МИНОБРНАУКИ РОССИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Алтайский государственный университет»

Численные методы

рабочая программа дисциплины
Закреплена за кафедройКафедра теоретической кибернетики и прикладной математики
Направление подготовки01.03.02. Прикладная математика и информатика
ПрофильМатематическое моделирование и информационные технологии
Форма обученияОчная
Общая трудоемкость9 ЗЕТ
Учебный план01_03_02_ПМиИ-4-2019
Часов по учебному плану 324
в том числе:
аудиторные занятия 122
самостоятельная работа 175
контроль 27
Виды контроля по семестрам
экзамены: 6
зачеты: 5

Распределение часов по семестрам

Курс (семестр) 3 (5) 3 (6) Итого
Недель 19 19
Вид занятий УПРПДУПРПДУПРПД
Лекции 34 34 18 18 52 52
Лабораторные 18 18 14 14 32 32
Практические 18 18 20 20 38 38
Сам. работа 110 110 65 65 175 175
Часы на контроль 0 0 27 27 27 27
Итого 180 180 144 144 324 324

Программу составил(и):
к.ф.-м.н., доцент, Журавлева В.В.

Рецензент(ы):
к.ф.-м.н., доцент, Пономарев И.В.

Рабочая программа дисциплины
Численные методы

разработана в соответствии с ФГОС:
Федеральный государственный образовательный стандарт высшего образования по направлению подготовки 01.03.02 ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА (уровень бакалавриата) (приказ Минобрнауки России от 12.03.2015г. №228)

составлена на основании учебного плана:
01.03. 02 Прикладная математика и информатика : Математическое моделирование и информационные технологии
утвержденного учёным советом вуза от 25.06.2019 протокол № 9.

Рабочая программа одобрена на заседании кафедры
Кафедра теоретической кибернетики и прикладной математики

Протокол от 05.07.2019 г. № 10
Срок действия программы: 2019-2023 уч. г.

Заведующий кафедрой
профессор, к.т.н. Хворова Л.А.


Визирование РПД для исполнения в очередном учебном году

Рабочая программа пересмотрена, обсуждена и одобрена для
исполнения в 2019-2020 учебном году на заседании кафедры

Кафедра теоретической кибернетики и прикладной математики

Протокол от 05.07.2019 г. № 10
Заведующий кафедрой профессор, к.т.н. Хворова Л.А.


1. Цели освоения дисциплины

1.1.Изучение основных приемов и методик разработки численных алгоритмов и применение на практике методов решения на ЭВМ различных математических задач, возникающих как в теории, так и в приложениях к физике, механике, химии и т.п.

2. Место дисциплины в структуре ООП

Цикл (раздел) ООП: Б1.Б

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

ОПК-2 способностью приобретать новые научные и профессиональные знания, используя современные образовательные и информационные технологии
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
3.1.Знать:
3.1.1.Основные численные методы и алгоритмы решения математических задач из разделов – теория аппроксимации, численное интегрирование, линейная алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения математической физики, иметь представление о существующих пакетах прикладных программ для решения соответствующих задач.
3.2.Уметь:
3.2.1.применять численные методы и алгоритмы, реализовывать эти алгоритмы на языке программирования высокого уровня.
3.3.Иметь навыки и (или) опыт деятельности (владеть):
3.3.1.методологией разработки численных методов для задач из указанных разделов.

4. Структура и содержание дисциплины

Код занятия Наименование разделов и тем Вид занятия Семестр Часов Компетенции Литература
Раздел 1. Численные методы
1.1. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент для решения основных задач математической физики. Методы построения разностных схем. Основные понятия теории разностных схем. Сетка, сеточные функции. Конечно-разностные аппроксимации производных. Шаблон. Лекции 5 4 ОПК-2 Л1.2, Л2.1
1.2. Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Теорема об эквивалентности. Корректность схемы. Регулярность схемы. Линейная разностная схема. Методы исследования устойчивости разностных схем. Необходимое условие устойчивости по начальным данным. Необходимый спектральный признак Неймана. Достаточное условие устойчивости. Принцип максимума. Принцип максимума для уравнений параболического и эллиптического типа. Теорема сравнения. Устойчивость по граничным условиям. Лекции 5 6 ОПК-2 Л1.2, Л2.1
1.3. Разностные схемы для одномерного уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами. Явная схема решения начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Метод гармоник (спектральный метод) исследования устойчивости разностной схемы. Условная и абсолютная устойчивость. Неявная схема решения начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Однопараметрическое семейство разностных схем для уравнения теплопроводности. Схема с весами. Исследование свойств схемы с весами. Метод прямых для решения начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности.Уравнения с переменными коэффициентами. Нелинейные уравнения. Разностные схемы для параболических уравнений в дивергентной форме. Лекции 5 8 ОПК-2 Л1.2, Л2.1
1.4. Разностные схемы для волнового уравнения. Схема «крест». Аппроксимация и устойчивость схемы «крест». Однопараметрическое семейство разностных схем для волнового уравнения. Схема с весами для волнового уравнения. Исследование свойств схемы с весами. Метод прямых для волнового уравнения. Лекции 5 4 ОПК-2 Л1.2, Л2.1
1.5. Разностная схема решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Реализация. Метод последовательных приближений. Аппроксимация и устойчивость схемы для уравнения Пуассона. Принцип максимума. Метод барьеров. Схема повышенного порядка аппроксимации для уравнения Пуассона. Лекции 5 4 ОПК-2 Л1.2, Л2.1
1.6. Двухслойные операторно-разностные схемы. Канонический вид двухслойных разностных схем. Устойчивость по начальным данным и правой части. Равномерная устойчивость по начальным данным. Теорема об устойчивости по правой части. Двухслойная схема с положительно определенным самосопряженным оператором Несамосопряженные разностные схемы. Лекции 5 4 ОПК-2 Л1.2, Л2.1
1.7. Прямые и итерационные методы решения сеточных уравнений. Методы решения сеточных уравнений для эллиптических задач. Методы Якоби, Зейделя, верхней релаксации на примере задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Попеременно-треугольный метод. Метод переменных направлений. Применение для решения разностной задачи для уравнения Пуассона в прямоугольнике. Лекции 5 4 ОПК-2 Л1.2, Л2.1
1.8. Численные методы решения задач математического анализа, алгебры и обыкновенных дифференциальных уравнений. Практические 5 2 ОПК-2 Л1.2, Л1.1
1.9. Решение однородных и неоднородных разностных уравнений. Практические 5 8 ОПК-2 Л1.2, Л1.1
1.10. Аппроксимация и устойчивость разностных схем. Практические 5 8 ОПК-2 Л1.2, Л1.1
1.11. Численное решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка Лабораторные 5 4 ОПК-2 Л3.1
1.12. Численное решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Лабораторные 5 4 ОПК-2 Л3.1
1.13. Численное решение начально-краевой задачи для волнового уравнения. Лабораторные 5 2 ОПК-2 Л3.1
1.14. Метод переменных направлений для решения начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности. Лабораторные 5 4 ОПК-2 Л3.1
1.15. Численное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона попеременно-треугольным методом. Лабораторные 5 4 ОПК-2 Л3.1
1.16. Разбор лекций, решение задач, выполнение домашних заданий. Сам. работа 5 110 ОПК-2 Л1.2
1.17. Итерационные методы вариационного типа. Метод минимальных невязок. Метод минимальных поправок. Метод скорейшего спуска. Лекции 6 2 ОПК-2 Л1.2, Л2.1
1.18. Метод разделения переменных. Разностная задача на собственные значения. Метод быстрого преобразования Фурье. Применения метода быстрого преобразования Фурье для решения разностного уравнения Пуассона. Лекции 6 2 ОПК-2 Л1.2, Л2.1
1.19. Методы минимизация функции одной переменной. Метод деления отрезка пополам. Метод дихотомии. Метод золотого сечения. Метод ломаных. Методы покрытий. Теорема о сходимости. Метод последовательного перебора. Лекции 6 2 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
1.20. Выпуклые функции одной переменной. Теорема о неравенствах. (Т1) Теорема о свойствах выпуклой функции. (Т2)Теорема об унимодальности выпуклой функции (Т3). Метод касательных. Методы поиска глобального минимума. Теорема о сходимости. Лекции 6 2 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
1.21. Элементы выпуклого анализа. Теорема об экстремальных свойствах выпуклой функции многих переменных (Т1). Теорема об оценке разности значений выпуклой функции (Т2). Необходимое и достаточное условие минимума (Т3). Сильно выпуклые функции. Критерии сильной выпуклости функции (Т4, Т5). Теорема о свойствах сильно выпуклой функции (Т6) Неравенство для Липшицевой функции (Л1). Лемма о свойствах числовой последовательности (Л2). Лекции 6 2 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
1.22. Методы минимизации функции многих переменных. Градиентный метод. Теорема о свойствах градиентного метода. Метод сопряженных градиентов (Л1). Минимизация квадратичного функционала (метод сопряженных градиентов) (Л2). Теорема о свойствах метода сопряженных градиентов (Т2 б/ д). Метод штрафных функций (Л, Т). Лекции 6 2 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
1.23. Метод Ньютона решения нелинейных уравнений и систем. Теорема о сходимости. Метод покоординатного спуска. Теорема о сходимости. Метод проекции градиентов. Теорема о неравенствах. Теорема о свойствах проекции градиента. Метод внешних штрафных функций ( Л1-2, Т). Лекции 6 2 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
1.24. Методы решения интегральных уравнений. Решение интегральных уравнений методом замены интеграла квадратурной суммой. Метод квадратур решения уравнений Вольтерра и Фредгольма второго рода. Решение интегральных уравнений с помощью замены ядра на вырожденное. Решение интегральных уравнений с помощью метода Галеркина. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода. Примеры некорректности. Метод регуляризации для уравнения Фредгольма первого рода. Лекции 6 4 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
1.25. Минимизирующие последовательности. Выпуклые множества и выпуклые функции. Практические 6 8 ОПК-2 Л1.1
1.26. Проекция точки на множество. Градиентные методы. Практические 6 8 ОПК-2 Л1.1
1.27. Решение интегральных уравнений Практические 6 4 ОПК-2 Л1.1
1.28. Минимизация функции методом дихотомии. Лабораторные 6 2 ОПК-2 Л3.1
1.29. Минимизация функции методом золотого сечения. Лабораторные 6 2 ОПК-2 Л3.1
1.30. Минимизация функции методом касательных. Лабораторные 6 2 ОПК-2 Л3.1
1.31. Метод наискорейшего спуска. Лабораторные 6 4 ОПК-2 Л1.2, Л3.1
1.32. Метод сопряженных градиентов. Лабораторные 6 4 ОПК-2 Л1.2, Л3.1
1.33. Разбор лекций, решение задач, выполнение домашних заданий. Сам. работа 6 65 ОПК-2 Л1.1
1.34. Экзамен 6 27 ОПК-2 Л1.2

5. Фонд оценочных средств

5.1. Контрольные вопросы и задания для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
СМ. ПРИЛОЖЕНИЕ
5.2. Темы письменных работ для проведения текущего контроля (эссе, рефераты, курсовые работы и др.)
СМ. ПРИЛОЖЕНИЕ
5.3. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
СМ. ПРИЛОЖЕНИЕ

6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

6.1. Рекомендуемая литература
6.1.1. Основная литература
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л1.1 Кузиков С.С. Элементы методов вычислительной математики : учебное пособие Изд-во АлтГУ, 2013 elibrary.asu.ru
Л1.2 Кузиков С.С., Хворова Л.А. Введение в численные методы: учеб. пособие Барнаул: Изд-во АлтГУ, 2008
6.1.2. Дополнительная литература
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л2.1 Самарский А.А. Введение в численные методы: учеб. пособие для вузов СПб.: Лань, 2009
6.1.3. Дополнительные источники
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л3.1 Журавлева В.В., Кузиков С.С. Лабораторный практикум по численным методам: учебно-методическое пособие АлтГУ, 2015 elibrary.asu.ru
6.2. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет"
Название Эл. адрес
Э1 Сайт библиотеки АлтГУ: www.lib.asu.ru;
Э2 электронно-библиотечная система издательства «Лань»: www.e.lanbook.com;
Э3 электронно-библиотечная система "Университетская библиотека online": www.biblioclub.ru;
Э4 свободная энциклопедия «Википедия»: http://ru.wikipedia.org
Э5 Курс в системе Moodle "Численные методы" portal.edu.asu.ru
6.3. Перечень программного обеспечения
Программное обеспечение для проведения лабораторных работ: Microsoft office Excel, Microsoft office Word, Adobe Reader. Scilab, Visual Studio.
Microsoft Windows
7-Zip
6.4. Перечень информационных справочных систем
Сайт библиотеки АлтГУ: www.lib.asu.ru
Электронная база данных ZBMATH: https://zbmath.org/

7. Материально-техническое обеспечение дисциплины

Аудитория Назначение Оборудование
320Л медиатека, читальный зал – помещение для самостоятельной работы Учебная мебель на 15 посадочных мест; персональные компьютеры с выходом в информационно-телекоммуникационную сеть Интернет и электронную информационно-образовательную среду;
203Л лаборатория информационных технологий - компьютерный класс - учебная аудитория для проведения занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических); проведения групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации Учебная мебель на 14 посадочных мест; компьютеры: марка ASUS модель i5-6500 - 14 единиц
408Л лаборатория математического моделирования - учебная аудитория для проведения занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических); проведения групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации Учебная мебель на 15 посадочных мест; рабочее место преподавателя; доска меловая 1 шт.; компьютер Depo - 10 шт., 5 шт. с мониторами LG и 5 шт. с мониторами Philips; мультимедиа-проектор Sony - 1 шт.; МФУ Canon - 1 шт.; стационарный экран: марка Digis Optima C - 1 шт.
Учебная аудитория для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), проведения практик Стандартное оборудование (учебная мебель для обучающихся, рабочее место преподавателя, доска)

8. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

Для эффективного изучения теоретической части дисциплины необходимо:
- построить работу по освоению дисциплины в порядке, отвечающим изучению основных этапов, согласно приведенным темам лекционного материала;
- систематически проверять свои знания по контрольным вопросам;
- усвоить содержание ключевых понятий;
- систематически работать с основной и дополнительной литературой по соответствующим темам.
Для эффективного изучения практической части дисциплины настоятельно рекомендуется:
- систематически осуществлять подготовку к практическим занятиям по предложенным преподавателем темам;
- своевременно выполнять практические индивидуальные задания.
Самостоятельная работа:
- Поиск ответов на вопросы для самостоятельной работы позволит вам расширить и углубить свои знания по курсу, применить теоретические знания в решении задач практического содержания, закрепить изученное ранее.
- При возникновении вопросов обратитесь к преподавателю в день консультаций на кафедру.
Итоговый контроль:
- Для подготовки к зачету/экзамену возьмите перечень примерных вопросов у методиста кафедры.
- В списке вопросов выделите те, которые были рассмотрены на лекциях, семинарских занятиях, и вопросы для самостоятельной работы. Для более детального изучения используйте рекомендуемую литературу.