Цель изучения дисциплины | Данная дисциплина состоит из двух самостоятельных разделов: «Интегральные уравнения» (ИУ) и «Вариационное исчисление» (ВИ), каждый из которых является неотъемлемой частью фундаментальной математической подготовки студентов-радиофизиков. Роль раздела ИУ и цели его изучения обусловлены следующим. Физические задачи и, в частности, многие обратные задачи, приводят к интегральным уравнениям. В курсе ИУ вводится и используется ряд важных понятий: гильбертово пространство; собственные функции и собственные значения оператора; ряд Неймана; корректно и некорректно поставленные задачи, регуляризация. Понятия и методы курса ИУ используются в дальнейшем при изучении дисциплин общефизической подготовки, в частности, квантовой механики, статистической физики, а также спецкурсов, например, теории переноса излучения, физики плазмы. Роль дисциплины ВИ и цели ее изучения обусловлены следующим. Функционал, вариация функции и функционала являются важными математическими объектами. Многие задачи механики и других наук (например, теории оптимального управления) непосредственно заключаются в поиске экстремума заданного функционала. Наиболее общими формулировками фундаментальных физических законов являются именно вариационные формулировки (принципы Гамильтона, Даламбера, Ферма). Аналогия между принципами Мопертюи и Ферма служит одним из подходов к представлению о волновых свойствах элементарных частиц. Разнообразные непрерывные симметрии в физике в наиболее общей форме выражаются через стационарность некоторого функционала относительно вариации функций, что приводит к весьма общей формулировке теоремы Нетер. Существуют мощные вариационные методы решения обратных задач. Минимизация функционалов лежит в основе ряда численных методов. Понятия и методы ВИ используются при изучении теоретической физики: аналитической механики, электродинамики, термодинамики, квантовой электродинамики, общей теории относительности и численных методов. |
---|---|
Место дисциплины в учебном плане | Б1.В |
Формируемые компетенции | ОПК-1 | Знания, умения и навыки, получаемые в результате освоения дисциплины |
Знать:
иметь представление об обратных задачах; знать основные понятия и методы теории ИУ; круг практических задач (в том числе физических, геометрических, оптимального управления), для решения которых предназначено вариационное исчисление; основные понятия вариационного исчисления, математические формулировки стандартных вариационных задач; дифференциальные уравнения (Эйлера, Остроградского); Уметь:
определять тип ИУ и использовать соответствующие этому типу методы анализа и решения уравнения; строить математические вариационные модели для практических задач, в том числе задач на условный экстремум; Иметь навыки и (или) опыт деятельности (владеть):
навыками использования теории ИУ для решения физических задач; навыками вычисления вариаций функционалов; вычисления частных и полных производных; вывода систем дифференциальных уравнений для неизвестных функций исходя из уравнений Эйлера; решения дифференциальных уравнений и нахождения констант исходя из дополнительных условий. |
Содержание дисциплины | Вариационное исчисление. Интегральные уравнения. Экзамен. |
Виды учебной работы | Лекции, практические, самостоятельная работа. |
Используемые информационные, инструментальные и программные средства |
Специального программного обеспечения не требуется.
Информационных справочных систем не требуется.
|
Форма промежуточной аттестации | Экзамен. |