МИНОБРНАУКИ РОССИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Алтайский государственный университет»

Интегральные уравнения и вариационное исчисление
рабочая программа дисциплины

Закреплена за кафедройКафедра радиофизики и теоретической физики
Направление подготовки03.03.02. Физика
Форма обученияОчная
Общая трудоемкость3 ЗЕТ
Учебный план03_03_02_Ф-2-2020
Часов по учебному плану 108
в том числе:
аудиторные занятия 36
самостоятельная работа 72
Виды контроля по семестрам
зачеты: 4

Распределение часов по семестрам

Курс (семестр) 2 (4) Итого
Недель 19
Вид занятий УПРПДУПРПД
Лекции 14 14 14 14
Практические 22 22 22 22
Сам. работа 72 72 72 72
Итого 108 108 108 108

Программу составил(и):
к.ф.-м.н., доцент, Гончаров А.И.

Рецензент(ы):
к.ф.-м.н., доцент, Рудер Д.Д.

Рабочая программа дисциплины
Интегральные уравнения и вариационное исчисление

разработана в соответствии с ФГОС:
ФГОС ВО по направлению подготовки 03.03.02 «Физика», утвержденный приказом Министерства образования и науки РФ от «7» августа 2014 г. № 937.

составлена на основании учебного плана:
03.03.02 Физика
утвержденного учёным советом вуза от 30.06.2020 протокол № 6.

Рабочая программа одобрена на заседании кафедры
Кафедра радиофизики и теоретической физики

Протокол от 15.06.2020 г. № 9
Срок действия программы: 2020-2021 уч. г.

Заведующий кафедрой
д.ф.-м.н., профессор Лагутин А.А.

Визирование РПД для исполнения в очередном учебном году

Рабочая программа пересмотрена, обсуждена и одобрена для
исполнения в 2020-2021 учебном году на заседании кафедры

Кафедра радиофизики и теоретической физики

Протокол от 15.06.2020 г. № 9
Заведующий кафедрой д.ф.-м.н., профессор Лагутин А.А.

1. Цели освоения дисциплины

1.1.Данная дисциплина состоит из двух самостоятельных разделов: «Интегральные уравнения» (ИУ) и «Вариационное исчисление» (ВИ), каждый из которых является неотъемлемой частью фундаментальной математической подготовки студентов-физиков. Роль раздела ИУ и цели его изучения обусловлены следующим. Физические задачи и, в частности, многие обратные задачи, приводят к интегральным уравнениям. В курсе ИУ вводится и используется ряд важных понятий: гильбертово пространство; собственные функции и собственные значения оператора; ряд Неймана; корректно и некорректно поставленные задачи, регуляризация. Понятия и методы курса ИУ используются в дальнейшем при изучении дисциплин общефизической подготовки, в частности, квантовой механики, статистической физики, а также спецкурсов, например, теории переноса излучения, физики плазмы. Роль дисциплины ВИ и цели ее изучения обусловлены следующим. Функционал, вариация функции и функционала являются важными математическими объектами. Многие задачи механики и других наук (например, теории оптимального управления) непосредственно заключаются в поиске экстремума заданного функционала. Наиболее общими формулировками фундаментальных физических законов являются именно вариационные формулировки (принципы Гамильтона, Даламбера, Ферма). Аналогия между принципами Мопертюи и Ферма служит одним из подходов к представлению о волновых свойствах элементарных частиц. Разнообразные непрерывные симметрии в физике в наиболее общей форме выражаются через стационарность некоторого функционала относительно вариации функций, что приводит к весьма общей формулировке теоремы Нетер. Существуют мощные вариационные методы решения обратных задач. Минимизация функционалов лежит в основе ряда численных методов. Понятия и методы ВИ используются при изучении теоретической физики: аналитической механики, электродинамики, термодинамики, квантовой электродинамики, общей теории относительности и численных методов.

2. Место дисциплины в структуре ООП

Цикл (раздел) ООП: Б1.Б

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

ОПК-2: способностью использовать в профессиональной деятельности базовые знания фундаментальных разделов математики, создавать математические модели типовых профессиональных задач и интерпретировать полученные результаты с учетом границ применимости моделей
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
3.1.Знать:
3.1.1.Знание понятий и терминов, соответствующих программе курса; основные понятия и методы теории интегральных уравнений и вариационного исчисления
3.2.Уметь:
3.2.1.использовать изученные методы для решения незнакомых задач; делать математическую постановку задач на основе физических формулировок (в рамках материала курса)
3.3.Иметь навыки и (или) опыт деятельности (владеть):
3.3.1.навыками решения вариационных задач и задач, которые сводятся к интегральным уравнениям; навыками построения математических моделей

4. Структура и содержание дисциплины

Код занятия Наименование разделов и тем Вид занятия Семестр Часов Компетенции Литература
Раздел 1. Вариационное исчисление
1.1. Задачи вариационного исчисления. Необходимое условие экстремума функционала. Лекции 4 2 ОПК-2 Л2.1, Л2.3, Л1.3
1.2. Необходимое условие экстремума функционала. Сам. работа 4 4 ОПК-2 Л2.1, Л2.3, Л1.3
1.3. Основная лемма вариационного исчисления. Задачи с закрепленными границами. Уравнение Эйлера и его интегралы. Лекции 4 2 ОПК-2 Л2.1, Л2.3, Л1.3
1.4. Техника работы с уравнениями Эйлера: явная и неявная зависимости; вычисление частных и полных производных. Система уравнений Эйлера. Уравнение Эйлера - Остроградского. Вариационные принципы в физике: принцип Ферма, принцип Гамильтона. Лекции 4 2 ОПК-2 Л2.1, Л2.3, Л1.3
1.5. Уравнение Эйлера. Сам. работа 4 4 ОПК-2 Л2.1, Л2.3, Л1.3
1.6. Задачи об оптимальной траектории. Практические 4 4 ОПК-2 Л2.1, Л2.3, Л1.3
1.7. Задача об оптимальной траектории. Сам. работа 4 4 ОПК-2 Л2.1, Л2.3, Л1.3
1.8. Задачи на условный экстремум функционала с дифференциальной связью. Метод множителей Лагранжа. Изопериметрические задачи. Лекции 4 2 ОПК-2 Л2.1, Л2.3, Л1.3
1.9. Задачи на условный экстремум функционала. Метод множителей Лагранжа. Сам. работа 4 4 ОПК-2 Л2.1, Л2.3, Л1.3
1.10. Задача о цепной линии. Практические 4 2 ОПК-2 Л2.1, Л2.3, Л1.3
1.11. Задача о цепной линии. Сам. работа 4 4 ОПК-2 Л2.1, Л2.3, Л1.3
1.12. Вариационные задачи с дифференциальной связью. Практические 4 4 ОПК-2 Л2.1, Л2.3, Л1.3
1.13. Уравнение Эйлера - Остроградского. Геодезическая задача. Сам. работа 4 4 ОПК-2 Л2.1, Л2.3, Л1.3
1.14. Вариационные принципы в физике Сам. работа 4 4 ОПК-2 Л2.1, Л2.3, Л1.3
Раздел 2. Интегральные уравнения
2.1. Физические задачи, приводящие к интегральным уравнениям. Классификация интегральных уравнений. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром. Теоремы Фредгольма. Лекции 4 2 ОПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.1, Л1.2
2.2. Методы решения уравнений Фредгольма и Вольтерры с вырожденным ядром. Сам. работа 4 4 ОПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.1, Л1.2
2.3. Решение уравнений Фредгольма и Вольтерры с вырожденным ядром. Практические 4 4 ОПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.1, Л1.2
2.4. Решение неоднородных уравнений Фредгольма и Вольтерры методом последовательных приближений. Лекции 4 2 ОПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.1, Л1.2
2.5. Метод последовательных приближений. Сам. работа 4 4 ОПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.1, Л1.2
2.6. Решение уравнений методом последовательных приближений. Практические 4 2 ОПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.1, Л1.2
2.7. Метод последовательных приближений. Сам. работа 4 6 ОПК-2 Л2.2, Л1.1, Л1.2
2.8. Решение уравнений Фредгольма и Вольтерры типа свертки методом интегральных преобразований. Лекции 4 2 ОПК-2 Л2.1, Л1.1, Л1.2
2.9. Преобразование Лапласа. Теорема о свертке. Сам. работа 4 8 ОПК-2 Л2.1, Л1.1, Л1.2
2.10. Преобразование Фурье. Теорема о свертке. Сам. работа 4 8 ОПК-2 Л2.2, Л1.1, Л1.2
2.11. Решение уравнений типа свертки методом интегральных преобразований. Практические 4 6 ОПК-2 Л2.1, Л1.1, Л1.2
2.12. Решение уравнений типа свертки методом интегральных преобразований. Сам. работа 4 6 ОПК-2 Л2.2, Л1.1, Л1.2
2.13. Свойства уравнений с симметричным ядром. Сам. работа 4 4 ОПК-2 Л2.2, Л1.1, Л1.2
2.14. Неустойчивость уравнений 1-го рода и методы регуляризации. Сам. работа 4 4 ОПК-2 Л2.2

5. Фонд оценочных средств

5.1. Контрольные вопросы и задания
Перечень вопросов
1. Что такое функционал. Примеры функционалов. Примеры вариационных задач.
2. Вариация функции и функционала. Формулировка необходимого условия экстремума функционала.
3. Основная лемма вариационного исчисления: формулировка, пример применения.
4. Общая постановка задачи, которая приводит к уравнению Эйлера. Вывод уравнения Эйлера.
5. Общая постановка задачи, которая приводит к уравнению Эйлера. Уравнение Эйлера (без вывода). Пример вывода дифференциального уравнения для функции y(x), исходя из уравнения Эйлера.
6. Решение конкретной вариационной задачи с помощью уравнения Эйлера (например, задачи о маршруте из A в B, при котором время минимально): постановка задачи, метод решения, вывод дифференциального уравнения для y(x).
7. Общая постановка задачи, которая приводит к системе уравнений Эйлера. Вывод системы уравнений Эйлера. Пример независимых функций.
8. Задача на условный экстремум функционала при наличии дифференциальной связи: постановка задачи; схема вывода системы уравнений Эйлера с помощью метода множителей Лагранжа.
9. Изопериметрические задачи: общая постановка задачи, метод решения (без вывода).
10. Задача о цепной линии: постановка задачи, метод решения, вывод дифференциального уравнения.
11. Уравнение Эйлера - Остроградского: общая постановка задачи, уравнение (без вывода). Пример применения уравнения.
12. Принцип Гамильтона (принцип наименьшего действия).
13. Примеры вывода дифференциальных уравнений исходя из принципа Гамильтона.
14. Вариационные принципы Ферма и Мопертюи. Гипотеза де Бройля о волновых свойствах частиц.
15. Физический пример интегрального уравнения (например, задача гравиметрии). Обратные задачи.
16. Основные типы линейных интегральных уравнений. Задачи на собственные функции и собственные значения.
17. Уравнение Вольтерры как частный случай уравнения Фредгольма.
18. Метод решения уравнений Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром.
19. Формулировки первой теоремы Фредгольма и теоремы Фредгольма об альтернативе.
20. Метод построения ряда Неймана для неоднородного уравнения Фредгольма. Рекуррентная формула для последовательных приближений.
21. Теорема о сходимости ряда Неймана для неоднородного уравнения Фредгольма: формулировка; следствие о собственных значениях однородного уравнения.
22. Ряд Неймана для неоднородного уравнения Вольтерры. Рекуррентная формула для последовательных приближений.
23. Теорема о сходимости ряда Неймана для неоднородного уравнения Вольтерры: формулировка; следствие о характере решения однородного уравнения.
24. Интегральные уравнения Вольтерры типа свертки, метод решения. Задача о маятнике Гюйгенса.
25. Интегральные уравнения Фредгольма типа свертки, метод решения.
26. Численный метод решения интегральных уравнений.
27. Свойство устойчивости решений уравнения. Характер решений неоднородных уравнений 1-го и 2-го рода.
28. Свойство ортогональности собственных функций симметричного ядра.

Темы задач к зачету
1. Задача на безусловный экстремум функционала с неподвижными границами.
2. Уравнения Фредгольма с вырожденным ядром.
3. Уравнения Вольтерры с вырожденным ядром.
4. 1-я теорема Фредгольма.
5. Метод последовательных приближений.
6. Условия сходимости ряда Неймана для уравнений Фредгольма и Вольтерры.
7. Решение уравнений Вольтерры типа свертки методом преобразования Лапласа.
5.2. Темы письменных работ (эссе, рефераты, курсовые работы и др.)
5.3. Фонд оценочных средств
Фонд оценочных средств содержится в приложении.
Приложения

6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

6.1. Рекомендуемая литература
6.1.1. Основная литература
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л1.1 Васильева А.Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения: учебник СПб.: Лань // ЭБС "Лань", 2017, 2009 https://e.lanbook.com/reader/book/42/#1
Л1.2 Васильева А.Б., Медведев Г.Н., Тихонов Н.А. Дифференциальные и интегральные уравнения. Вариационное исчисление в примерах и задачах: учебное пособие М.: Физматлит // ЭБС "университетская библиотека ONLINE", 2005 http://biblioclub.ru/index.php?page=book_view_red&book_id=68123
Л1.3 Гюнтер Н.М. Курс вариационного исчисления: учебник СПб.: Лань // ЭБС "Лань", 2017, 2009 http://e.lanbook.com/book/119
6.1.2. Дополнительная литература
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л2.1 Васильева А.Б., Медведев Г.Н., Тихонов Н.А., Уразгильдина Т.А. Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах: учеб. пособие СПб.: Лань, 2010
Л2.2 А.Б. Васильева, Н.А. Тихонов Интегральные уравнения: учебник СПб.: Лань, 2009
Л2.3 Л.Э. Эльсгольц Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление: учеб. для вузов СПб. : ЛАНЬ, 2002
6.2. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет"
Название Эл. адрес
Э1 Электронно-библиотечная система издательства «Лань». Доступ для чтения – из сети университета. http://e.lanbook.com
Э2 Научно-образовательный сайт Института проблем механики РАН «EqWorld – Мир математических уравнений». http://eqworld.ipmnet.ru/indexr.htm
Э3 Курс в Moodle "Интегральные уравнения и вариационное исчисление" https://portal.edu.asu.ru/course/view.php?id=2029
6.3. Перечень программного обеспечения
Специального программного обеспечения не требуется.
6.4. Перечень информационных справочных систем
Информационных справочных систем не требуется.

7. Материально-техническое обеспечение дисциплины

Аудитория Назначение Оборудование
Учебная аудитория для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), проведения практик Стандартное оборудование (учебная мебель для обучающихся, рабочее место преподавателя, доска)
Помещение для самостоятельной работы помещение для самостоятельной работы обучающихся Компьютеры, ноутбуки с подключением к информационно-телекоммуникационной сети «Интернет», доступом в электронную информационно-образовательную среду АлтГУ

8. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

Указания общего характера
Чтобы учеба не была пустой тратой времени, необходимо добиваться полной ясности по каждому вопросу. Непонятные моменты нужно отмечать и при случае спрашивать у преподавателя.
К практическим занятиям нужно готовиться: просмотреть конспект лекции по теме занятия, решить задачи, если они были заданы.
Так как почти все темы взаимосвязаны, даже одно пропущенное занятие сильно затрудняет изучение дальнейшего материала. Поэтому нужно посещать все занятия, а в случае пропуска разобраться в пропущенном материале до следующего занятия.
При изучении предмета нужно стремиться к тому, чтобы материал складывался в целостную картину, с единым набором понятий, терминов, методов, уравнений, формул, обозначений. Единство предмета нужно учитывать и при подготовке к сдаче зачета: при поиске (например, в Интернете) вопросов по отдельности получается, как правило, бессвязная картина.
Изучая предмет, нужно прочитать, желательно – полностью, хотя бы один учебник.