МИНОБРНАУКИ РОССИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Алтайский государственный университет»

Дифференциальные уравнения
рабочая программа дисциплины

Закреплена за кафедройКафедра дифференциальных уравнений
Направление подготовки02.03.01. Математика и компьютерные науки
Форма обученияОчная
Общая трудоемкость6 ЗЕТ
Учебный план02_03_01_МиКН-4-2020
Часов по учебному плану 216
в том числе:
аудиторные занятия 86
самостоятельная работа 103
контроль 27
Виды контроля по семестрам
экзамены: 4
зачеты: 3

Распределение часов по семестрам

Курс (семестр) 2 (3) 2 (4) Итого
Недель 19,5 19
Вид занятий УПРПДУПРПДУПРПД
Лекции 22 22 20 20 42 42
Практические 22 22 22 22 44 44
Сам. работа 64 64 39 39 103 103
Часы на контроль 0 0 27 27 27 27
Итого 108 108 108 108 216 216

Программу составил(и):
д.ф.-м.н., зав. кафедрой, Папин Александр Алексеевич

Рецензент(ы):
д.ф.-м.н., профессор, Родионов Е.Д.

Рабочая программа дисциплины
Дифференциальные уравнения

разработана в соответствии с ФГОС:
Федеральный государственный образовательный стандарт высшего образования по направлению подготовки 02.03.01 Математика и компьютерные науки (уровень бакалавриата) (приказ Минобрнауки России от 07.08.2014г. №949)

составлена на основании учебного плана:
02.03.01 Математика и компьютерные науки
утвержденного учёным советом вуза от 30.06.2020 протокол № 6.

Рабочая программа одобрена на заседании кафедры
Кафедра дифференциальных уравнений

Протокол от 10.06.2019 г. № 11
Срок действия программы: 2019-2020 уч. г.

Заведующий кафедрой
д. ф.-м. н. Папин А.А., профессор кафедры дифференциальных уравнений

Визирование РПД для исполнения в очередном учебном году

Рабочая программа пересмотрена, обсуждена и одобрена для
исполнения в 2020-2021 учебном году на заседании кафедры

Кафедра дифференциальных уравнений

Протокол от 10.06.2019 г. № 11
Заведующий кафедрой д. ф.-м. н. Папин А.А., профессор кафедры дифференциальных уравнений

1. Цели освоения дисциплины

1.1.обучение основным понятиям и методам теории обыкновенных дифференциальных уравнений, являющихся одним из мощных средств для анализа явлений и процессов различной природы и разработки эффективных математических методов решения задач естествознания, техники, экономики и управления;
овладение основными понятиями теории дифференциальных уравнений и методами качественного исследования и решения уравнений и систем уравнений;
ознакомление студентов с начальными навыками математического моделирования

2. Место дисциплины в структуре ООП

Цикл (раздел) ООП: Б1.Б

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

ОПК-1: готовностью использовать фундаментальные знания в области математического анализа, комплексного и функционального анализа, алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, дискретной математики и математической логики, теории вероятностей, математической статистики и случайных процессов, численных методов, теоретической механики в будущей профессиональной деятельности
ПК-2: способностью математически корректно ставить естественнонаучные задачи, знание постановок классических задач математики
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
3.1.Знать:
3.1.1.об основных методах решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными первого порядка
3.2.Уметь:
3.2.1.знать основные понятия и теоремы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными первого порядка;
знать и уметь применять основные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем уравнений, уравнений с частными производными первого порядка
3.3.Иметь навыки и (или) опыт деятельности (владеть):
3.3.1.применения качественного анализа решений;
математического моделирования

4. Структура и содержание дисциплины

Код занятия Наименование разделов и тем Вид занятия Семестр Часов Компетенции Литература
Раздел 1. Понятие дифференциального уравнения
1.1. Понятие дифференциального уравнения. Поле направлений. Частное и общее решения. Интегральные кривые, векторное поле, фазовые траектории. Элементарные приемы интегрирования: уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним. Лекции 3 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л1.2, Л1.3, Л1.4
1.2. Уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения. Практические 3 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1
1.3. Уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения. Сам. работа 3 5 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л1.1, Л1.3, Л1.4
Раздел 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
2.1. Однородные и квазиоднородные уравнения. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли и Риккати. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Лекции 3 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л1.2, Л1.4
2.2. Однородные уравнения. Уравнения Бернулли и Риккати . Уравнения в полных дифференциалах. Практические 3 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л1.2, Л1.3, Л1.4
2.3. Однородные уравнения. Уравнения Бернулли и Риккати . Уравнения в полных дифференциалах. Сам. работа 3 5 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л1.1, Л1.3
2.4. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка. Лекции 3 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л1.2, Л1.4
2.5. Теорема существования и единственности. Практические 3 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.2, Л1.3
2.6. Теорема существования и единственности. Сам. работа 3 6 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.2, Л1.3, Л1.4
2.7. Простейшие типы уравнений, не разрешенных относительно производной. Метод введения параметра. Уравнения Лагранжа и Клеро. Лекции 3 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.2, Л1.3
2.8. Уравнения, не разрешенные относительно производной. Практические 3 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.2, Л1.3
2.9. Уравнения, не разрешенные относительно производной. Сам. работа 3 6 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.1, Л1.3
2.10. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной. Лекции 3 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л1.2, Л1.4
2.11. Теорема существования и единственности. Практические 3 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.3, Л1.4
2.12. Теорема существования и единственности. Сам. работа 3 6 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.1, Л1.3, Л1.4
2.13. Продолжение решений. Интервал существования решения уравнения. Непрерывная зависимость решения от параметра. Дифференцируемость решения по параметру. Лекции 3 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л1.2, Л1.3
2.14. Разные уравнения первого порядка (повторение). Практические 3 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.2, Л1.3
2.15. Разные уравнения первого порядка (повторение). Сам. работа 3 6 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.2, Л1.3, Л1.4
Раздел 3. Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков
3.1. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения высокого порядка. Простейшие случаи понижения порядка дифференциальных уравнений. Лекции 3 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.1, Л1.2, Л1.3
3.2. Уравнения, допускающие понижение порядка. Практические 3 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л1.1, Л1.4
3.3. Уравнения, допускающие понижение порядка. Сам. работа 3 6 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л1.1, Л1.4
3.4. Линейные уравнения высокого порядка. Линейная зависимость функций и определитель Вронского. Понижения порядка линейного дифференциального уравнения. Формула Лиувилля-Остроградского. Фундаментальная система решений и общее решение линейного однородного уравнения. Лекции 3 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.1, Л1.2
3.5. Линейные однородные уравнения с переменными коэффициентами. Понижения порядка линейного уравнения. Практические 3 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1
3.6. Линейные однородные уравнения с переменными коэффициентами. Понижения порядка линейного уравнения. Сам. работа 3 6 ОПК-1, ПК-2 Л2.1
3.7. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Однородные уравнения Эйлера. Лекции 3 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л1.2, Л1.3, Л1.4
3.8. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Однородные уравнения Эйлера. Практические 3 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.2, Л1.3, Л1.4
3.9. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Однородные уравнения Эйлера. Сам. работа 3 6 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л1.2, Л1.4
3.10. Линейные неоднородные уравнения. Метод вариации постоянных. Неоднородные уравнения Эйлера. Лекции 3 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.2, Л1.3
3.11. Линейные неоднородные уравнения, метод вариации постоянных. Неоднородные уравнения Эйлера. Практические 3 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л1.2, Л1.3
3.12. Линейные неоднородные уравнения, метод вариации постоянных. Неоднородные уравнения Эйлера. Сам. работа 3 6 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л1.2, Л1.4
3.13. Краевая задача для линейного уравнения второго порядка. Функция Грина. Лекции 3 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л1.2, Л1.3
3.14. Краевые задачи, функция Грина. Практические 3 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.1, Л1.3
3.15. Краевые задачи, функция Грина. Сам. работа 3 6 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.1, Л1.3
Раздел 4. Системы дифференциальных уравнений
4.1. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для системы уравнений. Интегрирование систем дифференциальных уравнений путем сведения к одному уравнению высокого порядка. Нахождение интегрируемых комбинаций. Первые интегралы. Лекции 4 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л1.3, Л1.4
4.2. Интегрирование системы дифференциальных уравнений путем сведения к одному уравнению. Нахождение интегрируемых комбинаций. Практические 4 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1
4.3. Интегрирование системы дифференциальных уравнений путем сведения к одному уравнению. Нахождение интегрируемых комбинаций. Сам. работа 4 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.2, Л1.3
4.4. Системы линейных однородных уравнений. Определитель Вронского. Лекции 4 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.2, Л1.3
4.5. Системы линейных однородных уравнений. Определитель Вронского. Практические 4 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1
4.6. Системы линейных однородных уравнений. Определитель Вронского. Сам. работа 4 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л1.2, Л1.3
4.7. Фундаментальная система решений и общее решение линейной однородной системы уравнений. Системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами. Системы линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод вариации постоянных. Лекции 4 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1
4.8. Линейные однородные системы с постояннми коэффициентами (простые корни характеристического уравнения). Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами (кратные корни характеристического уравнения). Линейные неоднородные системы. Метод вариации постоянных. Практические 4 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1
4.9. Линейные однородные системы с постояннми коэффициентами (простые корни характеристического уравнения). Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами (кратные корни характеристического уравнения). Линейные неоднородные системы. Метод вариации постоянных. Сам. работа 4 9 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.3, Л1.4
4.10. Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения неоднородной системы уравнений с постоянными коэффициентами и правыми частями специального вида (квазимногочлены). Лекции 4 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л1.2, Л1.4
4.11. Метод неопределенных коэффициентов нахождения частного решения неоднородной системы уравнений с постоянными коэффициентами. Практические 4 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1
4.12. Метод неопределенных коэффициентов нахождения частного решения неоднородной системы уравнений с постоянными коэффициентами. Сам. работа 4 10 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.1, Л1.3, Л1.4
Раздел 5. Теория устойчивости
5.1. Устойчивость решения по Ляпунову. Лекции 4 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л1.2, Л1.4
5.2. Устойчивость решения по Ляпунову. Практические 4 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.2, Л1.3
5.3. Устойчивость решения по Ляпунову. Сам. работа 4 3 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.2, Л1.3
5.4. Фазовые траектории двумерной линейной системы с постоянными коэффициентами. Особые точки: седло, узел, фокус, центр. Лекции 4 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.3, Л1.4
5.5. Фазовые траектории двумерной линейной системы с постоянными коэффициентами. Практические 4 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.3, Л1.4
5.6. Фазовые траектории двумерной линейной системы с постоянными коэффициентами. Сам. работа 4 3 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.3, Л1.4
5.7. Теоремы Ляпунова об устойчивости и об асимптотической устойчивости. Теорема Четаева о неустойчивости Лекции 4 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л1.2, Л1.4
5.8. Теоремы Ляпунова об устойчивости и об асимптотической устойчивости, Четаева о неустойчивости. Практические 4 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.2, Л1.3
5.9. Теоремы Ляпунова об устойчивости и об асимптотической устойчивости, Четаева о неустойчивости. Сам. работа 4 3 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.1, Л1.3, Л1.4
5.10. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению и ее применение. Лекции 4 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л1.1, Л1.4
5.11. Исследование на устойчивость по первому приближению. Практические 4 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л1.2, Л1.3
5.12. Исследование на устойчивость по первому приближению. Сам. работа 4 3 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.2, Л1.3
Раздел 6. Уравнения с частными производными первого порядка
6.1. Связь характеристик с решениями. Первые интегралы. Лекции 4 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.2, Л1.3
6.2. Связь характеристик с решениями. Первые интегралы Практические 4 3 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.2, Л1.3
6.3. Связь характеристик с решениями. Первые интегралы Сам. работа 4 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.2, Л1.3
6.4. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка. Уравнения Пфаффа. Лекции 4 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.2, Л1.3
6.5. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка. Уравнения Пфаффа. Практические 4 3 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.2, Л1.3
6.6. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка. Уравнения Пфаффа. Сам. работа 4 2 ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.2, Л1.3, Л1.4
6.7. Экзамен 4 27 ОПК-1, ПК-2 Л2.1

5. Фонд оценочных средств

5.1. Контрольные вопросы и задания
Приведено в ФОС
5.2. Темы письменных работ (эссе, рефераты, курсовые работы и др.)
Приведено в ФОС
5.3. Фонд оценочных средств
Приведено в ФОС

6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

6.1. Рекомендуемая литература
6.1.1. Основная литература
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л1.1 Хеннер В.К., Белозерова Т.С., Хеннер М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения, вариационное исчисление, основы специальных функций и интегральных уравнений: Лань, 2017 https://e.lanbook.com/book/96873#book_name
Л1.2 Жабко А.П., Котина Е.Д., Чижова О.Н. Дифференциальные уравнения и устойчивость: Лань, 2015 https://e.lanbook.com/book/60651#authors
Л1.3 Литвин Д. Б. , Мелешко С. В. , Мамаев И. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения: учебное пособие : Ставропольский государственный аграрный университет, 2017 http://biblioclub.ru/index.php?page=book_red&id=484995&sr=1
Л1.4 Пономаренко А. К. , Сахаров В. Ю. , Черняев П. К. Индивидуальные задания по обыкновенным дифференциальным уравнениям: учебное пособие : Издательство Санкт-Петербургского Государственного Университета, 2016 http://biblioclub.ru/index.php?page=book_red&id=458099&sr=1
6.1.2. Дополнительная литература
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л2.1 Бибиков, Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений: СПб. : Лань // ЭБС "Лань", 2011 http://e.lanbook.com/book/1542
Л2.2 А. Б. Васильева [и др.] Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах: учебное пособие СПб. ; М. ; Краснодар : Лань, 2010 https://e.lanbook.com/book/59405
6.2. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет"
Название Эл. адрес
Э1 Электронная библиотечная система Алтайского государственного университета : www.elibrary.ru
Э2 Электронно-библиотечная система издательства "Лань": www.e.lanbook.com
Э3 Электронно-библиотечная система "Университетская библиотека Online": www.biblioclub.ru
Э4 Образовательный курс Дифференциальные уравнения на платформе MOODLE https://portal.edu.asu.ru/course/view.php?id=4439
6.3. Перечень программного обеспечения
Программное обеспечение для проведения практических работ: Microsoft Office Excel, Microsoft Office Word, Adobe Reader.



Microsoft Windows
7-Zip
6.4. Перечень информационных справочных систем
Сайт библиотеки АлтГУ: www.lib.asu.ru;
электронно-библиотечная система издательства «Лань»: www.e.lanbook.com;
электронно-библиотечная система «Университетская библиотека online»: www.biblioclub.ru;
свободная энциклопедия «Википедия»: http://ru.wikipedia.org
единый образовательный портал http://portal.edu.asu.ru/course/index.php?categoryid=96

7. Материально-техническое обеспечение дисциплины

Аудитория Назначение Оборудование
Учебная аудитория для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), проведения практик Стандартное оборудование (учебная мебель для обучающихся, рабочее место преподавателя, доска)
Помещение для самостоятельной работы помещение для самостоятельной работы обучающихся Компьютеры, ноутбуки с подключением к информационно-телекоммуникационной сети «Интернет», доступом в электронную информационно-образовательную среду АлтГУ

8. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

1. Для успешного освоения содержания дисциплины необходимо посещать лекции, принимать активное участие в работе на практическом занятии, а также выполнять задания, предлагаемые преподавателем для самостоятельного изучения.
2. Лекция.
-На лекцию приходите не опаздывая, так как это неэтично.
- На лекционных занятиях необходимо конспектировать изучаемый материал.
- Для систематизации лекционного материала, который будет полезен при подготовке к итоговому контролю знаний, записывайте на каждой лекции тему, вопросы для изучения, рекомендуемую литературу.
- В каждом вопросе выделяйте главное, обязательно запишите ключевые моменты (определение, факты, законы, правила и т.д.), подчеркните их.
- Если по содержанию материала возникают вопросы, не нужно выкрикивать, запишите их и задайте по окончании лекции или на семинарском занятии.
- Перед следующей лекцией обязательно прочитайте предыдущую, чтобы актуализировать знания и осознанно приступить к освоению нового содержания.
3.Практическое занятие – это форма работы, где студенты максимально активно участвуют в обсуждении темы.
- Для подготовки к практическому занятию необходимо взять план занятия (у преподавателя).
- Самостоятельную подготовку к занятию необходимо начинать с изучения понятийного аппарата темы. Рекомендуем использовать справочную литературу, учебники.
- Важно запомнить, что любой источник должен нести достоверную информацию, особенно это относится к Internet-ресурсам. При использовании Internet - ресурсов в процессе подготовки не нужно их автоматически «скачивать», они должны быть проанализированы. Не нужно «скачивать» готовые рефераты, так как их однообразие преподаватель сразу выявляет, кроме того, они могут быть сомнительного качества.
- В процессе изучения темы анализируйте несколько источников. Используйте научные специальные журналы.
- Полезным будет работа с электронными учебниками и учебными пособиями в Internet-библиотеках. Зарегистрируйтесь в них: университетская библиотека Онлайн (http://www.biblioclub.ru/) и электронно-библиотечная система «Лань» (http://e.lanbook.com/).
- При возникновении трудностей в процессе подготовки взаимодействуйте с преподавателем, консультируйтесь по самостоятельному изучению темы.
4. Самостоятельная работа.
- При изучении дисциплины не все вопросы рассматриваются на лекциях и практических занятиях, часть вопросов рекомендуется преподавателем для самостоятельного изучения.
- Поиск ответов на вопросы и выполнение заданий для самостоятельной работы позволит вам расширить и углубить свои знания по курсу, применить теоретические знания в решении задач практического содержания, закрепить изученное ранее.
- Эти задания следует выполнять не «наскоком», а постепенно, планомерно, следуя порядку изучения тем курса.
- При возникновении вопросов обратитесь к преподавателю в день консультаций на кафедру.
- Выполнив их, проанализируйте качество их выполнения. Это поможет вам развивать умения самоконтроля и оценочные компетенции.
5. Итоговый контроль.
- Для подготовки к зачету/экзамену возьмите перечень примерных вопросов у преподавателя.
- В списке вопросов выделите те, которые были рассмотрены на лекции, практических занятиях. Обратитесь к своим записям, выделите существенное. Для более детального изучения изучите рекомендуемую литературу.
- Если в списке вопросов есть те, которые не рассматривались на лекции, на практическом занятии, изучите их самостоятельно. Если есть сомнения, задайте вопросы на консультации перед экзаменом.
- Продумайте свой ответ на экзамене, его логику. Помните, что ваш ответ украсит ссылка на источник литературы, иллюстрация практики применения теоретического знания, а также уверенность и наличие авторской аргументированной позиции как будущего субъекта профессиональной деятельности.