МИНОБРНАУКИ РОССИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Алтайский государственный университет»

Дифференциальные уравнения
рабочая программа дисциплины

Закреплена за кафедройКафедра радиофизики и теоретической физики
Направление подготовки03.03.02. Физика
Форма обученияОчная
Общая трудоемкость3 ЗЕТ
Учебный план03_03_02_Ф-2-2020
Часов по учебному плану 108
в том числе:
аудиторные занятия 42
самостоятельная работа 39
контроль 27
Виды контроля по семестрам
экзамены: 3

Распределение часов по семестрам

Курс (семестр) 2 (3) Итого
Недель 19
Вид занятий УПРПДУПРПД
Лекции 24 24 24 24
Практические 18 18 18 18
Сам. работа 39 39 39 39
Часы на контроль 27 27 27 27
Итого 108 108 108 108

Программу составил(и):
к.ф.-м.н., доцент, Гончаров Александр Иванович

Рецензент(ы):
к.ф.-м.н., доцент, Рудер Давыд Давыдович

Рабочая программа дисциплины
Дифференциальные уравнения

разработана в соответствии с ФГОС:
ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ по направлению подготовки 03.03.02 «Физика» (квалификация (степень) "бакалавр"), утвержденный приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от «07» августа 2014 г., № 937

составлена на основании учебного плана:
03.03.02 Физика
утвержденного учёным советом вуза от 30.06.2020 протокол № 6.

Рабочая программа одобрена на заседании кафедры
Кафедра радиофизики и теоретической физики

Протокол от 15.06.2020 г. № 9
Срок действия программы: 2020-2021 уч. г.

Заведующий кафедрой
д.ф.-м.н., профессор Лагутин А.А.

Визирование РПД для исполнения в очередном учебном году

Рабочая программа пересмотрена, обсуждена и одобрена для
исполнения в 2020-2021 учебном году на заседании кафедры

Кафедра радиофизики и теоретической физики

Протокол от 15.06.2020 г. № 9
Заведующий кафедрой д.ф.-м.н., профессор Лагутин А.А.

1. Цели освоения дисциплины

1.1.обучение основным понятиям и методам теории обыкновенных дифференциальных уравнений, являющихся одним из мощных средств для анализа явлений и процессов различной природы и разработки эффективных математических методов решения задач естествознания, техники, экономики и управления;
овладение основными понятиями теории дифференциальных уравнений и методами качественного исследования и решения уравнений и систем уравнений;
ознакомление студентов с начальными навыками математического моделирования

2. Место дисциплины в структуре ООП

Цикл (раздел) ООП: Б1.Б.02

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

ОПК-2: способностью использовать в профессиональной деятельности базовые знания фундаментальных разделов математики, создавать математические модели типовых профессиональных задач и интерпретировать полученные результаты с учетом границ применимости моделей
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
3.1.Знать:
3.1.1.об основных методах решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными первого порядка
3.2.Уметь:
3.2.1.применять основные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными
первого порядка
3.3.Иметь навыки и (или) опыт деятельности (владеть):
3.3.1.навыками применения качественного анализа решений;
математического моделирования

4. Структура и содержание дисциплины

Код занятия Наименование разделов и тем Вид занятия Семестр Часов Компетенции Литература
Раздел 1. Понятие дифференциального уравнения
Раздел 2. Уравнения первого порядка
2.1. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения. Поле направлений. Частное и общее решения. Интегральные кривые, векторное поле, фазовые траектории. Лекции 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1, Л2.2
2.2. Элементарные приемы интегрирования: уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним Лекции 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
2.3. Уравнения с разделяющимися переменными Практические 3 2 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
2.4. Уравнения с разделяющимися переменными Сам. работа 3 2 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
2.5. Однородные и квазиоднородные уравнения Лекции 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
2.6. Однородные уравнения Практические 3 2 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
2.7. Однородные уравнения Сам. работа 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
2.8. Линейные уравнения первого порядка Лекции 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
2.9. Линейные уравнения Практические 3 2 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
2.10. Линейные уравнения Сам. работа 3 2 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
2.11. Уравнения Бернулли и Риккати Лекции 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
2.12. Уравнения Бернулли и Риккати Практические 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
2.13. Уравнения Бернулли и Риккати Сам. работа 3 2 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
2.14. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель Лекции 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
2.15. Уравнения в полных дифференциалах Практические 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
2.16. Уравнения в полных дифференциалах Сам. работа 3 2 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
2.17. Простейшие типы уравнений, не разрешенных относительно производной. Метод введения параметра. Уравнения Лагранжа и Клеро Лекции 3 2 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
Раздел 3. Уравнения высших порядков
3.1. Простейшие случаи понижения порядка дифференциальных уравнений Лекции 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
3.2. Уравнения, допускающие понижение порядка Практические 3 2 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
3.3. Уравнения, допускающие понижение порядка Сам. работа 3 2 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
3.4. Понижения порядка линейного дифференциального уравнения. Формула Лиувилля-Остроградского Лекции 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
3.5. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами Лекции 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
3.6. Фундаментальная система решений и общее решение линейного однородного уравнения Лекции 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
3.7. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами Практические 3 2 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
3.8. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами Сам. работа 3 4 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
3.9. Однородные уравнения Эйлера Лекции 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
3.10. Линейные неоднородные уравнения. Метод вариации постоянных Лекции 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
3.11. Линейные неоднородные уравнения, метод вариации постоянных Практические 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
3.12. Линейные неоднородные уравнения, метод вариации постоянных Сам. работа 3 3 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
3.13. Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида (квазимногочлен) Лекции 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
3.14. Линейные неоднородные уравнения, метод неопределенных коэффициентов Практические 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
3.15. Линейные неоднородные уравнения, метод неопределенных коэффициентов Сам. работа 3 2 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
3.16. Краевые задачи для линейных уравнений второго порядка Лекции 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
3.17. Краевые задачи для линейных уравнений второго порядка Сам. работа 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
Раздел 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
4.1. Интегрирование систем дифференциальных уравнений путем сведения к одному уравнению высокого порядка Лекции 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
4.2. Интегрирование системы дифференциальных уравнений путем сведения к одному уравнению Практические 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
4.3. Интегрирование системы дифференциальных уравнений путем сведения к одному уравнению Сам. работа 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
4.4. Нахождение интегрируемых комбинаций. Первые интегралы Лекции 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
4.5. Системы линейных однородных уравнений. Определитель Вронского Лекции 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
4.6. Системы линейных однородных уравнений. Определитель Вронского Сам. работа 3 2 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
4.7. Фундаментальная система решений и общее решение линейной однородной системы уравнений Лекции 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
4.8. Линейные однородные системы с постояннми коэффициентами Практические 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
4.9. Системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами Сам. работа 3 3 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
4.10. Системы линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод вариации постоянных Лекции 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
4.11. Линейные неоднородные системы. Метод вариации постоянных Практические 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
4.12. Системы линейных неоднородных уравнений. Метод вариации постоянных Сам. работа 3 2 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
4.13. Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения неоднородной системы уравнений с постоянными коэффициентами и правыми частями специального вида (квазимногочлены) Сам. работа 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
4.14. Метод неопределенных коэффициентов нахождения частного решения неоднородной системы уравнений с постоянными коэффициентами Практические 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
4.15. Метод неопределенных коэффициентов нахождения частного решения неоднородной системы уравнений с постоянными коэффициентами Сам. работа 3 2 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
Раздел 5. Теория устойчивости
5.1. Устойчивость решения по Ляпунову Лекции 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
5.2. Фазовые траектории двумерной линейной системы с постоянными коэффициентами. Особые точки: седло, узел, фокус, центр Лекции 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
5.3. Фазовые траектории двумерной линейной системы с постоянными коэффициентами Сам. работа 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
5.4. Численные методы решения дифференциальных уравнений Лекции 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
5.5. Численные методы решения дифференциальных уравнений Сам. работа 3 2 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
Раздел 6. Уравнения в частных производных первого порядка
6.1. Связь характеристик с решениями. Первые интегралы Сам. работа 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
6.2. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка Сам. работа 3 3 ОПК-2 Л2.1, Л1.1
Раздел 7. Экзамен
7.1. Экзамен 3 27 ОПК-2

5. Фонд оценочных средств

5.1. Контрольные вопросы и задания
Перечень вопросов к экзамену
1. Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнения типа y'=f(ax+by+d). Однородные уравнения y'=f(y/x).
2. Уравнения с правой частью в виде функции дробно-линейного аргумента.
3. Линейные уравнения. Метод Бернулли (uv-подстановка) и метод вариации постоянной.
4. Уравнение Бернулли. Уравнение Риккати.
5. Уравнения в полных дифференциалах.
6. Интегрирующий множитель для дифференциального уравнения 1-го порядка.
7. Неполные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
8. Уравнения 1-го порядка, разрешимые относительно y или x.
9. Уравнение Лагранжа1-го порядка и уравнение Клеро.
10. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения y'=f(x,y). Примеры задач, не имеющей решения и имеющей неединственное решение. Особые точки и особые решения. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений y'=f(x,y): метод ломаных Эйлера; метод последовательных приближений.
11. Неполные дифференциальные уравнения порядка n>1 (не содержащие y или x).
12. Уравнение в точных производных. Интегрирующий множитель. (Привести примеры).
13. Уравнение порядка n>1, однородное относительно y и производных.
14. Обобщенно-однородное уравнение порядка n>1.
15. Задача Коши для уравнения порядка n>1; теорема существования и единственности ее решения. Простейшие свойства линейных однородных дифференциальных уравнений.
16. Понятие линейной зависимости функций. Определитель Вронского системы функций. Теорема об определителе Вронского линейно зависимых функций (с доказательством). Следствие теоремы. Обратная теорема.
17. Теорема о существовании фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения (с доказательством). Теорема об общем решении линейного однородного уравнения (с доказательством).
18. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (случай различных корней характеристического уравнения; случай кратных корней).
19. Однородное уравнение Эйлера.
20. Использование частного решения для понижения порядка линейного однородного дифференциального уравнения. Метод поиска частного решения уравнения с коэффициентами в виде многочленов.
21. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения. Принцип суперпозиции. Метод вариации постоянных (вывод системы уравнений).

Темы задач к экзамену
1. Уравнения типа y'=f(ax+by+d).
2. Уравнения типа y'=f(y/x) (однородные).
3. Линейные уравнения.
4. Уравнения Бернулли.
5. Уравнения в полных дифференциалах.
6. Нелинейные уравнения, разрешимые относительно y'.
7. Неполные уравнения 1-го порядка.
8. Неполные уравнения порядка n>1.
9. Уравнения, однородные относительно y и производных.
10. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.
11. Линейные неоднородные уравнения.
5.2. Темы письменных работ (эссе, рефераты, курсовые работы и др.)
Индивидуальное задание "Дифференциальные уравнения первого порядка"
Индивидуальное задание "Дифференциальные уравнения высших порядков"

5.3. Фонд оценочных средств
Фонд оценочных средств содержится в приложении
Приложения
Приложение 1.   ФОС_Дифф_ур-Физ.doc

6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

6.1. Рекомендуемая литература
6.1.1. Основная литература
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л1.1 Бибиков, Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений: СПб. : Лань // ЭБС "Лань", 2011 http://e.lanbook.com/book/1542
6.1.2. Дополнительная литература
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л2.1 Бушманов С.Б., Бушманова О.П. Дифференциальные уравнения. Методы решения, примеры и задачи.: учеб. пособие АлтГУ, 2005
Л2.2 Васильева А.Б., Медведев Г.Н., Тихонов Н.А. Дифференциальные и интегральные уравнения. Вариационное исчисление в примерах и задачах: учебное пособие М.: Физматлит // ЭБС "университетская библиотека ONLINE", 2005 http://biblioclub.ru/index.php?page=book_view_red&book_id=68123
6.2. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет"
Название Эл. адрес
Э1 Научно-образовательный сайт Института проблем механики РАН «EqWorld – Мир математических уравнений» http://eqworld.ipmnet.ru/indexr.htm; http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library.htm, http://mechmath.ipmnet.ru/
Э2 Курс в Moodle "Дифференциальные уравнения" https://portal.edu.asu.ru/course/view.php?id=6490
6.3. Перечень программного обеспечения
Специального программного обеспечения не требуется.
6.4. Перечень информационных справочных систем
Информационных справочных систем не требуется.

7. Материально-техническое обеспечение дисциплины

Аудитория Назначение Оборудование
Учебная аудитория для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), проведения практик Стандартное оборудование (учебная мебель для обучающихся, рабочее место преподавателя, доска)
Учебная аудитория для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), проведения практик Стандартное оборудование (учебная мебель для обучающихся, рабочее место преподавателя, доска)
Помещение для самостоятельной работы помещение для самостоятельной работы обучающихся Компьютеры, ноутбуки с подключением к информационно-телекоммуникационной сети «Интернет», доступом в электронную информационно-образовательную среду АлтГУ

8. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

Указания общего характера
Чтобы учеба не была пустой тратой времени, необходимо добиваться полной ясности по каждому вопросу. Непонятные моменты нужно отмечать и при случае спрашивать у преподавателя.
К практическим занятиям нужно готовиться: просмотреть конспект лекции по теме занятия, решить задачи, если они были заданы.
Так как почти все темы взаимосвязаны, даже одно пропущенное занятие сильно затрудняет изучение дальнейшего материала. Поэтому нужно посещать все занятия, а в случае пропуска разобраться в пропущенном материале до следующего занятия.
При изучении предмета нужно стремиться к тому, чтобы материал складывался в целостную картину, с единым набором понятий, терминов, методов, уравнений, формул, обозначений. Единство предмета нужно учитывать и при подготовке к сдаче экзамена: при поиске (например, в Интернете) вопросов по отдельности получается, как правило, бессвязная картина.
Изучая предмет, нужно прочитать, желательно – полностью, хотя бы один учебник.