МИНОБРНАУКИ РОССИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Алтайский государственный университет»

Введение в численные методы

рабочая программа дисциплины
Закреплена за кафедройКафедра дифференциальных уравнений
Направление подготовки09.03.03. Прикладная информатика
Форма обученияОчная
Общая трудоемкость3 ЗЕТ
Учебный план09_03_03_ПИ-4-2020
Часов по учебному плану 108
в том числе:
аудиторные занятия 42
самостоятельная работа 66
Виды контроля по семестрам
зачеты: 4

Распределение часов по семестрам

Курс (семестр) 2 (4) Итого
Недель 19
Вид занятий УПРПДУПРПД
Лекции 20 20 20 20
Лабораторные 22 22 22 22
Сам. работа 66 66 66 66
Итого 108 108 108 108

Программу составил(и):
к.т.н., профессор, Хворова Л.А.

Рецензент(ы):
д.ф.-м.н, профессор, Родионов Е.Д.

Рабочая программа дисциплины
Введение в численные методы

разработана в соответствии с ФГОС:
Федеральный государственный образовательный стандарт высшего образования по направлению подготовки 09.03.03 ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА (уровень бакалавриата) (приказ Минобрнауки России от 12.03.2015г. №207)

составлена на основании учебного плана:
09.03.03 Прикладная информатика
утвержденного учёным советом вуза от 30.06.2020 протокол № 6.

Рабочая программа одобрена на заседании кафедры
Кафедра дифференциальных уравнений

Протокол от 10.06.2019 г. № 11
Срок действия программы: 2019-2020 уч. г.

Заведующий кафедрой
к.т.н., профессор Хворова Л.А.


Визирование РПД для исполнения в очередном учебном году

Рабочая программа пересмотрена, обсуждена и одобрена для
исполнения в 2020-2021 учебном году на заседании кафедры

Кафедра дифференциальных уравнений

Протокол от 10.06.2019 г. № 11
Заведующий кафедрой к.т.н., профессор Хворова Л.А.


1. Цели освоения дисциплины

1.1.Цель – изучение основных приемов и методик разработки и применения на практике методов решения на ЭВМ различных математических задач, возникающих как в теории, так и в приложениях к физике, механике, химии и т.п. при интегрировании, решении нелинейных уравнений, систем линейных алгебраических уравнений, решении задачи Коши и краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. Место дисциплины в структуре ООП

Цикл (раздел) ООП: Б1.В

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

ПК-23 способностью применять системный подход и математические методы в формализации решения прикладных задач
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
3.1.Знать:
3.1.1.основные численные методы и алгоритмы решения математических задач из разделов – теория аппроксимации, численное интегрирование, линейная алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения математической физики;
3.2.Уметь:
3.2.1.пользоваться существующими численными методами и алгоритмами, реализовывать эти алгоритмы на языках программирования высокого уровня, пользоваться прикладными математическими пакетами;
3.3.Иметь навыки и (или) опыт деятельности (владеть):
3.3.1.иметь навыки применения численных методов при решении фундаментальных и прикладных задач; самостоятельно разбираться в численных методах, содержащихся в специальной литературе; доводить решение задачи до практически приемлемого результата (уметь проводить доказательства и делать выводы).

4. Структура и содержание дисциплины

Код занятия Наименование разделов и тем Вид занятия Семестр Часов Компетенции Литература
Раздел 1. Введение в вычислительную математику.
1.1. Численные методы как раздел современной математики. Специфические особенности вычислительной математики. Лекции 4 1 ПК-23 Л3.1, Л1.2, Л2.1
1.2. История развития методов и средств вычислений, вычислительной математики и компьютерной техники. Сам. работа 4 3 ПК-23 Л3.1, Л1.3, Л2.2
1.3. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Роль компьютеров в исследовании сложных математических моделей с применением методов вычислений. Сам. работа 4 3 ПК-23 Л3.1, Л1.2, Л1.3, Л2.1, Л2.2
1.4. Дисциплина «Введение в численные методы». ЭУМКД. Лекции 4 1 ПК-23 Л3.1, Л1.2, Л1.3, Л2.1, Л2.2
Раздел 2. Элементы теории погрешностей
2.1. Введение в вычислительную математику. Источники и классификация погрешности. Абсолютная и относительная погрешности. Прямая задача теории погрешностей. Обратная задача теории погрешностей. Лекции 4 4 ПК-23 Л3.1, Л1.2, Л1.1, Л2.1, Л2.2
2.2. Абсолютная и относительная погрешности. Прямая задача теории погрешностей. Обратная задача теории погрешностей. Лабораторные 4 4 ПК-23 Л3.1, Л1.2, Л1.1, Л2.1, Л2.2
2.3. Абсолютная и относительная погрешности. Прямая задача теории погрешностей. Обратная задача теории погрешностей Сам. работа 4 6 ПК-23 Л3.1, Л1.3, Л2.1
Раздел 3. Приближенное решение алгебраических уравнений
3.1. Общие свойства алгебраических уравнений. Графическое решение уравнений. Отделение корней. Оценка погрешности приближенного корня. Методы уточнения приближенного корня: метод деления отрезка пополам; метод хорд; метод Ньютона. Лекции 4 2 ПК-23 Л3.1, Л1.2, Л1.1, Л2.1, Л2.2
3.2. Отделение корней. Оценка погрешности приближенного корня. Методы уточнения приближенного корня: метод деления отрезка пополам; метод хорд; метод Ньютона. Лабораторные 4 2 ПК-23 Л3.1, Л1.3, Л2.1
3.3. Отделение корней. Оценка погрешности приближенного корня. Методы уточнения приближенного корня: метод деления отрезка пополам; метод хорд; метод Ньютона. Сам. работа 4 6 ПК-23 Л3.1, Л1.3, Л2.1
Раздел 4. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
4.1. Метод исключения Гаусса. Метод Гаусса с выбором главного элемента. Метод простой итерации. Метод Зейделя. Метод наискорейшего спуска. Оценка погрешности приближенного решения системы. Мера обусловленности системы и матрицы. Сам. работа 4 6 ПК-23 Л3.1, Л1.2, Л1.1, Л2.1, Л2.2
Раздел 5. Интерполирование функций
5.1. Постановка задачи интерполирования. Линейная интерполяция. Интерполяционная формула Лагранжа. Конечные разности и разностные отношения. Интерполяционный многочлен Ньютона. Интерполирование по равноотстоящим значениям аргумента. Интерполирование сплайнами. Лекции 4 2 ПК-23 Л3.1, Л1.2, Л1.3, Л2.1, Л2.2
5.2. Линейная интерполяция. Интерполяционная формула Лагранжа. Интерполяционный многочлен Ньютона. Интерполирование сплайнами. Лабораторные 4 4 ПК-23 Л3.1, Л1.1, Л2.1
5.3. Линейная интерполяция. Интерполяционная формула Лагранжа. Конечные разности и разностные отношения. Интерполяционный многочлен Ньютона. Интерполирование по равноотстоящим значениям аргумента. Интерполирование сплайнами. Сам. работа 4 6 ПК-23 Л1.1, Л2.1
Раздел 6. Численное дифференцирование
6.1. Вычисление производной по ее определению. Конечно-разностные аппроксимации производных. Использование интерполяционных многочленов Лагранжа для формул численного дифференцирования. Метод неопределенных коэффициентов. О вычислительной погрешности формул численного дифференцирования. Лекции 4 2 ПК-23 Л3.1, Л1.2, Л1.3, Л1.1, Л2.1, Л2.2
6.2. Вычисление производных первого и второго порядка по формулам численного дифференцирования. Лабораторные 4 2 ПК-23 Л3.1, Л1.3, Л2.1
6.3. Вычисление производной по ее определению. Конечно-разностные аппроксимации производных. Использование интерполяционных многочленов Лагранжа для формул численного дифференцирования. Метод неопределенных коэффициентов. О вычислительной погрешности формул численного дифференцирования. Сам. работа 4 6 ПК-23 Л3.1, Л1.3, Л2.1
Раздел 7. Численное интегрирование
7.1. Постановка задачи численного интегрирования. Квадратурные формулы с равноотстоящими узлами Квадратурные формулы типа Гаусса. Приближенное вычисление несобственных интегралов. Лекции 4 2 ПК-23 Л3.1, Л1.2, Л1.3, Л1.1, Л2.1, Л2.2
7.2. Квадратурные формулы с равноотстоящими узлами Квадратурные формулы типа Гаусса. Приближенное вычисление несобственных интегралов. Лабораторные 4 2 ПК-23 Л3.1, Л1.3, Л2.1
7.3. Квадратурные формулы с равноотстоящими узлами Квадратурные формулы типа Гаусса. Приближенное вычисление несобственных интегралов. Сам. работа 4 6 ПК-23 Л3.1, Л1.3, Л2.1
Раздел 8. Методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
8.1. Постановка задачи Коши. Метод Эйлера. Метод Эйлера-Коши. Метод Рунге-Кутта. Лекции 4 2 ПК-23 Л3.1, Л1.2, Л1.3, Л1.1, Л2.1, Л2.2
8.2. Метод Эйлера. Метод Эйлера-Коши. Метод Рунге-Кутта. Лабораторные 4 4 ПК-23 Л3.1, Л1.3, Л2.1
8.3. Метод Эйлера. Метод Эйлера-Коши. Метод Рунге-Кутта. Сам. работа 4 6 ПК-23 Л1.3, Л2.1
Раздел 9. Решение граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
9.1. Постановка задачи. Метод сеток решения граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод прогонки. Лекции 4 4 ПК-23 Л3.1, Л1.2, Л1.3, Л1.1, Л2.1, Л2.2
9.2. Метод сеток решения граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод прогонки. Лабораторные 4 4 ПК-23 Л3.1, Л1.3, Л2.1
9.3. Метод сеток решения граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод прогонки. Сам. работа 4 6 ПК-23 Л3.1, Л1.3, Л2.1
Раздел 10. Приближенное решение систем нелинейных уравнений
10.1. Метод Ньютона. Модифицированный метод Ньютона. Метод итераций. Метод скорейшего спуска. Сам. работа 4 6 ПК-23 Л3.1, Л1.2, Л1.1, Л2.1, Л2.2
Раздел 11. Численные методы решения задач теплопереноса
11.1. Методы решения одномерных задач теплопроводности Сам. работа 4 6 ПК-23 Л3.1, Л1.2, Л2.1

5. Фонд оценочных средств

5.1. Контрольные вопросы и задания для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
1. Виды и основные источники погрешностей.
2. Понятие абсолютной и относительной погрешности.
3. Определение значащей и верной значащей цифры числа.
4. Правило округления чисел.
5. Прямая и обратная задачи теории погрешностей.
6. Определение погрешности приближенного значения функции многих переменных.
7. Получение формул для определения погрешностей арифметических операций.
8. Определение корня уравнения.
9. Понятие приближенного решения уравнения.
10. Графическое решение уравнений.
11. Отделение корней. Теорема о существовании корня внутри отрезка.
12. Условие существования единственного корня уравнения внутри интервала.
13. Достаточное условие для отделения корней уравнений.
14. Оценка погрешности приближенного корня.
15. Методы уточнения приближенного корня: метод деления отрезка пополам.
16. Методы уточнения приближенного корня: метод хорд.
17. Методы уточнения приближенного корня: метод Ньютона.
18. Основные понятия: аппроксимация, интерполяция, экстраполяция.
19. Понятие обобщенного многочлена.
20. Понятие системы Чебышева.
21. Постановка задачи интерполирования.
22. Понятие обобщенного интерполяционного многочлена.
23. Теорема о существовании и единственности обобщенного интерполяционного многочлена.
24. Примеры простейших аппроксимирующих функций.
25. Критерии согласия между искомой функцией и исходными данными.
26. Задача линейной интерполяции и ее решение.
27. Интерполяционная формула Лагранжа. Принцип построения.
28. Погрешность интерполирования.
29. Вычисление производной по ее определению.
30. Выражения для первой производной в точке с помощью отношения конечных разностей.
31. Погрешность вычисления первой производной.
31. Вычисление производной второго порядка.
33. Использование интерполяционных многочленов Лагранжа для численного дифференцирования.
34. Метод неопределенных коэффициентов.
35. Постановка задачи численного интегрирования.
36. Общий подход к вычислению интегралов. Остаток квадратурной формулы.
37. Формула трапеции. Оценка погрешности. Выбор шага интегрирования.
38. Формула Симпсона. Оценка погрешности. Выбор шага интегрирования.
39. Постановка задачи Коши.
40. Методы решения дифференциальных уравнений:
41. Понятие корректных и хорошо обусловленных задач.
42. Метод Эйлера.
43. Метод Эйлера-Коши.
44. Метод Рунге-Кутта.
45. Метод сеток.
46. Метод прогонки.
5.2. Темы письменных работ для проведения текущего контроля (эссе, рефераты, курсовые работы и др.)
Лабораторная работа 1. Теория погрешностей.
1. Определить, какое равенство точнее.
2. Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки.
3. Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют только верные цифры.
4. а). Записать порядок выполняемых операций, оценить погрешности их результатов, вычислить и оценить погрешность искомого значения. б). Определить число верных знаков в результате. (Прямая задача)
5). Выяснить погрешность задания исходных данных, необходимую для получения результата с верными значащими цифрами. (Обратная задача)
Лабораторная работа 2. Приближенное решение алгебраических уравнений.
1. Найти число действительных корней (положительных, отрицательных). Определить их границы.
2. Отделить и вычислить корни уравнения методами деления отрезка пополам, хорд и методом Ньютона с точностью до .
Лабораторная работа 3. Интерполирование функций.
1. Вычислить значения заданной функции в узлах интерполяции , на отрезке . Построить графическое изображение массива , .
2. Построить линейный интерполяционный полином . Найти его значения в узлах, соответствующих полушагу таблицы. На одном графике построить функции и . Вычислить погрешность

3. Построить интерполяционный многочлен Ньютона по формуле (5.9) и с его помощью найти значения функции в узлах, соответствующих полушагу таблицы. На одном графике построить функции и . Вычислить погрешность .
4. Построить интерполяционный кубический сплайн по таблице значений , . Вычислить его значения в промежуточных точках. На одном графике построить функции и . Вычислить погрешность .
5. Сравнить погрешности интерполяции , , . Выбрать лучшее приближение.
Лабораторная работа 4. Численное дифференцирование.
1. По значениям функции , вычисленным в узлах , отрезка (Задание № 7), по формулам (6.17) и (6.19) найти приближенные значения производных и в этих точках.
2. Вычислить значения первой и второй производной кубического сплайна в узлах сетки , отрезка .
3. Сравнить полученные результаты с точными значениями производных в этих точках.
4. Вычислить значения производных и по формулам (6.17) и (6.19), кубического сплайна в произвольной точке, не совпадающей с узлом сетки. Сравнить полученные значения с точным значением производных в этой точке. Оценить погрешность вычислений.
Лабораторная работа 5. Численное интегрирование.
1. Вычислить интегралы по формуле трапеций и Симпсона с заданным числом узлов и оценить погрешность.
2. Вычислить интегралы по формулам трапеций и Симпсона с заданной точностью , определяя шаг интегрирования по оценке остаточного члена. Для достижения заданной точности используйте метод двойного пересчета. Оцените соответствующие объемы вычислительной работы.
Лабораторная работа 6. Методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
1. Применяя метод Эйлера, Эйлера Коши и Рунге-Кутта численно решить дифференциальные уравнения с данными начальными условиями на отрезке .
2. Нарисовать графики найденных решений.
3. Выяснить возможность аналитического решения. Сравнить результаты численного и точного решений.
Лабораторная работа 7. Решение граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Методом сеток с использованием метода прогонки найти решение граничных задач.
5.3. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
Итоговый контроль практических умений и навыков по дисциплине «Введение в численные методы» осуществляется в форме зачета, который предусматривает знание теоретического материала и умение решать задачи. Текущий контроль осуществляется в форме проверки лабораторных работ по темам: элементы теории погрешности, приближенное решение алгебраических уравнений, интерполирование, численное дифференцирование, численное интегрирование, методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, методы решения краевых задач для уравнений второго порядка, а также тестирование по теоретическим и практическим аспектам курса.
При проведении зачета учитываются следующие критерии: знание теоретического материала, необходимого для выполнения практических заданий; качество расчетов, своевременность и правильность оформления лабораторных работ; тщательность анализа результатов; обоснованность выводов; активность работы студентов во время лекций, лабораторных работ и организации самостоятельной работы.
На лекциях и практических занятиях рассматриваются типовые примеры по изучаемой теме, обсуждается ход решения задач, анализируются возможные варианты решения, составляются программы (в среде табличного процессора Excel или Scilab), проводится отладка и тестирование программы.
Самостоятельная работа студентов по дисциплине
Самостоятельная работа студентов (СРС) предусматривает: детальную проработку лекций, учебной литературы, самостоятельное составление программ (в среде табличного процессора Excel или математическом пакете Scilab), подготовку к лабораторным работам по индивидуальным вариантам, выполнение лабораторных работ в компьютерных классах, подготовку и предоставление отчетов по лабораторным работам с использованием среды виртуального обучения Moodle, подготовку к тестам на усвоение пройденного материала и оценке остаточных знаний по темам, прохождение тестирования. Методические указания для самостоятельного решения и разобранные примеры можно найти в соответствующих лекциях, размещенных в системе Moodle (http://portal.edu.asu.ru/enrol/index.php?id=927), и рекомендованной литературе.
Для контроля текущей успеваемости и промежуточной аттестации используются рейтинговая и информационно-измерительная системы оценки знаний.
Система текущего контроля включает:
 контроль общего посещения;
 контроль работы на лабораторных занятиях;
 контроль знаний, умений, навыков, усвоенных в данном курсе в форме промежуточных компьютерных тестирований.
Лабораторная работа проходит по индивидуальным вариантам в компьютерных классах и оценивается в 100 баллов. Планируется семь лабораторных работ при освоении модуля.
Компьютерное тестирование предназначено для оценки знаний, умений и навыков, приобретенных в процессе теоретических и практических занятий курса, и представляет собой интерактивное выполнение теста с выбором ответа или вводом ответа в диалоге с компьютером в учебных компьютерных классах. Число вариантов ответов на каждое задание – не менее 2-х. Число заданий в тестовом варианте (индивидуально формируемом случайным образом комплекте вопросов) – не менее 10 и не более 25 заданий. Продолжительность сеанса тестирования – не более 90 минут. Планируется промежуточное тестирование по каждой теме дисциплины.
Баллы за тесты и лабораторные работы выставляются в соответствии с критериями, представлены в ЭУМКД на сайте АлтГУ (http://portal.edu.asu.ru/enrol/index.php?id=927).
Текущий рейтинг студента, выраженный в процентах, равен отношению набранных студентом баллов к максимально возможному числу баллов, которое складывается из оценок в баллах всех форм контроля.
Самостоятельная работа направлена на закрепление и углубление полученных теоретических и практических знаний, развитие навыков практической работы.

6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

6.1. Рекомендуемая литература
6.1.1. Основная литература
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л1.1 Б. П. Демидович, И. А. Марон Основы вычислительной математики: учеб. пособие СПб. : Лань, 2009
Л1.2 Самарский А.А. Введение в численные методы: учеб. пособие для вузов СПб.: Лань, 2009
Л1.3 Б. П. Демидович, И. А. Марон, Э. З. Шувалова Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения: учеб. пособие для вузов СПб.: Лань, 2010
6.1.2. Дополнительная литература
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л2.1 Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков Численные методы: М. : Наука, 1987
Л2.2 В. И. Крылов, В. В. Бобков, П. И. Монастырный Вычислительные методы высшей математики. Т.2.: учеб. пособие для вузов М. : Наука, 1977
6.1.3. Дополнительные источники
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л3.1 Кузиков С.С., Хворова Л.А. Введение в численные методы: учеб. пособие Барнаул: Изд-во АлтГУ, 2008
6.2. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет"
Название Эл. адрес
Э1 1. Электронная библиотека: www.lib.asu.ru www.lib.asu.ru
Э2 2. Образовательный математический сайт http://www.exponenta.ru www.exponenta.ru
Э3 3. Поисковые системы: Яндекс, Rambler, Google
Э4 4. Свободная энциклопедия Википедия: http://ru.wikipedia.org ru.wikipedia.org
Э5 5. Электронная библиотека: http://library.sgu.ru/, http://www.biblioclub.ru/ http://library.sgu.ru/, http://www.biblioclub.ru/
Э6 6. Единый образовательный портал АлтГУ http://portal.edu.asu.ru/enrol/index.php?id=927 portal.edu.asu.ru
6.3. Перечень программного обеспечения
Пакеты для математических вычислений: SciLab, MS Excel.
Microsoft Windows
7-Zip
AcrobatReader
6.4. Перечень информационных справочных систем
1. Образовательный портал АлтГУ http://portal.edu.asu.ru/

2. Znanium.com [Электронный ресурс]: электронно-библиотечная система. – URL: http://znanium.com
3. Издательство «Лань» [Электронный ресурс]: электронно-библиотечная система. – URL: http://e.lanbook.com/
4. Издательство «Юрайт» [Электронный ресурс]: электронно-библиотечная система. – URL: http://biblio-online.ru
5. Издательство МЦНМО [Электронный ресурс]. – URL: www.mccme.ru/free-books. Свободно распространяемые книги издательства Московского центра непрерывного математического образования
6. Математическая библиотека [Электронный ресурс]. – URL: www.math.ru/lib.
7. Руконт [Электронный ресурс]: межотраслевая электронная библиотека. – URL: http://rucont.ru
8. Электронная библиотека БИ СГУ [Электронный ресурс]. – URL: http://www.bfsgu.ru/elbibl
9. Электронная библиотека СГУ [Электронный ресурс]. – URL: http://library.sgu.ru/

7. Материально-техническое обеспечение дисциплины

8. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

По дисциплине предусмотрены лекционные занятия, лабораторный практикум и самостоятельная работа. На аудиторных лекциях, видеолекциях и лекциях-презентациях будет представлен как основной материал, касающийся методов решения различных математических задач согласно учебной программе, так и дополнительные материалы, связанные с историей развития вычислений и вычислительной техники, области применения численных методов и математического моделирования.
Лабораторные занятия предполагают проверку знаний по текущим темам в форме тестов; получение консультаций по сложным вопросам реализации численных методов, согласованности аналитических и численных решений задач; сдачу лабораторных работ преподавателю. Лабораторный практикум предполагает выполнение 7 лабораторных работ по основных разделам дисциплины.
На самостоятельную работу студентам отводится более 50% нагрузки по дисциплине, поэтому она предполагает элементы самостоятельного изучения теоретического материала в виде электронных лекций с ответами на вопросы, выполнение индивидуальных заданий, подготовку отчета по лабораторному практикуму.
Результат освоения дисциплины – зачет, который выставляется студентам на основе знаний, умений и навыков, приобретенных в процессе изучения дисциплины. Критерии получения зачета основаны на балльно-рейтинговой системе, с которой вы можете ознакомиться в ЭУМКД «Введение в численные методы».
Формы текущего контроля успеваемости студентов: ответы на вопросы в электронных лекциях, прохождение тестов по темам, собеседование по результатам выполнения лабораторных работ.

В помощь студентам разработан ЭУМКД, который расположен на едином образовательном портале АлтГУ http://portal.edu.asu.ru/.