Алтайского государственного университета (http://elibrary.asu.ru/); 3. Научная электронная библиотека elibrary (http://elibrary.ru)

7. Материально-техническое обеспечение дисциплины

Аудитория	Назначение	Оборудование
Учебная аудитория	для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), проведения практик	Стандартное оборудование (учебная мебель для обучающихся, рабочее место преподавателя, доска, мультимедийное оборудование стационарное или переносное)
001вК	склад экспериментальной мастерской - помещение для хранения и профилактического обслуживания учебного оборудования	Акустический прибор 01021; виброизмеритель 00032; вольтметр Q1202 Э-500; вольтметр универсальный В7-34А; камера ВФУ -1; компьютер Турбо 86М; масспектрометр МРС -1; осциллограф ЕО -213- 2 ед.; осциллограф С1-91; осциллограф С7-19; программатор С-815; самописец 02060 – 2 ед.; стабилизатор 3218; терц-октавный фильтр 01023; шкаф вытяжной; шумомер 00026; анализатор АС-817; блок 23 Г-51; блок питания "Статрон" – 2 ед.; блок питания Ф 5075; вакуумный агрегат; весы; вольтметр VM -70; вольтметр В7-15; вольтметр В7-16; вольтметр ВУ-15; генератор Г-5-6А; генератор Г4-76А; генератор Г4-79; генератор Г5-48; датчик колебаний КВ -11/01; датчик колебаний КР -45/01; делитель Ф5093; измеритель ИМП -2; измеритель параметров Л2-12; интерферометр ИТ 51-30; источник "Агат" – 3 ед.; источник питания; источник питания 3222; источник питания ЭСВ -4; лабораторная установка для настройки газовых лазеров; лазер ЛГИ -21; М-кальк-р МК-44; М-калькул-р "Электроника"; магазин сопротивления Р4075; магазин сопротивления Р4077; микроскоп МБС -9; модулятор МДЕ; монохроматор СДМС -97; мост переменного тока Р5066; набор цветных стекол; насос вакумный; насос вакуумный ВН-01; осциллограф С1-31; осциллограф С1-67; осциллограф С1-70; осциллограф С1-81; осциллоскоп ЕО -174В – 2 ед.; пентакта L-100; пирометр "Промень"; пистонфон 05001; преобразователь В9-1; прибор УЗДН -2Т; скамья оптическая СО 1м; спектограф ДФС -452; спектограф ИСП -51; стабилизатор 1202; стабилизатор 3217 – 4 ед.; стабилизатор 3218; стабилизатор 3222 – 3 ед.; станок токарный ТВ-4; усилитель мощности ЛВ -103 – 4 ед.; усилитель У5-9; центрифуга ВЛ-15; частотомер Ч3-54А; шкаф металлический; эл.двигатель; электродинамический калибратор 11032
Помещение для самостоятельной работы	помещение для самостоятельной работы обучающихся	Компьютеры, ноутбуки с подключением к информационно-телекоммуникационной сети «Интернет», доступом в электронную информационно-образовательную среду АлтГУ
408К	лаборатория программно-аппаратных средств обеспечения информационной безопасности; лаборатория криптографических методов защиты информации - учебная аудитория для проведения занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических); проведения групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации	Учебная мебель на 15 посадочных мест; рабочее место преподавателя; компью-теры: модель Компьютер Парус 945 MSI PDualCore E2140/512Mb+1024/HDD80Gb/DVD-ROM/LCD17" LG/KM - 11 единиц; мо-ниторы: марка Samsung - 3 единицы; системный блок CTR Office Celeron 2533 MHz - 3 шт.; Аппаратные средства аутентификации пользователя: элек-тронные ключи Guardant Code (4 шт.); электронный ключ Guardant Time (1 шт.); электронные ключи Guardant Stealth (3 шт.); электронные ключи Alad-din eToken PRO (10 шт.). Программно-аппаратные комплексы защиты инфор-мации: Программно-аппаратный ком-плекс «Соболь» Версия 3.0 RU.403008570.501410.001; Программно-аппаратный комплекс «Соболь» Версия 2.1 УВАЛ 00030-58-01; система защиты информации «Secret Net 2000» версии 4.0 (автономный вариант). Комплекс проекционного оборудования для препо-давателя - проектор мультимедийный "Optoma W402", проектор мультимедиа "BenQ MP626 DLP".

8. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

Рекомендации по подготовке к лекционным занятиям
- перед очередной лекцией необходимо просмотреть по конспекту материал предыдущей лекции.
- бегло ознакомиться с содержанием очередной лекции по основным источникам литературы в соответствии с рабочей программой дисциплины;
- обратить особое внимание на сущность и графическое сопровождение основных рассматриваемых теоретических положений.
Рекомендации по подготовке к лабораторным работам
- руководствоваться графиком лабораторных работ РПД;
- накануне перед очередной работой необходимо по конспекту или в методических указаниях к работе просмотреть теоретический материал работы;
- на лабораторном занятии, выполнив разработку алгоритма и реализовав задание на языке высокого уровня, необходимо проанализировать окончательные результаты и убедится в их достоверности;
- обратить внимание на оформление отчета, в котором должны присутствовать: цель работы, описание алгоритма, журнал опытных данных, реализация в опыте, цели работы, необходимые графические зависимости (при их наличии) и их анализ, результаты работы и выводы;
- при подготовке к отчету руководствоваться вопросами, приведенными в методических указаниях к данной работе, тренажерами программ на ЭВМ по отчету работ и компьютерным учебником.
Рекомендации по подготовке к самостоятельной работе
- руководствоваться графиком самостоятельной работы;
- выполнять все плановые задания, выдаваемые преподавателем для самостоятельного выполнения, и разбирать на семинарах и консультациях неясные вопросы;
- подготовку к экзамену необходимо проводить по экзаменационным теоретическим вопросам
- при подготовке к экзамену параллельно прорабатываете соответствующие теоретические и практические разделы курса, все неясные моменты фиксируйте и выносите на плановую консультацию.