МИНОБРНАУКИ РОССИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Алтайский государственный университет»

Интегральные уравнения и вариационное исчисление

рабочая программа дисциплины
Закреплена за кафедройКафедра радиофизики и теоретической физики
Направление подготовки03.03.03. Радиофизика
ПрофильРадиофизические технологии в цифровой экономике
Форма обученияОчная
Общая трудоемкость4 ЗЕТ
Учебный план03_03_03_РФ-1-2019
Часов по учебному плану 144
в том числе:
аудиторные занятия 60
самостоятельная работа 57
контроль 27
Виды контроля по семестрам
экзамены: 5

Распределение часов по семестрам

Курс (семестр) 3 (5) Итого
Недель 19
Вид занятий УПРПДУПРПД
Лекции 36 36 36 36
Практические 24 24 24 24
Сам. работа 57 57 57 57
Часы на контроль 27 27 27 27
Итого 144 144 144 144

Программу составил(и):
к.ф.-м.н., доцент, Гончаров А.И.

Рецензент(ы):
к.ф.-м.н., доцент, Рудер Д.Д.

Рабочая программа дисциплины
Интегральные уравнения и вариационное исчисление

разработана в соответствии с ФГОС:
ФГОС ВО по направлению подготовки 03.03.03 «Радиофизика», утвержденный приказом Министерства образования и науки РФ от «12» марта 2015 г. № 225.

составлена на основании учебного плана:
03.03.03 Радиофизика
утвержденного учёным советом вуза от 25.06.2019 протокол № 6.

Рабочая программа одобрена на заседании кафедры
Кафедра радиофизики и теоретической физики

Протокол от 06.06.2019 г. № 09-2018\19
Срок действия программы: 2019-2020 уч. г.

Заведующий кафедрой
д.ф.-м.н., профессор Лагутин А.А.


Визирование РПД для исполнения в очередном учебном году

Рабочая программа пересмотрена, обсуждена и одобрена для
исполнения в 2019-2020 учебном году на заседании кафедры

Кафедра радиофизики и теоретической физики

Протокол от 06.06.2019 г. № 09-2018\19
Заведующий кафедрой д.ф.-м.н., профессор Лагутин А.А.


1. Цели освоения дисциплины

1.1.Данная дисциплина состоит из двух самостоятельных разделов: «Интегральные уравнения» (ИУ) и «Вариационное исчисление» (ВИ), каждый из которых является неотъемлемой частью фундаментальной математической подготовки студентов-радиофизиков. Роль раздела ИУ и цели его изучения обусловлены следующим. Физические задачи и, в частности, многие обратные задачи, приводят к интегральным уравнениям. В курсе ИУ вводится и используется ряд важных понятий: гильбертово пространство; собственные функции и собственные значения оператора; ряд Неймана; корректно и некорректно поставленные задачи, регуляризация. Понятия и методы курса ИУ используются в дальнейшем при изучении дисциплин общефизической подготовки, в частности, квантовой механики, статистической физики, а также спецкурсов, например, теории переноса излучения, физики плазмы. Роль дисциплины ВИ и цели ее изучения обусловлены следующим. Функционал, вариация функции и функционала являются важными математическими объектами. Многие задачи механики и других наук (например, теории оптимального управления) непосредственно заключаются в поиске экстремума заданного функционала. Наиболее общими формулировками фундаментальных физических законов являются именно вариационные формулировки (принципы Гамильтона, Даламбера, Ферма). Аналогия между принципами Мопертюи и Ферма служит одним из подходов к представлению о волновых свойствах элементарных частиц. Разнообразные непрерывные симметрии в физике в наиболее общей форме выражаются через стационарность некоторого функционала относительно вариации функций, что приводит к весьма общей формулировке теоремы Нетер. Существуют мощные вариационные методы решения обратных задач. Минимизация функционалов лежит в основе ряда численных методов. Понятия и методы ВИ используются при изучении теоретической физики: аналитической механики, электродинамики, термодинамики, квантовой электродинамики, общей теории относительности и численных методов.

2. Место дисциплины в структуре ООП

Цикл (раздел) ООП: Б1.В

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

ОПК-1 способностью к овладению базовыми знаниями в области математики и естественных наук, их использованию в профессиональной деятельности
ПК-3 владением компьютером на уровне опытного пользователя, применению информационных технологий
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
3.1.Знать:
3.1.1.иметь представление об обратных задачах; знать основные понятия и методы теории ИУ; круг практических задач (в том числе физических, геометрических, оптимального управления), для решения которых предназначено вариационное исчисление; основные понятия вариационного исчисления, математические формулировки стандартных вариационных задач; дифференциальные уравнения (Эйлера, Остроградского);
3.2.Уметь:
3.2.1.определять тип ИУ и использовать соответствующие этому типу методы анализа и решения уравнения; строить математические вариационные модели для практических задач, в том числе задач на условный экстремум;
3.3.Иметь навыки и (или) опыт деятельности (владеть):
3.3.1.навыками использования теории ИУ для решения физических задач; навыками вычисления вариаций функционалов; вычисления частных и полных производных; вывода систем дифференциальных уравнений для неизвестных функций исходя из уравнений Эйлера; решения дифференциальных уравнений и нахождения констант исходя из дополнительных условий.

4. Структура и содержание дисциплины

Код занятия Наименование разделов и тем Вид занятия Семестр Часов Компетенции Литература
Раздел 1. Вариационное исчисление
1.1. Задачи вариационного исчисления. Необходимое условие экстремума функционала. Лекции 5 2 ОПК-1 Л2.3, Л2.2, Л1.1, Л1.3
1.2. Необходимое условие экстремума функционала. Сам. работа 5 4 ОПК-1 Л2.3, Л2.2, Л1.1, Л1.3
1.3. Основная лемма вариационного исчисления. Задачи с закрепленными границами. Уравнение Эйлера и его интегралы. Лекции 5 2 ОПК-1 Л2.3, Л2.2, Л1.1, Л1.3
1.4. Техника работы с уравнениями Эйлера: явная и неявная зависимости; вычисление частных и полных производных. Система уравнений Эйлера. Лекции 5 2 ОПК-1 Л2.3, Л2.2, Л1.1, Л1.3
1.5. Уравнение Эйлера. Сам. работа 5 4 ОПК-1 Л2.3, Л2.2, Л1.1, Л1.3
1.6. Задачи об оптимальной траектории. Практические 5 4 ОПК-1, ПК-3 Л2.3, Л2.2, Л1.1, Л1.3
1.7. Задача об оптимальной траектории. Сам. работа 5 6 ОПК-1 Л2.3, Л2.2, Л1.1, Л1.3
1.8. Задачи на условный экстремум функционала с дифференциальной связью. Метод множителей Лагранжа. Геодезическая задача. Изопериметрические задачи. Лекции 5 2 ОПК-1 Л2.3, Л2.2, Л1.1, Л1.3
1.9. Задачи на условный экстремум функционала. Метод множителей Лагранжа. Сам. работа 5 4 ОПК-1 Л2.3, Л2.2, Л1.1, Л1.3
1.10. Изопериметрическая задача с подвижной границей. Практические 5 2 ОПК-1, ПК-3 Л2.3, Л2.2, Л1.1, Л1.3
1.11. Уравнение Эйлера - Остроградского. Принцип Гамильтона, уравнение Лагранжа. Лекции 5 2 ОПК-1 Л2.3, Л2.2, Л1.1, Л1.3
1.12. Вывод дифференциальных уравнений механики. Практические 5 4 ОПК-1, ПК-3 Л2.3, Л2.2, Л1.1, Л1.3
1.13. Уравнение Эйлера - Остроградского. Сам. работа 5 4 ОПК-1 Л2.3, Л2.2, Л1.1, Л1.3
1.14. Вариационные принципы в физике Сам. работа 5 4 ОПК-1 Л2.3, Л2.2, Л1.1, Л1.3
1.15. Принцип Ферма, принцип Мопертюи и волновые свойства частиц. Лекции 5 2 ОПК-1 Л2.3, Л2.2, Л1.1
1.16. Задачи с подвижными границами. Лекции 5 2 ОПК-1 Л2.3, Л2.2, Л1.1, Л1.3
1.17. Задача о цепной линии. Практические 5 2 ОПК-1, ПК-3 Л2.3, Л2.2, Л1.1, Л1.3
Раздел 2. Интегральные уравнения
2.1. Физические задачи, приводящие к интегральным уравнениям. Классификация интегральных уравнений. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром. Теоремы Фредгольма. Лекции 5 4 ОПК-1 Л2.3, Л2.1, Л1.2, Л1.1
2.2. Методы решения уравнений Фредгольма и Вольтерры с вырожденным ядром. Сам. работа 5 4 ОПК-1 Л2.3, Л2.1, Л1.2, Л1.1
2.3. Решение уравнений Фредгольма и Вольтерры с вырожденным ядром. Использование теорем Фредгольма. Практические 5 4 ОПК-1, ПК-3 Л2.3, Л2.1, Л1.2, Л1.1
2.4. Решение неоднородных уравнений Фредгольма и Вольтерры методом последовательных приближений. Лекции 5 4 ОПК-1 Л2.3, Л2.1, Л1.2, Л1.1
2.5. Решение уравнений методом последовательных приближений. Практические 5 2 ОПК-1, ПК-3 Л2.3, Л2.1, Л1.2, Л1.1
2.6. Метод последовательных приближений. Сам. работа 5 4 ОПК-1 Л2.1, Л1.2, Л1.1, Л1.3
2.7. Решение уравнений Фредгольма и Вольтерры типа свертки методом интегральных преобразований. Лекции 5 6 ОПК-1 Л2.3, Л1.2, Л1.1
2.8. Преобразование Лапласа. Сам. работа 5 6 ОПК-1 Л2.3, Л1.2, Л1.1
2.9. Преобразование Фурье. Сам. работа 5 6 ОПК-1 Л2.1, Л1.2
2.10. Решение уравнений типа свертки методом интегральных преобразований. Практические 5 6 ОПК-1, ПК-3 Л2.3, Л1.2, Л1.1
2.11. Решение уравнений типа свертки методом интегральных преобразований. Сам. работа 5 6 ОПК-1 Л2.1, Л1.2
2.12. Свойства уравнений с симметричным ядром. Теорема Гильберта - Шмидта. Формула Шмидта. Лекции 5 2 ОПК-1 Л2.3, Л2.1, Л1.2, Л1.1
2.13. Неустойчивость уравнений 1-го рода и методы регуляризации. Лекции 5 4 ОПК-1 Л2.1, Л1.2
2.14. Численные методы. Проблема устойчивости. Лекции 5 2 ОПК-1 Л2.1, Л1.2
2.15. Метод регуляризации Тихонова. Сам. работа 5 3 ОПК-1 Л2.1, Л1.2
2.16. Уравнения с симметричным ядром. Сам. работа 5 2 ОПК-1 Л2.1, Л1.2
Раздел 3. Экзамен
3.1. Экзамен 5 27 ОПК-1

5. Фонд оценочных средств

5.1. Контрольные вопросы и задания для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
Перечень вопросов
1. Что такое функционал. Примеры функционалов. Примеры вариационных задач. Вариация функции и функционала. Необходимое условие экстремума функционала. Основная лемма вариационного исчисления.
2. Уравнение Эйлера. Система уравнений Эйлера.
3. Задача о брахистохроне.
4. Уравнение Эйлера - Остроградского. Минимальные поверхности.
5. Условный экстремум функционала при наличии дифференциальной связи. Геодезическая задача.
6. Изопериметрические задачи. Задача о цепной линии.
7. Принцип Гамильтона и примеры его применения для вывода дифференциальных уравнений.
8. Вариационные задачи с подвижной границей.
9. Изопериметрические задачи с подвижной границей. Задача Дидоны.
10. Вариационные принципы Ферма и Мопертюи. Гипотеза де Бройля о волновых свойствах частиц.
11. Физический пример интегрального уравнения (например, задача гравиметрии). Обратные задачи.
12. Основные типы линейных интегральных уравнений. Задачи на собственные функции и собственные значения. Уравнение Вольтерры как частный случай уравнения Фредгольма.
13. Метод решения уравнений Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром.
14. Первая теорема Фредгольма. Теорема Фредгольма об альтернативе.
15. Решение неоднородных уравнений Фредгольма методом последовательных приближений.
16. Решение неоднородных уравнений Вольтерры методом последовательных приближений.
17. Интегральные уравнения Вольтерры типа свертки, метод решения. Задача о маятнике Гюйгенса.
18. Интегральные уравнения Фредгольма типа свертки, метод решения, пример.
19. Численный метод решения интегральных уравнений. Устойчивость неоднородных уравнений 2-го рода и неустойчивость уравнений 1-го рода. Метод регуляризации Лаврентьева.
20. Применение регуляризации при численном преобразовании Фурье.
21. Ортогональность набора собственных функций симметричного ядра. Теорема Гильберта - Шмидта. Решение неоднородного уравнения с симметричным ядром, формула Шмидта. Разложение резольвенты по собственным функциям ядра. Ортогонализация системы собственных функций.

Темы задач к экзамену
1. Задача на безусловный экстремум функционала с неподвижными границами.
2. Уравнения Фредгольма с вырожденным ядром.
3. Уравнения Вольтерры с вырожденным ядром.
4. 1-я теорема Фредгольма.
5. Метод последовательных приближений.
6. Условия сходимости ряда Неймана для уравнений Фредгольма и Вольтерры.
7. Решение уравнений Вольтерры типа свертки методом преобразования Лапласа.
5.2. Темы письменных работ для проведения текущего контроля (эссе, рефераты, курсовые работы и др.)
5.3. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
Фонд оценочных средств содержится в приложении и в учебно-методическом комплексе.

6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

6.1. Рекомендуемая литература
6.1.1. Основная литература
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л1.1 Васильева А.Б., Медведев Г.Н., Тихонов Н.А. Дифференциальные и интегральные уравнения. Вариационное исчисление в примерах и задачах: учебное пособие М.: Физматлит // ЭБС "университетская библиотека ONLINE", 2005 biblioclub.ru
Л1.2 Васильева А.Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения: учебник СПб.: Лань // ЭБС "Лань", 2017, 2009 e.lanbook.com
Л1.3 Гюнтер Н.М. Курс вариационного исчисления: учебник СПб.: Лань // ЭБС "Лань", 2017, 2009 http://e.lanbook.com/book/119
6.1.2. Дополнительная литература
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л2.1 А.Б. Васильева, Н.А. Тихонов Интегральные уравнения: учебник СПб.: Лань, 2009
Л2.2 Л.Э. Эльсгольц Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление: учеб. для вузов СПб. : ЛАНЬ, 2002
Л2.3 Васильева А.Б., Медведев Г.Н., Тихонов Н.А., Уразгильдина Т.А. Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах: учеб. пособие СПб.: Лань, 2010
6.2. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет"
Название Эл. адрес
Э1 Электронно-библиотечная система издательства «Лань». Доступ для чтения – из сети университета. e.lanbook.com
Э2 Научно-образовательный сайт Института проблем механики РАН «EqWorld – Мир математических уравнений». eqworld.ipmnet.ru
Э3 Электронная библиотека механико-математического факультета МГУ (возможно только чтение; число страниц каждой книги, прочитанных за день, ограничено; для получения доступа к достаточному числу страниц нужно зарегистрироваться на сайте). lib.mexmat.ru
6.3. Перечень программного обеспечения
Специального программного обеспечения не требуется.
6.4. Перечень информационных справочных систем
Информационных справочных систем не требуется.

7. Материально-техническое обеспечение дисциплины

Аудитория Назначение Оборудование
Помещение для самостоятельной работы помещение для самостоятельной работы обучающихся Компьютеры, ноутбуки с подключением к информационно-телекоммуникационной сети «Интернет», доступом в электронную информационно-образовательную среду АлтГУ
Учебная аудитория для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), проведения практик Стандартное оборудование (учебная мебель для обучающихся, рабочее место преподавателя, доска)

8. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

Указания общего характера
Чтобы учеба не была пустой тратой времени, необходимо добиваться полной ясности по каждому вопросу. Непонятные моменты нужно отмечать и при случае спрашивать у преподавателя.
К практическим занятиям нужно готовиться: просмотреть конспект лекции по теме занятия, решить задачи, если они были заданы.
Так как почти все темы взаимосвязаны, даже одно пропущенное занятие сильно затрудняет изучение дальнейшего материала. Поэтому нужно посещать все занятия, а в случае пропуска разобраться в пропущенном материале до следующего занятия.
При изучении предмета нужно стремиться к тому, чтобы материал складывался в целостную картину, с единым набором понятий, терминов, методов, уравнений, формул, обозначений. Единство предмета нужно учитывать и при подготовке к сдаче экзамена: при поиске (например, в Интернете) вопросов по отдельности получается, как правило, бессвязная картина.
Изучая предмет, нужно прочитать, желательно – полностью, хотя бы один учебник.