МИНОБРНАУКИ РОССИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Алтайский государственный университет»

Комплексный анализ
рабочая программа дисциплины

Закреплена за кафедройКафедра дифференциальных уравнений
Направление подготовки01.03.02. Прикладная математика и информатика
ПрофильМатематическое моделирование и информационные технологии. ФГОС 3++
Форма обученияОчная
Общая трудоемкость7 ЗЕТ
Учебный план01_03_02_ПМиИ-1-2020
Часов по учебному плану 252
в том числе:
аудиторные занятия 104
самостоятельная работа 121
контроль 27
Виды контроля по семестрам
экзамены: 6
зачеты: 5

Распределение часов по семестрам

Курс (семестр) 3 (5) 3 (6) Итого
Недель 18,5 19
Вид занятий УПРПДУПРПДУПРПД
Лекции 34 34 18 18 52 52
Практические 34 34 18 18 52 52
Сам. работа 40 40 81 81 121 121
Часы на контроль 0 0 27 27 27 27
Итого 108 108 144 144 252 252

Программу составил(и):
д.ф.-м.н., профессор, Гончарова Ольга Николаевна

Рецензент(ы):
д.ф.-м.н., профессор, Родионов Евгений Дмитриевич

Рабочая программа дисциплины
Комплексный анализ

разработана в соответствии с ФГОС:
Федеральный государственный образовательный стандарт высшего образования по направлению подготовки 01.03.02 Прикладная математика и информатика (уровень бакалавриата) (приказ Минобрнауки России от 10.01.2018г. №9)

составлена на основании учебного плана:
01.03.02 Прикладная математика и информатика
утвержденного учёным советом вуза от 30.06.2020 протокол № 6.

Рабочая программа одобрена на заседании кафедры
Кафедра дифференциальных уравнений

Протокол от 10.06.2020 г. № 11
Срок действия программы: 2020-2021 уч. г.

Заведующий кафедрой
д.ф.-м. н. Папин А.А., профессор кафедры дифференциальных уравнений

Визирование РПД для исполнения в очередном учебном году

Рабочая программа пересмотрена, обсуждена и одобрена для
исполнения в 2020-2021 учебном году на заседании кафедры

Кафедра дифференциальных уравнений

Протокол от 10.06.2020 г. № 11
Заведующий кафедрой д.ф.-м. н. Папин А.А., профессор кафедры дифференциальных уравнений

1. Цели освоения дисциплины

1.1.Цель освоения дисциплины «Комплексный анализ» - освоение студентами основ и методов комплексного анализа и теории функций комплексного переменного: методов дифференцирования и интегрирования функций комплексного переменного, методов осуществления отображения при помощи функций комплексного переменного, теории рядов аналитических функций, теории вычетов; формирование уровня математической культуры, достаточного для понимания и усвоения последующих курсов математических дисциплин; привитие навыков практического применения методов комплексного анализа, навыков исследовательской работы.

2. Место дисциплины в структуре ООП

Цикл (раздел) ООП: Б1.В.01

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

УК-1: Способен осуществлять поиск, критический анализ и синтез информации, применять системный подход для решения поставленных задач
ОПК-1: Способен применять фундаментальные знания, полученные в области математических и (или) естественных наук, и использовать их в профессиональной деятельности
ПК-2: способность применять математические методы и математическое моделирование, информационные и имитационные модели по тематике выполняемых научно-исследовательских прикладных задач или опытно-конструкторских работ в сфере профессиональной деятельности
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
3.1.Знать:
3.1.1.глубоко основные математические понятия и положения, аксиоматику, основные формулы, теоремы и методы комплексного анализа, теории функций комплексного переменного.


3.2.Уметь:
3.2.1.проводить исследования, связанные с основными понятиями курса комплексного анализа, применять основные методы теории функций комплексного переменного при решении задач дифференцирования и интегрирования функций комплексного переменного, осуществления отображения при помощи функций комплексного переменного, для исследовании функций комплексного переменного, для решения задач теории рядов аналитических функций и теории вычетов. Уметь анализировать постановки задач, подбирать и применять основные методы и приемы теории функций комплексного переменного для решения задач комплексного анализа.
3.3.Иметь навыки и (или) опыт деятельности (владеть):
3.3.1.Владеть навыками самостоятельного практического применения методов комплексного анализа и теории функций комплексного переменного при решении теоретических и прикладных задач математического анализа, уравнений математической физики. Владеть приемами использования математического аппарата теории функций комплексного переменного для решения теоретических и прикладных (классических и современных) задач комплексного анализа.

4. Структура и содержание дисциплины

Код занятия Наименование разделов и тем Вид занятия Семестр Часов Компетенции Литература
Раздел 1. Введение в ТФКП
1.1. Комплексные числа: комплексные числа, комплексная плоскость; модули и аргумент комплексного числа, их свойства. Геометрическая интерпретация. Алгебраическая тригонометрическая, показательная формы комплексного числа. Лекции 5 4 УК-1, ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л1.2, Л1.3, Л2.4
1.2. Комплексные числа, различные формы записи, геометрическая интерпретация. Формула Эйлера. Формула Муавра. Корни из комплексных чисел. Практические 5 6 УК-1, ОПК-1, ПК-2 Л2.1, Л1.2
1.3. Формула Эйлера. Формула Муавра. Следствие из формулы Муавра. Сфера Римана. Стереографическая проекция (формулы). Бесконечно удаленная точка. Расширенная комплексная плоскость. Последовательности комплексных чисел (основные определения; связь с последовательностями действительных чисел). Лекции 5 4 УК-1, ОПК-1, ПК-2 Л1.3
1.4. Функции комплексного переменного; предел функции; непрерывность. Дифференцируемость по комплексному переменному, условие Коши-Рима на (Д’Аламбера- Эйлера; аналитическая функция. Правила дифференцирования. Лекции 5 6 УК-1, ОПК-1, ПК-2 Л1.2, Л1.3
1.5. Комплепксные числа, действия с ними. Стереографическая проекция, свойства. Сфера Римана, расширенная комплек сная плос кость. Бес конечно удаленная точка. Практические 5 4 УК-1, ОПК-1, ПК-2 Л1.3
1.6. Функции комплексного перемен ного и ото бражения множеств. Выделение вещественной и мни мой части. Практические 5 6 УК-1, ОПК-1, ПК-2 Л1.3
1.7. Разбор лекций, решение задач, выполнение домашних заданий, подготовка к контрольной работе. Сам. работа 5 10 УК-1, ОПК-1, ПК-2 Л1.3
Раздел 2. Аналитические функции комплексного переменного.
2.1. Вещественная и мнимая части аналитической функции как сопряженные гармонические функции. Физическая интерпретация. Восстановление аналитической функции по ее вещественной или мнимой части. Лекции 5 4 УК-1, ОПК-1, ПК-2 Л1.2, Л1.3
2.2. Свойства аналитических функ ций.Геометрический смысл аргумента и модуля производной; понятие о конформном отображении. Геометрический и гидродинамический смысл комплексной диффе ренцируемости. Лекции 5 6 УК-1, ОПК-1, ПК-2 Л1.1
2.3. Условия Коши-Римана. Анали тические функции. Восстановление аналитической функции по ее вещественной или мнимой части. Практические 5 6 УК-1, ОПК-1, ПК-2 Л1.1, Л2.2
2.4. Разбор лекций, решение задач, выполнение домашних заданий, подготовка к контрольной работе. Сам. работа 5 10 УК-1, ОПК-1, ПК-2 Л2.2, Л2.3
2.5. Свойства аналитических функций. Геометрический смысл аргумента и модуля производной; понятие о конформном отображении. Геометрический и гидродинамический смысл комплексной дифференцируемости. Лекции 5 4 УК-1, ОПК-1, ПК-2 Л1.3
2.6. Элементарные функции: целая линейная и дробно-линейная функция, их свойства. Элементарные функции: экспо нента и логарифм, степень с произвольным показателем; понятие о римановой поверхности.Элементарные функ ции: триго нометрические и ги перболические функции, их связь. Формула Эйлера. Перенос тождеств. Лекции 5 6 УК-1, ОПК-1, ПК-2 Л1.3
2.7. Вещественная и мнимая части аналитической функции как гармонические функции. Практические 5 6 УК-1, ОПК-1, ПК-2 Л1.1, Л1.2
2.8. Контрольная работа 1 по индивидуальному заданию. Практические 5 6 УК-1, ОПК-1, ПК-2 Л1.2, Л1.3
2.9. Разбор лекций, решение задач, выполнение домашних заданий, подготовка к контрольной работе. Сам. работа 5 20 УК-1, ОПК-1, ПК-2 Л1.3
Раздел 3. Конкретные функции
3.1. Элементарные функции: экспонента и логарифм, степень с произвольным показателем; понятие о римановой поверхности на примерах логарифмической и общей степенной функций; функция Жуковского. Лекции 6 2 УК-1, ОПК-1, ПК-2 Л1.2, Л1.3
3.2. Теорема Коши для односвязной области (три формулировки). Теорема Коши для многосвязной области. Лекции 6 2 УК-1, ОПК-1, ПК-2 Л1.3
3.3. Многозначные функции комплексного переменного. Вычисление интегралов. Практические 6 4 УК-1, ОПК-1, ПК-2 Л1.3
3.4. Интегральная формула Коши. Интегральная формула Коши для вычисления производных высших порядков аналитической функции. Лекции 6 2 УК-1, ОПК-1, ПК-2 Л1.3
3.5. Элементарные функции комплексного переменного (степенная, показательная, тригонометрические функции, функция Жуковского). Практические 6 4 УК-1, ОПК-1, ПК-2 Л1.3
3.6. Применение теорем Коши и интегральных формул Коши для вычисления интегралов. Практические 6 2 УК-1, ОПК-1, ПК-2 Л1.3
3.7. Основные теоремы теории аналитических функций: Теорема о среднем; принцип максимума моду-ля; лемма Шварца. Теоремы Морера и Лиувилля. Лекции 6 2 УК-1, ОПК-1, ПК-2 Л1.2, Л1.3
3.8. Разбор лекций, решение задач, выполнение домашних заданий, подготовка к контрольной работе. Сам. работа 6 41 УК-1, ОПК-1, ПК-2 Л1.3
Раздел 4. Интегрирование и теорема Коши
4.1. Теория рядов (основные понятия). Аналитические в круговых областях функции. Ряд Тейлора, теорема Тейлора. Нули аналитических функций. Порядок (кратность) нуля. Лекции 6 2 УК-1, ОПК-1, ПК-2 Л1.3
4.2. Интегрирование функций комплексного переменного. Практические 6 2 УК-1, ОПК-1, ПК-2 Л1.1, Л1.3
4.3. Аналитические в кольцевых областях функции. Ряд Лорана, теорема Лорана. Правильная и главная части ряда Лорана. Лекции 6 2 УК-1, ОПК-1, ПК-2 Л1.3
4.4. Особые точки. Классификация изолированных особых точек. Устранимая особая точка (определение, критерий. Лекции 6 2 УК-1, ОПК-1, ПК-2 Л1.3
4.5. Классификация изолированных особых точек. Полюсы и существенно особые точки(определения, критерии). Теорема Сохоцкого. Лекции 6 2 УК-1, ОПК-1, ПК-2 Л1.3
4.6. Вычисление интегралов с помощью теоремы Коши и интегральных формул Коши. Практические 6 4 УК-1, ОПК-1, ПК-2 Л1.3
4.7. Элементы теории вычетов. Вычеты (определение). Вычисление вычетов в особых точках: формулы для вычисления вычетов; вычет в устранимой особой точке; вычет в полюсе порядка n; вычет в полюсе первого порядка; вычет в бесконечности. Основная теорема теории вычетов. Полная теорема теории вычетов. Лекции 6 2 УК-1, ОПК-1, ПК-2 Л2.2, Л1.2, Л1.3
4.8. Контрольная работа 2 по индивидуальному заданию. Практические 6 2 УК-1, ОПК-1, ПК-2 Л2.2, Л1.3
4.9. Разбор лекций, решение задач, выполнение домашних заданий, подготовка к контрольной работе. Сам. работа 6 40 УК-1, ОПК-1, ПК-2 Л2.2, Л1.3

5. Фонд оценочных средств

5.1. Контрольные вопросы и задания
См. Приложение 1
5.2. Темы письменных работ (эссе, рефераты, курсовые работы и др.)
См. Приложение 1
5.3. Фонд оценочных средств
См. Приложение 1
Приложения

6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

6.1. Рекомендуемая литература
6.1.1. Основная литература
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л1.1 Петрушко И.М. Курс высшей математики. Теория функций комплексной переменной: лекции и практикум: учеб. пособие СПб.: Лань, 2010 https://e.lanbook.com/book/526#book_name
Л1.2 Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной: учебное пособие М.: Физматлит, 2010 http://znanium.com/go.php?id=544573
Л1.3 Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного: учебное пособие СПб.: «Лань» // ЭБС "Лань", 2009 https://e.lanbook.com/book/322
6.1.2. Дополнительная литература
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л2.1 Б. М. Владимирский, А. Б. Горстко, Я. М. Ерусалимский Математика. Общий курс: учебник СПб.: Лань, 2008 https://e.lanbook.com/reader/book/634/#5
Л2.2 Геворкян П. С. Высшая математика: книга Физматлит, 2007 г. http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=82346
Л2.3 В. А. Ганов, Р. В. Дегтерева ; АлтГУ Лекции по высшей математике (Ч. 2: Дифференциальное и интегральное исчисления, функции нескольких переменных, функции комплексного переменного, дифференциальные уравнения и теория вероятностей): учеб. пособие: [в 2 ч.] Изд-во АлтГУ, 2014 http://elibrary.asu.ru/handle/asu/768
Л2.4 Пантелеев А.В., Якимова А.С. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах: Учебные пособия Издательство "Лань", 2015 https://e.lanbook.com/book/67463
6.2. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет"
Название Эл. адрес
Э1 электронно-библиотечная система "Университетская библиотека online": www.biblioclub.ru
Э2 электронно-библиотечная система издательства «Лань»: www.e.lanbook.com;
Э3 Сайт библиотеки АлтГУ: www.lib.asu.ru;
Э4 Образовательный курс Комплексный анализ на платформе MOODLE https://portal.edu.asu.ru/course/view.php?id=4335
6.3. Перечень программного обеспечения
Не предусмотрено
6.4. Перечень информационных справочных систем
Электронная база данных "Scopus": http://www.scopus.com;
Электронно-библиотечная система Алтайского государственного университета: http://elibrary.asu.ru;
Научная электронная библиотека elibrary: http://elibrary.ru;
Электронно-библиотечная система издательства «Лань»: www.e.lanbook.com;
Электронно-библиотечная система «Университетская библиотека online»: www.biblioclub.ru;
Свободная энциклопедия «Википедия»: http://ru.wikipedia.org
Единый образовательный портал http://portal.edu.asu.ru/course/index.php?categoryid=96

7. Материально-техническое обеспечение дисциплины

Аудитория Назначение Оборудование
Помещение для самостоятельной работы помещение для самостоятельной работы обучающихся Компьютеры, ноутбуки с подключением к информационно-телекоммуникационной сети «Интернет», доступом в электронную информационно-образовательную среду АлтГУ
Учебная аудитория для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), проведения практик Стандартное оборудование (учебная мебель для обучающихся, рабочее место преподавателя, доска)

8. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

1. Для успешного освоения содержания дисциплины необходимо посещать лекции, принимать активное участие в работе на практическом занятии, а также выполнять задания, предлагаемые преподавателем для самостоятельного изучения.
2. Лекция.
-На лекцию приходите не опаздывая, так как это неэтично.
- На лекционных занятиях необходимо конспектировать изучаемый материал.
- Для систематизации лекционного материала, который будет полезен при подготовке к итоговому контролю знаний, записывайте на каждой лекции тему, вопросы для изучения, рекомендуемую литературу.
- В каждом вопросе выделяйте главное, обязательно запишите ключевые моменты (определение, факты, законы, правила и т.д.), подчеркните их.
- Если по содержанию материала возникают вопросы, не нужно выкрикивать, запишите их и задайте по окончании лекции или на семинарском занятии.
- Перед следующей лекцией обязательно прочитайте предыдущую, чтобы актуализировать знания и осознанно приступить к освоению нового содержания.
3.Практическое занятие – это форма работы, где студенты максимально активно участвуют в обсуждении темы.
- Для подготовки к практическому занятию необходимо взять план занятия (у преподавателя).
- Самостоятельную подготовку к занятию необходимо начинать с изучения понятийного аппарата темы. Рекомендуем использовать справочную литературу, учебники.
- Важно запомнить, что любой источник должен нести достоверную информацию, особенно это относится к Internet-ресурсам. При использовании Internet - ресурсов в процессе подготовки не нужно их автоматически «скачивать», они должны быть проанализированы. Не нужно «скачивать» готовые рефераты, так как их однообразие преподаватель сразу выявляет, кроме того, они могут быть сомнительного качества.
- В процессе изучения темы анализируйте несколько источников. Используйте научные специальные журналы.
- Полезным будет работа с электронными учебниками и учебными пособиями в Internet-библиотеках. Зарегистрируйтесь в них: университетская библиотека Онлайн (http://www.biblioclub.ru/) и электронно-библиотечная система «Лань» (http://e.lanbook.com/).
- При возникновении трудностей в процессе подготовки взаимодействуйте с преподавателем, консультируйтесь по самостоятельному изучению темы.
4. Самостоятельная работа.
- При изучении дисциплины не все вопросы рассматриваются на лекциях и практических занятиях, часть вопросов рекомендуется преподавателем для самостоятельного изучения.
- Поиск ответов на вопросы и выполнение заданий для самостоятельной работы позволит вам расширить и углубить свои знания по курсу, применить теоретические знания в решении задач практического содержания, закрепить изученное ранее.
- Эти задания следует выполнять не «наскоком», а постепенно, планомерно, следуя порядку изучения тем курса.
- При возникновении вопросов обратитесь к преподавателю в день консультаций на кафедру.
- Выполнив их, проанализируйте качество их выполнения. Это поможет вам развивать умения самоконтроля и оценочные компетенции.
5. Итоговый контроль.
- Для подготовки к зачету/экзамену возьмите перечень примерных вопросов у преподавателя.
- В списке вопросов выделите те, которые были рассмотрены на лекции, практических занятиях. Обратитесь к своим записям, выделите существенное. Для более детального изучения изучите рекомендуемую литературу.
- Если в списке вопросов есть те, которые не рассматривались на лекции, на практическом занятии, изучите их самостоятельно. Если есть сомнения, задайте вопросы на консультации перед экзаменом.
- Продумайте свой ответ на экзамене, его логику. Помните, что ваш ответ украсит ссылка на источник литературы, иллюстрация практики применения теоретического знания, а также уверенность и наличие авторской аргументированной позиции как будущего субъекта профессиональной деятельности.