МИНОБРНАУКИ РОССИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Алтайский государственный университет»

Методы математической физики

рабочая программа дисциплины
Закреплена за кафедройКафедра радиофизики и теоретической физики
Направление подготовки03.03.03. Радиофизика
Форма обученияОчная
Общая трудоемкость5 ЗЕТ
Учебный план03_03_03_РФ-2-2019
Часов по учебному плану 180
в том числе:
аудиторные занятия 108
самостоятельная работа 45
контроль 27
Виды контроля по семестрам
экзамены: 4

Распределение часов по семестрам

Курс (семестр) 2 (4) Итого
Недель 17
Вид занятий УПРПДУПРПД
Лекции 24 24 24 24
Практические 84 84 84 84
Сам. работа 45 45 45 45
Часы на контроль 27 27 27 27
Итого 180 180 180 180

Программу составил(и):
к.ф.-м.н., доцент, Гончаров А.И.

Рецензент(ы):
к.ф.-м.н., доцент, Рудер Д.Д.

Рабочая программа дисциплины
Методы математической физики

разработана в соответствии с ФГОС:
ФГОС ВО по направлению подготовки 03.03.03 «Радиофизика», утвержденный приказом Министерства образования и науки РФ от «12» марта 2015 г. № 225.

составлена на основании учебного плана:
03.03.03 Радиофизика
утвержденного учёным советом вуза от 25.06.2019 протокол № 6.

Рабочая программа одобрена на заседании кафедры
Кафедра радиофизики и теоретической физики

Протокол от 06.06.2019 г. № 09-2018\19
Срок действия программы: 2019-2020 уч. г.

Заведующий кафедрой
д.ф.-м.н., профессор Лагутин А.А.


Визирование РПД для исполнения в очередном учебном году

Рабочая программа пересмотрена, обсуждена и одобрена для
исполнения в 2019-2020 учебном году на заседании кафедры

Кафедра радиофизики и теоретической физики

Протокол от 06.06.2019 г. № 09-2018\19
Заведующий кафедрой д.ф.-м.н., профессор Лагутин А.А.


1. Цели освоения дисциплины

1.1.Данная дисциплина предусмотрена государственным образовательным стандартом и является неотъемлемой частью фундаментальной подготовки студентов-радиофизиков. Роль дисциплины и цель ее изучения обусловлены следующим. Задача дисциплины, понимаемая в широком смысле, заключается в построении и исследовании математических моделей физических процессов и явлений. Среди физических систем в природе преобладают различные поля, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями с частными производными. Наиболее простыми из них являются уравнения электростатики, уравнения теплопроводности и диффузии, волновые уравнения теории упругости для изотропной среды, волновое уравнение нерелятивистской квантовой механики (уравнение Шредингера), уравнение Кортевега – де Фриза. Изучение методов решения этих уравнений (а также краевых задач) и анализ свойств решений составляет содержание данной дисциплины. Изучаемый при этом математический аппарат, – в частности, свойства задач Штурма – Лиувилля; обобщенные функции и метод функций Грина; специальные функции – является универсальным и позволяет решать также и более сложные задачи. В данном курсе даются доказательства ряда свойств уравнений и функций, которые используются в последующих курсах со ссылкой на данную дисциплину; литература по данной дисциплине служит эталоном математически строгого решения физических задач. При изучении математической физики появляется возможность наполнить ряд понятий математического анализа физическим содержанием. Решения задач по данной дисциплине содержат, как правило, большое число действий. Решение таких задач на семинарских занятиях и в ходе самостоятельной работы способствует развитию у студента способности решения многоплановых задач. Изучение математической физики способствует закреплению основных законов и понятий физики, «переводу на активный уровень» знания математики, освоению методов теоретических исследований в физике в целом.

2. Место дисциплины в структуре ООП

Цикл (раздел) ООП: Б1.Б

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

ОПК-1 способностью к овладению базовыми знаниями в области математики и естественных наук, их использованию в профессиональной деятельности
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
3.1.Знать:
3.1.1.круг задач, для решения которых предназначены методы математической физики; основные методы решения задач, в том числе метод преобразований Фурье, метод характеристик, метод разделения переменных, метод функций Грина; специальные функции и их основные свойства. Качественные свойства решений основных задач математической физики
3.2.Уметь:
3.2.1.использовать изученные методы для решения незнакомых задач; делать математическую постановку задач на основе физических формулировок (в рамках материала курса)
3.3.Иметь навыки и (или) опыт деятельности (владеть):
3.3.1.навыками решения задач математической физики, в том числе навыками построения математических моделей

4. Структура и содержание дисциплины

Код занятия Наименование разделов и тем Вид занятия Семестр Часов Компетенции Литература
Раздел 1. Линейные дифференциальные уравнения математической физики. Постановка краевых задач
1.1. Обзор физических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям 2-го порядка в частных производных. Вывод волнового уравнения, описывающего продольные колебания упругого стержня. Граничные условия 1-го, 2-го и 3-го рода, их физический смысл Лекции 4 2 ОПК-1 Л2.3, Л2.4, Л1.2, Л1.1, Л2.7
1.2. Вывод волнового уравнения для малых колебаний струны Практические 4 2 ОПК-1 Л2.3, Л2.4, Л1.3, Л1.2, Л1.1
1.3. Вывод волнового уравнения для малых колебаний мембраны. Сам. работа 4 2 ОПК-1 Л2.3, Л2.4, Л1.3, Л1.2, Л1.1
1.4. Вывод уравнения теплопроводности в трехмерном пространстве. Граничные условия 1-го, 2-го и 3-го рода, их физический смысл Практические 4 3 ОПК-1 Л2.3, Л1.2, Л1.1
1.5. Вопросы для повторения: производная по направлению; дифференциальные операторы в сферических и цилиндрических координатах Сам. работа 4 3 ОПК-1 Л2.3, Л2.4, Л1.3, Л1.2, Л1.1
1.6. Вывод одномерного уравнения диффузии. Постановка краевых задач. Практические 4 2 ОПК-1 Л2.3, Л1.3, Л1.2, Л1.1
1.7. Уравнения математической физики. Краевые задачи. Сам. работа 4 4 ОПК-1 Л2.3, Л2.4, Л1.3, Л1.2, Л1.1
Раздел 2. Классификация уравнений и приведение их к канонической форме
2.1. Классификация уравнений 2-го порядка с двумя независимыми переменными и алгоритм приведения их к канонической форме. Обоснование алгоритма Лекции 4 2 ОПК-1 Л2.3, Л2.2, Л2.4, Л1.2, Л1.1, Л2.7
2.2. Решение уравнений с помощью приведения их к канонической форме Практические 4 4 ОПК-1 Л2.3, Л2.4, Л2.5, Л1.3, Л1.2, Л1.1
2.3. Каноническая форма уравнений Сам. работа 4 2 ОПК-1 Л2.3, Л2.4, Л1.3, Л1.2, Л1.1
Раздел 3. Задачи Коши для уравнений гиперболического и параболического типов
3.1. Свободные колебания бесконечной однородной струны. Формула Даламбера Практические 4 2 ОПК-1 Л2.3, Л2.2, Л2.4, Л1.3, Л1.2, Л1.1
3.2. Метод продолжений (на примере задачи об отражении волны от закрепленного конца полубесконечной однородной струны). Поведение волны на границе раздела двух сред Практические 4 2 ОПК-1 Л2.3, Л2.2, Л1.3, Л1.2, Л1.1
3.3. Решение задачи об отражении волны от свободного конца стержня методом продолжений Практические 4 2 ОПК-1 Л2.3, Л1.3, Л1.2, Л1.1
3.4. Задача теплопроводности для бесконечного однородного стержня (решение методом интегрального преобразования Фурье). Практические 4 3 ОПК-1 Л2.3, Л2.5, Л1.3, Л1.2, Л1.1
3.5. Решение задачи теплопроводности для полубесконечного стержня методом продолжений. Практические 4 2 ОПК-1 Л2.3, Л1.3, Л1.2, Л1.1
Раздел 4. Метод разделения переменных. Задача Штурма – Лиувилля
4.1. Общая схема метода разделения переменных. Одномерная задача Штурма – Лиувилля (Ш – Л). Запись произвольного линейного обыкновенного однородного дифференциального уравнения второго порядка в форме Лиувилля (в самосопряженной форме). Свойства собственных функций (СФ) и собственных значений (СЗ) одномерной задачи Ш – Л. Вырожденные решения задач с периодическими условиями на границе и многомерных задач Ш – Л. Доказательство ортогональности системы СФ. Обобщенные ряды Фурье. Теорема В.А.Стеклова о равномерной сходимости. Сходимость в смысле среднего квадратичного. Лекции 4 2 ОПК-1 Л2.3, Л2.2, Л2.4, Л1.2, Л1.1, Л2.7
4.2. Задача о колебаниях стержня со свободными концами. Задача о колебаниях стержня с упругим закреплением концов. Практические 4 2 ОПК-1 Л1.3, Л1.2, Л1.1
4.3. Решение краевых задач для неоднородных уравнений с однородными граничными условиями методом разложения функций по собственным функциям задачи Штурма – Лиувилля (на примере задачи теплопроводности) Практические 4 2 ОПК-1 Л2.3, Л1.3, Л1.2, Л1.1
4.4. Задача о колебаниях вертикально подвешенного стержня Практические 4 3 ОПК-1 Л2.5, Л1.3, Л1.2, Л1.1
4.5. Метод решения краевых задач с неоднородным граничным условием (на примере задачи теплопроводности с граничным условием 1-го рода) Лекции 4 1 ОПК-1 Л2.3, Л2.2, Л1.2, Л1.1, Л2.7
4.6. Решение задачи теплопроводности с неоднородным граничным условием 2-го рода Практические 4 2 ОПК-1 Л2.5, Л1.3, Л1.2, Л1.1
4.7. Задачи Штурма - Лиувилля Сам. работа 4 4 ОПК-1 Л2.3, Л2.4, Л1.3, Л1.2, Л1.1
4.8. Задача о свободных колебаниях однородной струны конечной длины Практические 4 3 ОПК-1 Л2.3, Л2.1, Л2.4, Л1.3, Л1.2, Л1.1
Раздел 5. Метод функций Грина решения неоднородных задач
5.1. Обобщенные функции. Одномерная четная дельта-функция, ее свойства. Многомерные дельта-функции; выражение их через одномерные в декартовых и криволинейных координатах. Несимметричные дельта-функции. Запись плотностей источников с помощью дельта-функций. Дифференцирование функций, имеющих изломы и разрывы. Лекции 4 2 ОПК-1 Л2.2, Л2.4, Л1.2, Л1.1
5.2. Дельта-функция. Практические 4 4 ОПК-1 Л2.2, Л2.4, Л1.3, Л1.1
5.3. Принцип суперпозиции для решений линейных уравнений. Решение задач теплопроводности в бесконечной среде методом функций Грина. Лекции 4 1 ОПК-1 Л2.3, Л1.2, Л1.1
5.4. Стационарная задача теплопроводности в бесконечной однородной среде при наличии точечного источника тепла Практические 4 2 ОПК-1 Л2.3, Л1.3, Л1.2, Л1.1
5.5. Решение задачи Коши для нестационарных неоднородных одномерных уравнений методом функций Грина. Метод построения функций Грина Практические 4 3 ОПК-1 Л2.3, Л1.3, Л1.2, Л1.1
5.6. Метод функций Грина при наличии границ. Формулы Грина. Симметрия функции Грина (свойство взаимности). Построение функций Грина методом эквивалентных источников Лекции 4 1 ОПК-1 Л2.3, Л1.2, Л1.1
5.7. Решение одномерных начально-краевых задач для неоднородных уравнений методом функций Грина. Ряд по собственным функциям задачи Штурма – Лиувилля для функции Грина Сам. работа 4 2 ОПК-1 Л2.2, Л2.4, Л1.3, Л1.2, Л1.1
Раздел 6. Существование, единственность и устойчивость решений начально-краевых задач
6.1. Определение корректно поставленной задачи. Доказательство устойчивости задачи Коши для волнового уравнения. Понятие обобщенного решения. Доказательство неустойчивости задачи Коши для уравнения Лапласа на плоскости. Теоремы о существовании, единственности и устойчивости решений начально-краевых задач для уравнений параболического и гиперболического типов Сам. работа 4 4 ОПК-1 Л2.3, Л2.1, Л2.2, Л1.3, Л1.2, Л1.1
6.2. Неустойчивость обратной задачи теплопроводности; причины неустойчивости Практические 4 2 ОПК-1 Л2.3, Л1.3, Л1.2, Л1.1
Раздел 7. Специальные функции. Общие свойства
7.1. Дифференциальные уравнения для специальных функций. Теоремы о поведении решений вблизи конечной и бесконечной особых точек. Задачи Штурма – Лиувилля с естественными условиями на границе. Свойства собственных функций и собственных значений. Гамма-функция. Лекции 4 2 ОПК-1 Л2.3, Л2.1, Л2.6, Л2.2, Л1.2, Л1.1
7.2. Запись уравнений Лежандра, Лагерра, Эрмита, Бесселя в самосопряженной форме. Особые точки уравнений. Естественные условия на границе. Взаимная ортогональность собственных функций. Практические 4 3 ОПК-1 Л2.3, Л2.2, Л1.3, Л1.2, Л1.1
7.3. Дифференциальные уравнения с особыми точками Сам. работа 4 2 ОПК-1 Л2.3, Л2.6, Л2.2, Л1.3, Л1.2, Л1.1
Раздел 8. Цилиндрические функции. Краевые задачи для уравнения Гельмгольца
8.1. Уравнение Бесселя; пара линейно независимых решений при нецелых и целых значениях параметра уравнения. Асимптотика функций Бесселя и Неймана при больших значениях аргумента. Функции Ханкеля. Нули функций Бесселя. Лекции 4 1 ОПК-1 Л2.3, Л2.1, Л2.6, Л2.4, Л1.2, Л1.1
8.2. Собственные функции задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца в круге. Задача о свободных колебаниях круглой мембраны Практические 4 3 ОПК-1 Л2.3, Л2.6, Л2.2, Л2.4, Л1.3, Л1.2, Л1.1
8.3. Разделение переменных в трехмерном уравнении Гельмгольца в сферических координатах и уравнение Бесселя. Функции Бесселя полуцелого порядка Практические 4 3 ОПК-1 Л2.3, Л2.6, Л2.2, Л1.3, Л1.2, Л1.1
8.4. Модифицированные цилиндрические функции, их поведение при малых и больших значениях аргумента. Лекции 4 1 ОПК-1 Л2.3, Л2.1, Л2.6, Л2.2, Л2.4, Л1.2, Л1.1
8.5. Задача о диффузии радиоактивной примеси. Практические 4 2 ОПК-1 Л2.3, Л1.3, Л1.2, Л1.1
8.6. Интегральное преобразование Фурье – Бесселя. Задача о свободных колебаниях бесконечной мембраны при азимутально-симметричных начальных условиях Практические 4 2 ОПК-1 Л2.3, Л1.3, Л1.2, Л1.1
8.7. Цилиндрические функции Сам. работа 4 4 ОПК-1 Л2.3, Л2.6, Л1.3, Л1.2, Л1.1
Раздел 9. Сферические функции. Краевые задачи для уравнения Лапласа
9.1. Уравнения гипергеометрического типа. Условие существования полиномиального решения. Задача Штурма – Лиувилля с естественными условиями на границах для уравнения Лежандра. Построение полиномиальных решений. Свойства полиномов Лежандра. Доказательство полноты системы полиномов Лежандра относительно функций, ограниченных на отрезке [-1,1]. Доказательство того, что задача Штурма – Лиувилля с естественными условиями для уравнения Лежандра не имеет других СЗ и СФ, кроме λ=n(n+1), y(x)=Pn(x). Разложение функций в ряд по полиномам Лежандра; равномерная сходимость и сходимость в смысле среднего квадратичного. Производящая функция полиномов Лежандра. Разложение кулоновского потенциала по мультиполям Лекции 4 2 ОПК-1 Л2.3, Л2.1, Л2.6, Л2.4, Л1.3, Л1.2, Л1.1
9.2. Внутренняя задача Дирихле с азимутально-симметричным граничным условием на сфере Практические 4 2 ОПК-1 Л2.3, Л2.5, Л1.3, Л1.2, Л1.1
9.3. Решение неоднородного уравнения Лежандра. Практические 4 2 ОПК-1 Л2.3, Л2.5, Л1.3, Л1.2, Л1.1
9.4. Задача о потенциале внутри проводящей заземленной сферы при наличии внутри сферы точечного заряда (решение двумя способами: с помощью разложения потенциалов по мультиполям; методом эквивалентных источников) Практические 4 2 ОПК-1 Л2.3, Л2.5, Л1.3, Л1.2, Л1.1
9.5. Обобщенное уравнение Лежандра, присоединенные функции Лежандра. Сферические функции. Формула сложения для полиномов Лежандра Лекции 4 2 ОПК-1 Л2.3, Л2.6, Л1.2, Л1.1
9.6. Задача Дирихле с граничным условием на сфере (без азимутальной симметрии) Практические 4 3 ОПК-1 Л2.3, Л2.5, Л1.3, Л1.2, Л1.1
9.7. Решение трехмерного интегрального уравнения переноса излучения с использованием формулы сложения для полиномов Лежандра Практические 4 2 ОПК-1 Л1.3, Л1.2, Л1.1
9.8. Сферические функции Сам. работа 4 4 ОПК-1 Л2.3, Л2.4, Л1.3, Л1.2, Л1.1
Раздел 10. Гипергеометрические функции
10.1. Вырожденное гипергеометрическое уравнение (уравнение Куммера). Поиск решения в виде обобщенного степенного ряда. Вырожденная гипергеометрическая функция (функция Куммера) 1-го рода F(α,γ,x). Общее решение уравнения Куммера при нецелых γ. Асимптотическое поведение функции Куммера при больших x. Лекции 4 1 ОПК-1 Л2.6, Л1.2, Л1.1
10.2. Метод построения второго линейно независимого решения уравнения Куммера при γ=1. Определение G(α,γ,x). Асимптотическое поведение этой функции при x → 0. Построение асимптотического ряда для функции G(α,γ,x). Асимптотическое поведение функции G(α,γ,x) при больших x. Лекции 4 1 ОПК-1 Л2.6, Л1.2, Л1.1
10.3. Линейная независимость функций Куммера 1-го и 2-го рода при α≠-m и связь этих функций при α=-m. Преобразование Куммера. Второе линейно независимое решение уравнения Куммера при α=-m. Практические 4 2 ОПК-1 Л2.6, Л1.2, Л1.1
10.4. Уравнение Эрмита. Связь его решений с решениями уравнения Куммера. Полиномы Эрмита, их запись через функцию Куммера 1-го рода. Задача Штурма – Лиувилля для уравнения Эрмита. Доказательство, что найдены все СФ и СЗ этой задачи. Свойства полиномов Эрмита. Практические 4 2 ОПК-1 Л2.3, Л2.6, Л1.2, Л1.1
10.5. Квантовый гармонический осциллятор: нахождения уровней энергии и волновых функций исходя из задачи на СФ и СЗ для стационарного уравнения Шредингера Практические 4 3 ОПК-1 Л2.3, Л1.2, Л1.1
10.6. Решение задачи Штурма – Лиувилля для обобщенного уравнения Лагерра, исходя из общего решения уравнения и свойств функций Куммера. Обобщенные полиномы Лагерра и их свойства. Практические 4 2 ОПК-1 Л2.6, Л1.2, Л1.1
10.7. Обобщенная гипергеометрическая функция. Гипергеометрическое уравнение (уравнение Гаусса), гипергеометрическая функция (функция Гаусса). Запись полиномов Лежандра через функцию Гаусса. Практические 4 2 ОПК-1 Л2.6, Л1.2, Л1.1
10.8. Атом водорода: нахождение уровней энергии и волновых функций исходя из задачи на СФ и СЗ для стационарного уравнения Шредингера Практические 4 2 ОПК-1 Л2.3, Л1.2, Л1.1
10.9. Гипергеометрические функции Сам. работа 4 4 ОПК-1 Л2.6, Л1.2, Л1.1
10.10. Классические ортогональные полиномы (обзор). Лекции 4 1 ОПК-1 Л2.3, Л2.6, Л1.2, Л1.1
Раздел 11. Дисперсия волн. Нелинейные уравнения математической физики
11.1. Дисперсия волн. Телеграфное уравнение Практические 4 2 ОПК-1 Л2.1, Л2.2, Л1.2, Л1.1
11.2. Процессоы, изменяющие свойства среды, в которой они протекают Сам. работа 4 2 ОПК-1 Л2.1, Л1.1
11.3. Волны на мелкой воде. Уравнение Кортевега – де-Фриза. Учет нелинейности, решение уравнения Римана. Укручение переднего фронта и опрокидывание волны. Решение линейного уравнения при наличии дисперсии. Одновременный учет нелинейности и дисперсии. Солитоны. Лекции 4 2 ОПК-1 Л2.1, Л1.1
11.4. Уравнение нелинейной теплопроводности и его решения. Тепловые волны. Режимы горения. Сам. работа 4 2 ОПК-1 Л2.1, Л1.1
Раздел 12. Метод конечных разностей
12.1. Разностные методы решения дифференциальных уравнений. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольнике. Неявные разностные схемы. Аппроксимация и устойчивость. Сам. работа 4 3 ОПК-1 Л1.1
12.2. Метод прогонки. Итерационные схемы решения задач. Сам. работа 4 3 Л1.1
Раздел 13. Экзамен
13.1. Экзамен 4 27 ОПК-1

5. Фонд оценочных средств

5.1. Контрольные вопросы и задания для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
Перечень вопросов

1. Вывод волнового уравнения, описывающего продольные колебания упругого стержня. Граничные условия 1-го рода.
2. Вывод волнового уравнения, описывающего малые поперечные колебания струны.
3. Вывод трехмерного уравнения теплопроводности. Граничные условия 1-го рода.
4. Вывод граничных условий 2-го и 3-го рода для обоих концов упругого стержня. Вывод граничных условий 2-го и 3-го рода для трехмерной задачи теплопроводности.
5. Вывод формулы Даламбера для колебаний бесконечной однородной струны.
6. Решение задачи теплопроводности для однородного бесконечного стержня.
7. Решение задачи о колебании полубесконечной струны методом продолжений.
8. Решение задачи о колебании струны конечной длины методом разделения переменных.
9. Одномерная задача Штурма?Лиувилля: формулировка, свойства, доказательство ортогональности собственных функций. Примеры задач с вырожденными собственными значениями. Обобщенные ряды Фурье, способ отыскания коэффициентов.
10. Метод решения краевых задач для неоднородного уравнения с однородными граничными условиями.
11. Метод решения краевых задач с неоднородными граничными условиями 1-го рода.
12. Классификация уравнений 2-го порядка в частных производных с двумя независимыми переменными. Канонические формы уравнений. Алгоритм приведения уравнения к канонической форме.
13. Обоснование алгоритма приведения уравнений к канонической форме.
14. Одномерная чётная дельта-функция: определение, свойства, примеры применения.
15. Многомерная чётная дельта-функция: определение, связь с одномерной дельта-функцией, примеры записи объёмных плотностей.
16. Принцип суперпозиции для решений линейных уравнений. Метод функций Грина для бесконечной среды.
17. Метод функций Грина при наличии границы. Симметрия функции Грина.
18. Стационарная задача теплопроводности в бесконечной однородной среде при наличии точечного источника тепла.
19. Дифференциальные уравнения для специальных функций. Метод приведения однородного дифференциального уравнения 2-го порядка к самосопряженной форме. Теорема о поведении линейно независимых решений вблизи конечной особой точки. Теорема о поведении линейно независимых решений на бесконечности.
20. Задачи Штурма - Лиувилля с естественными условиями на границе. Свойства собственных функций и собственных значений (ортогональность собственных функций с доказательством).
21. Гамма-функция.
22. Уравнение Бесселя. Докажите, что функции Бесселя Jn(x), J-n(x) линейно независимы при нецелых n и линейно зависимы при целых. Докажите линейную независимость функций Бесселя и Неймана (для частного случая n=0).
23. Вывод асимптотики любых действительных решений уравнения Бесселя при x>>1. Асимптотика функций Бесселя и Неймана. Функции Ханкеля.
24. Решение задачи о свободных колебаниях круглой мембраны.
25. Модифицированные цилиндрические функции In(x), Kn(x), их поведение при x>>1 и 0<x<<1.
26. Решение задачи о диффузии радиоактивной примеси.
27. Разделение переменных в трехмерном уравнении Гельмгольца в сферических координатах и уравнение Бесселя. Сферические функции Бесселя.
28. Уравнения гипергеометрического типа. Вывод условия существования полиномиального решения.
29. Построение полиномиальных решений уравнения Лежандра.
30. Задача Штурма?Лиувилля с естественными условиями на границах для уравнения Лежандра. Доказательство полноты системы полиномов Лежандра относительно функций, непрерывных на отрезке [-1,+1]. Доказательство того, что задача Штурма? Лиувилля с естественными условиями для уравнения Лежандра не имеет других собственных значений и собственных функций, кроме ?n=n(n+1), yn=(x)=Pn(x).
31. Решение внутренней задачи Дирихле с азимутально-симметричным граничным условием на сфере.
32. Разложение кулоновского потенциала по мультиполям (без вывода). Решение задачи об электрическом потенциале внутри проводящей сферы при наличии внутри сферы точечного заряда.
33. Присоединенные функции Лежандра и сферические функции.
34. Решение внутренней задачи Дирихле с граничным условием на сфере при отсутствии азимутальной симметрии.
35. Вырожденное гипергеометрическое уравнение (уравнение Куммера). Найдите его общее решение при нецелых g. Поведение вырожденной гипергеометрической функции (функции Куммера) 1-го рода F(a,g,x) при малых и больших x.
36. Вырожденная гипергеометрическая функция (функция Куммера) 2-го рода G(a,g,x), её поведение при малых и больших x. Найдите условия, при которых функции F(a,g,x), G(a,g,x) линейно независимы. Построение общего решения уравнения Куммера, справедливого при любых a,g. Обобщенная гипергеометрическая функция. Гипергеометрическое уравнение Гаусса, гипергеометрическая функция Гаусса.
37. Установите связь решений уравнения Эрмита с решениями уравнения Куммера. Выразите полиномы Эрмита через функцию Куммера. Задача Штурма?Лиувилля для уравнения Эрмита, ее собственные функции и собственные значения.
38. Решение задачи о квантовом гармоническом осцилляторе.
39. Решение задачи Штурма - Лиувилля для обобщенного уравнения Лагерра, исходя из свойств вырожденного гипергеометрического уравнения.
40. Телеграфное уравнение. Дисперсия волн.
41. Нелинейные волны. Уравнение Кортевега - де Фриза.

Примеры задач к экзамену
1. Однородный стержень длины l расположен горизонтально.
Конец стержня x=0 свободен, а конец x=l закреплен.
Стержень находился в равновесии. В начальный момент точкам стержня
сообщили скорости cos(pi x/2l). Найдите закон движения точек стержня U(x,t).

2. Имеется однородный стержень длины l. Конец x = 0 стержня поддерживается при нулевой температуре,
а конец x=l теплоизолирован. Начальное распределение температуры T(x,0)=sin(pi x/2l).
Найдите температуру T(x,t).

3. Дано уравнение Uxx + 2Uxy + Uyy = 0. Определите тип уравнения,
приведите к канонической форме и найдите общее решение U(x,y).
5.2. Темы письменных работ для проведения текущего контроля (эссе, рефераты, курсовые работы и др.)
Темы контрольных работ:
Классификация уравнений и приведение их к канонической форме.
Метод разделения переменных. Задача Штурма – Лиувилля.
Метод функций Грина.
Общие свойства специальных функций. Цилиндрические функции.
Сферические функции. Гипергеометрические функции.
5.3. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
Фонд оценочных средств содержится в приложении и в учебно-методическом комплексе.

6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

6.1. Рекомендуемая литература
6.1.1. Основная литература
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л1.1 Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики: учебник М.: Физматлит // ЭБС "Университетская библиотека ONLINE", 2017, 2000 https: //biblioclub.ru/index.php?page=book&id=68126
Л1.2 Карчевский М.М. Лекции по уравнениям математической физики: учебное пособие СПб.: Лань // ЭБС "Лань", 2017, 2016 e.lanbook.com
Л1.3 Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике: М.: ФИЗМАТЛИТ // ЭБС "Университетская библиотека ONLINE", 2017, 2004 biblioclub.ru
6.1.2. Дополнительная литература
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л2.1 А.Г. Свешников, А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов Лекции по математической физике: учеб. пособие для вузов М.: Изд-во МГУ, 2004
Л2.2 В.Г. Багров, В.В. Белов, В.Н. Задорожный и др. Методы математической физики. Т.2, ч.2: Уравнения математической физики: учеб. пособие для вузов Томск: Изд-во научно-техн. лит., 2002
Л2.3 А.Н. Тихонов, А.А.Самарский Уравнения математической физики: учеб. для вузов М.: Изд-во МГУ, 2004
Л2.4 Комаров С.А., Щербинин В.В. Методы математической физики: Учебное пособие Изд-во АлтГУ, 2013
Л2.5 Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике: М.: Наука, 1972
Л2.6 В.Г. Багров, В.В. Белов, В.Н. Задорожный и др. Методы математической физики. Т.2, ч.1: Специальные функции: учеб. пособие для вузов Томск: Изд-во научно-техн. лит., 2002
Л2.7 Захаров Е.В., Дмитриева И.В., Орлик С.И. Уравнения математической физики: учебник М.: Академия, 2010
6.2. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет"
Название Эл. адрес
Э1 Научно-образовательный сайт Института проблем механики РАН «EqWorld – Мир математических уравнений» http://eqworld.ipmnet.ru/indexr.htm; в частности, на сайте есть физико-математическая библиотека http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library.htm, http://mechmath.ipmnet.ru/
Э2 Электронная библиотека механико-математического факультета МГУ (возможно только чтение; число страниц каждой книги, прочитанных за день, ограничено; для получения доступа к достаточному числу страниц нужно зарегистрироваться на сайте):
Э3 Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики [Электронный ресурс] // URL: http://lib.mexmat.ru/books/2783 (дата обращения 27.03.2011).
Э4 Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике [Электронный ресурс] // URL: http://lib.mexmat.ru/books/2693 (дата обращения 27.03.2011).
Э5 Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике [Электронный ресурс] // URL: http://lib.mexmat.ru/books/27255 (дата обращения 27.03.2011).
Э6 Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции [Электронный ресурс] // URL: http://lib.mexmat.ru/books/12767 (дата обращения 27.03.2011).
Э7 Бицадзе А.В. Уравнения математической физики [Электронный ресурс] // URL: http://lib.mexmat.ru/books/7134 (дата обращения 27.03.2011).
Э8 Владимиров В.С. Уравнения математической физики [Электронный ресурс] // URL: http://lib.mexmat.ru/books/2791 (дата обращения 27.03.2011).
Э9 Годунов С.К. Уравнения математической физики [Электронный ресурс] // URL: http://lib.mexmat.ru/books/43675 (дата обращения 27.03.2011).
Э10 Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики [Электронный ресурс] // URL: http://lib.mexmat.ru/books/1975 (дата обращения 27.03.2011).
Э11 Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики [Электронный ресурс] // URL: http://lib.mexmat.ru/books/2051 (дата обращения 27.03.2011).
Э12 Соболев С.Л. Уравнения математической физики [Электронный ресурс] // URL: http://lib.mexmat.ru/books/2775 (дата обращения 27.03.2011).
Э13 Электронно-библиотечная система издательства «Лань», http://e.lanbook.com. Доступ для чтения - из сети университета. В частности, есть учебник Н.Н. Лебедева «Специальные функции и их приложения» (издание 2010 г.).
6.3. Перечень программного обеспечения
Специального программного обеспечения не требуется.
6.4. Перечень информационных справочных систем
Информационных справочных систем не требуется.

7. Материально-техническое обеспечение дисциплины

Аудитория Назначение Оборудование
Учебная аудитория для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), проведения практик Стандартное оборудование (учебная мебель для обучающихся, рабочее место преподавателя, доска)
Учебная аудитория для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), проведения практик Стандартное оборудование (учебная мебель для обучающихся, рабочее место преподавателя, доска)
Помещение для самостоятельной работы помещение для самостоятельной работы обучающихся Компьютеры, ноутбуки с подключением к информационно-телекоммуникационной сети «Интернет», доступом в электронную информационно-образовательную среду АлтГУ

8. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

Указания общего характера
Чтобы учеба не была пустой тратой времени, необходимо добиваться полной ясности по каждому вопросу. Непонятные моменты нужно отмечать и при случае спрашивать у преподавателя.
К практическим занятиям нужно готовиться: просмотреть конспект лекции по теме занятия, решить задачи, если они были заданы.
Так как почти все темы взаимосвязаны, даже одно пропущенное занятие сильно затрудняет изучение дальнейшего материала. Поэтому нужно посещать все занятия, а в случае пропуска разобраться в пропущенном материале до следующего занятия.
При изучении предмета нужно стремиться к тому, чтобы материал складывался в целостную картину, с единым набором понятий, терминов, методов, уравнений, формул, обозначений. Единство предмета нужно учитывать и при подготовке к сдаче зачета: при поиске (например, в Интернете) вопросов по отдельности получается, как правило, бессвязная картина.
Изучая предмет, нужно прочитать, желательно – полностью, хотя бы один учебник.