МИНОБРНАУКИ РОССИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Алтайский государственный университет»

Дифференциальная геометрия и топология
рабочая программа дисциплины

Закреплена за кафедройКафедра математического анализа
Направление подготовки02.03.01. Математика и компьютерные науки
Форма обученияОчная
Общая трудоемкость6 ЗЕТ
Учебный план02_03_01_МиКН-4-2020
Часов по учебному плану 216
в том числе:
аудиторные занятия 86
самостоятельная работа 103
контроль 27
Виды контроля по семестрам
экзамены: 3
зачеты: 4

Распределение часов по семестрам

Курс (семестр) 2 (3) 2 (4) Итого
Недель 19,5 19
Вид занятий УПРПДУПРПДУПРПД
Лекции 16 16 18 18 34 34
Практические 18 18 34 34 52 52
Сам. работа 47 47 56 56 103 103
Часы на контроль 27 27 0 0 27 27
Итого 108 108 108 108 216 216

Программу составил(и):
к.ф.-м.н., доцент, Оскорбин Дмитрий Николаевич

Рецензент(ы):
к.ф.-м.н., доцент, Вараксин С.В.

Рабочая программа дисциплины
Дифференциальная геометрия и топология

разработана в соответствии с ФГОС:
Федеральный государственный образовательный стандарт высшего образования по направлению подготовки 02.03.01 МАТЕМАТИКА И КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ (уровень бакалавриата) (приказ Минобрнауки России от 07.08.2014г. №949)

составлена на основании учебного плана:
02.03.01 Математика и компьютерные науки
утвержденного учёным советом вуза от 30.06.2020 протокол № 6.

Рабочая программа одобрена на заседании кафедры
Кафедра математического анализа

Протокол от 02.07.2020 г. № 9
Срок действия программы: 2020-2021 уч. г.

Заведующий кафедрой
к.ф.-м.н., доцент Саженков А.Н.

Визирование РПД для исполнения в очередном учебном году

Рабочая программа пересмотрена, обсуждена и одобрена для
исполнения в 2020-2021 учебном году на заседании кафедры

Кафедра математического анализа

Протокол от 02.07.2020 г. № 9
Заведующий кафедрой к.ф.-м.н., доцент Саженков А.Н.

1. Цели освоения дисциплины

1.1.изложить студентам основные понятия, факты и методы дифференциальной геометрии и топологии; познакомить с классическими и современными идеями, задачами и объектами дифференциальной геометрии и топологии; добиться понимания основных объектов исследования и понятий. Продемонстрировать возможности методов данного курса для решения задач фундаментальной и прикладной математики; привить точность и обстоятельность аргументации в математических рассуждениях, сформировать уровень математической культуры, достаточный для понимания и усвоения последующих курсов по непрерывной математике; научить пользоваться математической литературой; привить навыки исследовательской работы.

2. Место дисциплины в структуре ООП

Цикл (раздел) ООП: Б1.В

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

ОПК-1: готовностью использовать фундаментальные знания в области математического анализа, комплексного и функционального анализа, алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, дискретной математики и математической логики, теории вероятностей, математической статистики и случайных процессов, численных методов, теоретической механики в будущей профессиональной деятельности
ПК-3: способностью строго доказывать утверждение, сформулировать результат, увидеть следствия полученного результата
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
3.1.Знать:
3.1.1.Об основных теоремах и разделах курса, их месте в научно-исследовательской и педагогической деятельности.
Знать основные понятия, методы и строгие доказательства фактов основных разделов дисциплины «Дифференциальная геометрия и топология»
3.2.Уметь:
3.2.1.•Использовать фундаментальные знания высшей математики в прикладных областях и при выполнении исследовательских работ
•Уметь применять теоретические знания к решению геометрических задач по данной дисциплине.
3.3.Иметь навыки и (или) опыт деятельности (владеть):
3.3.1.Готовностью использовать фундаментальные знания высшей математики в прикладных областях и при выполнении исследовательских работ
Владения различными приемами использования идеологии дисциплины «Дифференциальная геометрия и топология» к доказательству теорем и решению задач курса.

4. Структура и содержание дисциплины

Код занятия Наименование разделов и тем Вид занятия Семестр Часов Компетенции Литература
Раздел 1. Теория кривых в евклидовом пространстве
1.1. Геометрические объекты: кривые, способы задания. Вектор-функция скалярного аргумента. Определение гладкой кривой. Регулярность. Способы задания гладкой регулярной кривой. Эквивалентность. Касательная, нормальная и соприкасающаяся плоскости. Угол между кривыми. Длина дуги кривой. Замена параметра. Кривые единичной скорости и натурально параметризованные кривые. Кривая в криволинейной системе координат. Лекции 3 2 ОПК-1, ПК-3 Л3.1, Л1.1
1.2. Вектор-функция скалярного аргумента. Определение гладкой кривой. Регулярность. Способы задания гладкой регулярной кривой. Эквивалентность. Касательная, нормальная и соприкасающаяся плоскости. Угол между кривыми. Длина дуги кривой. Замена параметра. Кривые единичной скорости и натурально параметризованные кривые. Кривая в криволинейной системе координат. Практические 3 2 ОПК-1, ПК-3 Л3.1, Л1.1
1.3. Вектор-функция скалярного аргумента. Определение гладкой кривой. Регулярность. Способы задания гладкой регулярной кривой. Эквивалентность. Касательная, нормальная и соприкасающаяся плоскости. Угол между кривыми. Длина дуги кривой. Замена параметра. Кривые единичной скорости и натурально параметризованные кривые. Кривая в криволинейной системе координат. Сам. работа 3 10 ОПК-1, ПК-3 Л3.1, Л1.1
1.4. Сопровождающий трехгранник. Репер и формулы Френе. Кривизна и кручение пространственных кривых. Геометрический смысл кривизны и кручения. Каноническое представление кривой. Натуральное уравнение кривой. Плоские кривые. Кривизна плоских кривых. Лекции 3 2 ОПК-1, ПК-3 Л3.1, Л1.1
1.5. Сопровождающий трехгранник. Репер и формулы Френе. Кривизна и кручение пространственных кривых. Геометрический смысл кривизны и кручения. Каноническое представление кривой. Натуральное уравнение кривой. Плоские кривые. Кривизна плоских кривых. Практические 3 2 ОПК-1, ПК-3 Л3.1, Л1.1
1.6. Сопровождающий трехгранник. Репер и формулы Френе. Кривизна и кручение пространственных кривых. Геометрический смысл кривизны и кручения. Каноническое представление кривой. Натуральное уравнение кривой. Плоские кривые. Кривизна плоских кривых. Сам. работа 3 2 ОПК-1, ПК-3 Л3.1, Л1.1
1.7. Соприкосновение плоских кривых. Соприкасающаяся окружность и центр кривизны. Эволюта и эвольвента. Лекции 3 2 ОПК-1, ПК-3 Л3.1, Л1.1
1.8. Соприкосновение плоских кривых. Соприкасающаяся окружность и центр кривизны. Эволюта и эвольвента. Практические 3 2 ОПК-1, ПК-3 Л3.1, Л1.1
1.9. Соприкосновение плоских кривых. Соприкасающаяся окружность и центр кривизны. Эволюта и эвольвента. Сам. работа 3 14 ОПК-1, ПК-3 Л3.1, Л1.1
Раздел 2. Поверхности в евклидовом пространстве
2.1. Понятие гладкой регулярной поверхности. Способы задания. Эквивалентность. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Касательное пространство. Первая фундаментальная форма. Длина кривой на поверхности. Углы на поверхности. Площадь поверхности. Лекции 3 2 ОПК-1, ПК-3 Л3.1, Л1.1
2.2. Понятие гладкой регулярной поверхности. Способы задания. Эквивалентность. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Касательное пространство. Первая фундаментальная форма. Длина кривой на поверхности. Углы на поверхности. Площадь поверхности. Практические 3 2 ОПК-1, ПК-3 Л3.1, Л1.1
2.3. Понятие гладкой регулярной поверхности. Способы задания. Эквивалентность. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Касательное пространство. Первая квадратичная форма. Длина кривой на поверхности. Углы на поверхности. Площадь поверхности. Сам. работа 3 9 ОПК-1, ПК-3 Л3.1, Л1.1
2.4. Конформное отображение. Изометричность поверхностей. Основной оператор гиперповерхности и вторая квадратичная форма. Инварианты пары квадратичных форм. Деривационные формулы. Символы Кристоффеля. Лекции 3 2 ОПК-1, ПК-3 Л3.1, Л1.1
2.5. Конформное отображение. Изометричность поверхностей. Основной оператор гиперповерхности и вторая фундаментальная форма. Инварианты пары квадратичных форм. Деривационные формулы. Символы Кристоффеля. Практические 3 4 ОПК-1, ПК-3 Л3.1, Л1.1
2.6. Конформное отображение. Изометричность поверхностей. Основной оператор гиперповерхности и вторая фундаментальная форма. Инварианты пары квадратичных форм. Деривационные формулы. Символы Кристоффеля. Сам. работа 3 8 ОПК-1, ПК-3 Л3.1, Л1.1
2.7. Элементарная теория гладких кривых на гиперповерхности. Гауссова и средняя кривизны двумерных поверхностей. Геодезическая кривизна. Геодезические и их свойства. Лекции 3 4 ОПК-1, ПК-3 Л3.1, Л1.1
2.8. Элементарная теория гладких кривых на гиперповерхности. Гауссова и средняя кривизны двумерных поверхностей. Геодезическая кривизна. Геодезические и их свойства. Практические 3 2 ОПК-1, ПК-3 Л3.1, Л1.1
2.9. Элементарная теория гладких кривых на гиперповерхности. Гауссова и средняя кривизны двумерных поверхностей. Геодезическая кривизна. Геодезические и их свойства. Сам. работа 3 4 ОПК-1, ПК-3 Л3.1, Л1.1
Раздел 3. Многомерные геометрические объекты
3.1. проективное пространство, аффинная карта проективного пространства, модели проективных пространств малой размерности, метрические группы Лекции 4 4 ОПК-1, ПК-3 Л3.1, Л1.1
3.2. проективное пространство, аффинная карта проективного пространства, модели проективных пространств малой размерности, метрические группы Практические 4 2 ОПК-1, ПК-3 Л3.1, Л1.1
3.3. проективное пространство, аффинная карта проективного пространства, модели проективных пространств малой размерности, метрические группы Сам. работа 4 4 ОПК-1, ПК-3 Л3.1, Л1.1
Раздел 4. Гладкие многообразия
4.1. Гладкие многообразия. Общие сведения из общей топологии: топологическое пространство, метрическое пространство, непрерывное отображение, гомеоморфизмы, компактность, связность; определение гладкого многообразия, отображение многообразий, примеры многообразий: гладкие поверхности, матричные группы, проективное пространство; многообразие с краем; риманова метрика; касательный вектор, касательное пространство к многообразию, векторные поля на многообразии. Лекции 4 4 ОПК-1, ПК-3 Л3.1, Л1.1
4.2. Гладкие многообразия. Общие сведения из общей топологии: топологическое пространство, метрическое пространство, непрерывное отображение, гомеоморфизмы, компактность, связность; определение гладкого многообразия, отображение многообразий, примеры многообразий: гладкие поверхности, матричные группы, проективное пространство; многообразие с краем; риманова метрика; касательный вектор, касательное пространство к многообразию, векторные поля на многообразии. Практические 4 6 ОПК-1, ПК-3 Л3.1, Л1.1
4.3. Гладкие многообразия. Общие сведения из общей топологии: топологическое пространство, метрическое пространство, непрерывное отображение, гомеоморфизмы, компактность, связность; определение гладкого многообразия, отображение многообразий, примеры многообразий: гладкие поверхности, матричные группы, проективное пространство; многообразие с краем; риманова метрика; касательный вектор, касательное пространство к многообразию, векторные поля на многообразии. Сам. работа 4 14 ОПК-1, ПК-3 Л3.1, Л1.1
Раздел 5. Тензорный анализ на многообразиях. Тензоры на римановом многообразии
5.1. Тензорный анализ на многообразиях. Тензоры на римановом многообразии: общее определение тензора, алгебраические операции над тензорами, поднятие и опускание индексов, оператор Ходиса; кососимметрические тензоры, дифференциальные формы, внешнее произведение дифференциальных форм, внешняя алгебра; поведение тензоров при отображениях, дифференциал отображения, отображение касательных пространств. Лекции 4 4 ОПК-1, ПК-3 Л3.1, Л1.1
5.2. Тензорный анализ на многообразиях. Тензоры на римановом многообразии: общее определение тензора, алгебраические операции над тензорами, поднятие и опускание индексов, оператор Ходиса; кососимметрические тензоры, дифференциальные формы, внешнее произведение дифференциальных форм, внешняя алгебра; поведение тензоров при отображениях, дифференциал отображения, отображение касательных пространств. Практические 4 8 ОПК-1, ПК-3 Л3.1, Л1.1
5.3. Тензорный анализ на многообразиях. Тензоры на римановом многообразии: общее определение тензора, алгебраические операции над тензорами, поднятие и опускание индексов, оператор Ходиса; кососимметрические тензоры, дифференциальные формы, внешнее произведение дифференциальных форм, внешняя алгебра; поведение тензоров при отображениях, дифференциал отображения, отображение касательных пространств. Сам. работа 4 14 ОПК-1, ПК-3 Л3.1, Л1.1
Раздел 6. Связность и ковариатное дифференцирование
6.1. Связность и ковариантное дифференцирование: ковариантная производная тензоров, параллельный перенос векторных полей, геодезические; связности, согласованные с метрикой; тензор кривизны, симметрии тензора кривизны; тензор кривизны, порожденный метрикой; тензоры кривизны двух- и трехмерных многообразий. Лекции 4 4 ОПК-1, ПК-3 Л3.1, Л1.1
6.2. Связность и ковариантное дифференцирование: ковариантная производная тензоров, параллельный перенос векторных полей, геодезические; связности, согласованные с метрикой; тензор кривизны, симметрии тензора кривизны; тензор кривизны, порожденный метрикой; тензоры кривизны двух- и трехмерных многообразий. Практические 4 8 ОПК-1, ПК-3 Л3.1, Л1.1
6.3. Связность и ковариантное дифференцирование: ковариантная производная тензоров, параллельный перенос векторных полей, геодезические; связности, согласованные с метрикой; тензор кривизны, симметрии тензора кривизны; тензор кривизны, порожденный метрикой; тензоры кривизны двух- и трехмерных многообразий. Сам. работа 4 12 ОПК-1, ПК-3 Л3.1, Л1.1
Раздел 7. Дифференциальные формы и теория интегрирования
7.1. Дифференциальные формы и теория интегрирования: разбиение единицы на многообразии, интеграл дифференциальной формы, примеры: криволинейные и поверхностные интегралы второго рода; общая формула Стокса; примеры: формулы Грина, Стокса и Остроградского-Гаусса. Лекции 3 2 ОПК-1, ПК-3 Л3.1, Л1.1
7.2. Дифференциальные формы и теория интегрирования: разбиение единицы на многообразии, интеграл дифференциальной формы, примеры: криволинейные и поверхностные интегралы второго рода; общая формула Стокса; примеры: формулы Грина, Стокса и Остроградского-Гаусса. Практические 3 4 ОПК-1, ПК-3 Л3.1, Л1.1
7.3. Дифференциальные формы и теория интегрирования: разбиение единицы на многообразии, интеграл дифференциальной формы, примеры: криволинейные и поверхностные интегралы второго рода; общая формула Стокса; примеры: формулы Грина, Стокса и Остроградского-Гаусса. Сам. работа 4 4 ОПК-1, ПК-3 Л3.1, Л1.1
Раздел 8. Элементы топологии многообразий
8.1. Элементы топологии многообразий. Гомотопия: определение гомотопии, аппроксимация отображений и гомотопий гладкими, относительная гомотопия; степень отображения: определение степени, гомотопическая классификация отображений многообразия в сферу; степень и интеграл; степень векторного поля на поверхности; теорема Гаусса-Бонне; индекс особой точки векторного поля; теорема Пуанкаре-Бендиксона. Лекции 4 2 ОПК-1, ПК-3 Л3.1, Л1.1
8.2. Элементы топологии многообразий. Гомотопия: определение гомотопии, аппроксимация отображений и гомотопий гладкими, относительная гомотопия; степень отображения: определение степени, гомотопическая классификация отображений многообразия в сферу; степень и интеграл; степень векторного поля на поверхности; теорема Гаусса-Бонне; индекс особой точки векторного поля; теорема Пуанкаре-Бендиксона. Практические 4 10 ОПК-1, ПК-3 Л3.1, Л1.1
8.3. Элементы топологии многообразий. Гомотопия: определение гомотопии, аппроксимация отображений и гомотопий гладкими, относительная гомотопия; степень отображения: определение степени, гомотопическая классификация отображений многообразия в сферу; степень и интеграл; степень векторного поля на поверхности; теорема Гаусса-Бонне; индекс особой точки векторного поля; теорема Пуанкаре-Бендиксона. Сам. работа 4 8 ОПК-1, ПК-3 Л3.1, Л1.1
8.4. Экзамен 3 27 ОПК-1, ПК-3 Л3.1, Л1.1

5. Фонд оценочных средств

5.1. Контрольные вопросы и задания
см. приложение
5.2. Темы письменных работ (эссе, рефераты, курсовые работы и др.)
см. приложение
5.3. Фонд оценочных средств
см. приложение
Приложения

6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

6.1. Рекомендуемая литература
6.1.1. Основная литература
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л1.1 Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию: Учебные пособия Издательство "Лань", 2010 https://e.lanbook.com/book/530
6.1.3. Дополнительные источники
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л3.1 М. А. Чешкова Дифференциальная геометрия: учеб. пособие Изд-во АГУ, 1994 http://elibrary.asu.ru/handle/asu/2621
6.2. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет"
Название Эл. адрес
Э1 Научная Электронная Библиотека eLIBRARY – http://www.elibrary.ru (свободный доступ)
Э2 Поисковые системы интернета.
Э3 Сайт библиотеки АлтГУ: www.lib.asu.ru;
Э4 электронно-библиотечная система издательства «Лань»: www.e.lanbook.com;
Э5 электронно-библиотечная система "Университетская библиотека online": www.biblioclub.ru;
Э6 Курс в Moodle Дифференциальная геометрия и топология (ДГТ) https://portal.edu.asu.ru/course/view.php?id=4265
6.3. Перечень программного обеспечения
Microsoft Office,
Microsoft Windows,
7-Zip,
AcrobatReader
6.4. Перечень информационных справочных систем
1. Электронная база данных «Scopus» (http://www.scopus.com);
2. Электронная библиотечная система Алтайского государственного университета (http://elibrary.asu.ru/);
3. Научная электронная библиотека elibrary (http://elibrary.ru)

7. Материально-техническое обеспечение дисциплины

Аудитория Назначение Оборудование
Учебная аудитория для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), проведения практик Стандартное оборудование (учебная мебель для обучающихся, рабочее место преподавателя, доска)
Учебная аудитория для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), проведения практик Стандартное оборудование (учебная мебель для обучающихся, рабочее место преподавателя, доска)
Помещение для самостоятельной работы помещение для самостоятельной работы обучающихся Компьютеры, ноутбуки с подключением к информационно-телекоммуникационной сети «Интернет», доступом в электронную информационно-образовательную среду АлтГУ

8. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

В курсе «Дифференциальная геометрия и топология» предусмотрено проведение лекционных и практических занятий, выполнение самостоятельных работ по проблемным вопросам курса, что способствует лучшему и углубленному освоению теоретического материала. Теоретические разделы курса представлены в методической литературе, в которой приведены задания на самостоятельную работу, разделы вопросов и описание практических занятий.
1. Для успешного освоения содержания дисциплины необходимо посещать лекции, принимать активное участие в работе на практических занятиях, а также выполнять задания, предлагаемые преподавателем для самостоятельного изучения.
2. Лекция. На лекционных занятиях необходимо конспектировать изучаемый материал. Для систематизации лекционного материала, который будет полезен при подготовке к итоговому контролю знаний, записывайте на каждой лекции тему, вопросы для изучения, рекомендуемую литературу. В каждом вопросе выделяйте главное, обязательно выделяйте ключевые моменты. Перед следующей лекцией обязательно прочитайте предыдущую, чтобы актуализировать знания и осознанно приступить к освоению нового содержания.
3. Семинарское (практическое) занятие – это форма работы, где студенты максимально активно участвуют в обсуждении темы. Темы практических занятий представлены в рабочей программе дисциплины. В процессе изучения темы анализируйте несколько источников. Используйте периодическую печать - специальные журналы. Полезным будет работа с электронными учебниками и учебными пособиями в Internet-библиотеках. Зарегистрируйтесь в них: университетская библиотека Онлайн (http://www.biblioclub.ru/) и электронно-библиотечная система «Лань» (http://e.lanbook.com/). Принимайте участие в дискуссиях, круглых столах, так как они развивают ваши навыки коммуникативного общения. Если к семинарским занятиям предлагаются задания практического характера, продумайте план их выполнения или решения при подготовке к семинару. При возникновении трудностей в процессе подготовки взаимодействуйте с преподавателем, консультируйтесь по самостоятельному изучению темы.
4. Самостоятельная работа. При изучении дисциплины не все вопросы рассматриваются на лекциях и семинарских занятиях, часть вопросов рекомендуется преподавателем для самостоятельного изучения. Поиск ответов на вопросы и выполнение заданий для самостоятельной работы позволит вам расширить и углубить свои знания по курсу, применить теоретические знания в решении задач практического содержания, закрепить изученное ранее. Эти задания следует выполнять постепенно, планомерно, следуя порядку изучения тем курса. При возникновении вопросов обратитесь к преподавателю в день консультаций на кафедру. Выполнив их, проанализируйте качество их выполнения. Это поможет вам развивать умения самоконтроля и оценочные компетенции.
5. Итоговый контроль. Для подготовки к зачету и экзамену возьмите перечень примерных вопросов у методиста кафедры. В списке вопросов выделите те, которые были рассмотрены на лекции, практических занятиях. Обратитесь к своим записям, выделите существенное. Для более детального изучения изучите рекомендуемую литературу. Если в списке вопросов есть те, которые не рассматривались на лекции, семинарском занятии, изучите их самостоятельно. Если есть сомнения, задайте вопросы на консультации перед экзаменом. Продумайте свой ответ на экзамене, его логику. Помните, что ваш ответ украсит ссылка на источник литературы, иллюстрация практики применения теоретического знания, а также уверенность и наличие авторской аргументированной позиции как будущего субъекта профессиональной деятельности.