МИНОБРНАУКИ РОССИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Алтайский государственный университет»

Уравнения математической физики
рабочая программа дисциплины

Закреплена за кафедройКафедра дифференциальных уравнений
Направление подготовки01.03.02. Прикладная математика и информатика
ПрофильМатематическое моделирование и информационные технологии. ФГОС 3++
Форма обученияОчная
Общая трудоемкость7 ЗЕТ
Учебный план01_03_02_ПМиИ-1-2020
Часов по учебному плану 252
в том числе:
аудиторные занятия 136
самостоятельная работа 89
контроль 27
Виды контроля по семестрам
экзамены: 6
зачеты: 5

Распределение часов по семестрам

Курс (семестр) 3 (5) 3 (6) Итого
Недель 18,5 19
Вид занятий УПРПДУПРПДУПРПД
Лекции 34 34 34 34 68 68
Практические 34 34 34 34 68 68
Сам. работа 40 40 49 49 89 89
Часы на контроль 0 0 27 27 27 27
Итого 108 108 144 144 252 252

Программу составил(и):
д.ф.-м.н, профессор, Петрова Анна Георгиевна

Рецензент(ы):
д.ф.-м.н, профессор, Родионов Евгений Дмитриевич

Рабочая программа дисциплины
Уравнения математической физики

разработана в соответствии с ФГОС:
Федеральный государственный образовательный стандарт высшего образования по направлению подготовки 01.03.02 Прикладная математика и информатика (уровень бакалавриата) (приказ Минобрнауки России от 10.01.2018г. №9)

составлена на основании учебного плана:
01.03.02 Прикладная математика и информатика
утвержденного учёным советом вуза от 30.06.2020 протокол № 6.

Рабочая программа одобрена на заседании кафедры
Кафедра дифференциальных уравнений

Протокол от 10.06.2019 г. № 11
Срок действия программы: 2019-2020 уч. г.

Заведующий кафедрой
д.ф.-м.н. Папин А.А., зав. каф. дифференциальных уравнений

Визирование РПД для исполнения в очередном учебном году

Рабочая программа пересмотрена, обсуждена и одобрена для
исполнения в 2020-2021 учебном году на заседании кафедры

Кафедра дифференциальных уравнений

Протокол от 10.06.2019 г. № 11
Заведующий кафедрой д.ф.-м.н. Папин А.А., зав. каф. дифференциальных уравнений

1. Цели освоения дисциплины

1.1.Ознакомление студента с основными формулировками и методами решения математических задач для различных уравнений с частными производными и выработка соответствующих практических навыков.

2. Место дисциплины в структуре ООП

Цикл (раздел) ООП: Б1.В.01

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

УК-1: Способен осуществлять поиск, критический анализ и синтез информации, применять системный подход для решения поставленных задач
ОПК-1: Способен применять фундаментальные знания, полученные в области математических и (или) естественных наук, и использовать их в профессиональной деятельности
ПК-2: способность применять математические методы и математическое моделирование, информационные и имитационные модели по тематике выполняемых научно-исследовательских прикладных задач или опытно-конструкторских работ в сфере профессиональной деятельности
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
3.1.Знать:
3.1.1.Классификацию уравнений в частных производных, основные начально-краевые задачи для уравнений математической физики, понятие обощенных решений, основные методы исследованиянелинейных задач
3.2.Уметь:
3.2.1.уметь классифицировать уравнения и решать основные начальные и краевые задачи. .
3.3.Иметь навыки и (или) опыт деятельности (владеть):
3.3.1.Использования основных методов теории уравнений математической физики

4. Структура и содержание дисциплины

Код занятия Наименование разделов и тем Вид занятия Семестр Часов Компетенции Литература
Раздел 1. Основные уравнения математической физики
1.1. Вывод уравнений колебания струны, теплопроводности, Лапласа; постановка краевых задач, их физическая интерпретация. Лекции 5 2 УК-1, ОПК-1 Л1.2, Л2.1, Л1.3
1.2. Теорема Коши-Ковалевской; понятие характеристического направления, характеристики. Лекции 5 2 ОПК-1 Л1.2, Л2.1, Л1.3
1.3. Постановка краевых задач для уравнений колебания струны, теплопроводности, Лапласа, их физическая интерпретация. Практические 5 2 ОПК-1 Л1.1, Л1.2, Л2.1, Л1.3
1.4. Понятие характеристического направления, характеристики. Решение уравнений 1-го порядка Практические 5 2 ОПК-1 Л1.1, Л1.2, Л2.1, Л1.3
1.5. Приведение к каноническому виду и классификация линейных уравнений с частными производными второго порядка Лекции 5 2 ОПК-1 Л1.2, Л2.1, Л1.3
1.6. Приведение к каноническому виду и классификация линейных уравнений с частными производными второго порядка Практические 5 2 ОПК-1 Л1.1, Л1.2, Л2.1, Л1.3
1.7. Разбор лекций, решение задач, выполнение домашних заданий, подготовка к контрольной работе Сам. работа 5 6 ОПК-1 Л1.2, Л2.1, Л1.3
Раздел 2. Задачи с начальными и краевыми условиями для уравнения теплопроводности
2.1. Уравнение теплопроводности; принцип максимума в ограниченной области, единственность решения начально-краевых задач. Лекции 5 2 ОПК-1 Л1.2, Л2.1, Л1.3
2.2. Уравнение теплопроводности; принцип максимума в ограниченной области, единственность решения начально-краевых задач. Практические 5 2 ОПК-1 Л1.1, Л1.2, Л2.1, Л1.3
2.3. Понятие корректной краевой задачи; примеры корректных и некорректных краевых задач; теоремы сравнения и устойчивости. Лекции 5 2 ОПК-1 Л1.2, Л2.1, Л1.3
2.4. Построение решений начально-краевых задач методом разделения переменных. Лекции 5 2 ОПК-1 Л1.2, Л2.1
2.5. Задачи на построение решений начально-краевых задач методом разделения переменных. Практические 5 4 ОПК-1 Л1.1, Л1.2, Л2.1
2.6. Доказательство существования классического решения первой начально-краевой задачи для однородного уравнения на отрезке Лекции 5 2 УК-1, ОПК-1 Л1.2, Л2.1, Л1.3
2.7. Задача Коши для уравнения теплопроводности, единственность ее решения. Построение решения задачи Коши; интеграл Пуассона Лекции 5 2 ОПК-1 Л1.2, Л2.1, Л1.3
2.8. Построение решения задачи Коши; интеграл Пуассона Практические 5 2 ОПК-1 Л1.1, Л1.2, Л2.1
2.9. Контрольная работа Практические 5 2 ОПК-1 Л1.1, Л1.2, Л2.1, Л1.3
2.10. Разбор лекций, решение задач, выполнение домашних заданий, подготовка к контрольной работе, зачету Сам. работа 5 6 ОПК-1 Л1.1, Л1.2, Л2.1, Л1.3
Раздел 3. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона
3.1. Краевые задачи для уравнения Лапласа. Фундаментальные решения уравнения Лапласа. Пример Адамара. Лекции 5 2 УК-1, ОПК-1 Л1.2, Л1.3
3.2. Краевые задачи для уравнения Лапласа. Фундаментальные решения уравнения Лапласа. Практические 5 2 ОПК-1 Л1.2, Л1.3
3.3. Формулы Грина в ограниченной области. Основные свойства гармонических функций. Лекции 5 2 ОПК-1 Л1.2, Л1.3
3.4. Формулы Грина в ограниченной области. Основные свойства гармонических функций. Практические 5 2 ОПК-1 Л1.1, Л1.2, Л2.1
3.5. Задачи на единственность классических решений внутренних краевых задач для уравнения Лапласа Практические 5 2 ОПК-1 Л1.1, Л1.2, Л1.3
3.6. Внешние краевые задачи для уравнения Лапласа; единственность решения внешней задачи Дирихле Лекции 5 2 ОПК-1 Л1.1, Л1.2, Л1.3
3.7. Решение краевых задач методом разделения переменных. Практические 5 2 ОПК-1 Л1.1, Л1.2, Л1.3
3.8. Единственность классических решений внутренних краевых задач для уравнения Лапласа Лекции 5 2 ОПК-1 Л1.2, Л1.3
3.9. Разбор лекций, решение задач, выполнение домашних заданий, подготовка к контрольной работе Сам. работа 5 6 ОПК-1 Л1.1, Л1.2, Л2.1, Л1.3
Раздел 4. Задачи для волнового уравнения
4.1. Задача Коши для уравнения колебаний бесконечной струны. Формула Даламбера. Корректность задачи Коши Лекции 5 2 ОПК-1 Л1.2, Л2.1, Л1.3
4.2. Задача Коши для уравнения колебаний бесконечной струны. Формула Даламбера. Практические 5 2 ОПК-1 Л1.1, Л1.2, Л2.1
4.3. Начально-краевые задачи на луче. Построение их решений методом продолжений. Распространение влияния краевого режима. Лекции 5 2 ОПК-1 Л1.2, Л2.1, Л1.3
4.4. Построение решений начально-краевых задач на луче методом продолжений. Распространение влияния краевого режима. Практические 5 2 ОПК-1 Л1.1, Л1.2, Л2.1, Л1.3
4.5. Задачи Коши для волнового уравнения на плоскости и в пространстве.Формулы Кирхгофа и Пуассона; исследование этих формул. Лекции 5 2 ОПК-1 Л1.2, Л2.1, Л1.3
4.6. Начально-краевые задачи в ограниченной области. Построение формальных решений методом Фурье. Задача о резонансе Лекции 5 2 ОПК-1 Л1.2, Л2.1, Л1.3
4.7. Построение формальных решений начально-краевых задач в ограниченной области методом Фурье. Практические 5 4 ОПК-1 Л1.1, Л1.2, Л1.3
4.8. Энергетические неравенства и единственность решений задачи Коши и смешанной задачи Лекции 5 2 ОПК-1 Л1.2, Л2.1, Л1.3
4.9. Контрольная работа Практические 5 2 ОПК-1 Л1.1, Л1.2, Л2.1, Л1.3
4.10. Разбор лекций, решение задач, выполнение домашних заданий, подготовка к контрольной работе, зачету Сам. работа 5 6 ОПК-1 Л1.1, Л1.2, Л2.1, Л1.3
4.11. Подготовка к зачету Сам. работа 5 16 ОПК-1 Л1.1, Л1.2, Л2.1, Л1.3
Раздел 5. Обобщенные решения краевых задач
5.1. Соболевские пространства, теоремы вложения Лекции 6 4 ОПК-1 Л1.2, Л2.1
5.2. Соболевские пространства, теоремы вложения Практические 6 2 УК-1
5.3. Интегральные тождества. Обобщенное решение для уравнения теплопроводности,обобщенные решения задач для уравнений гиперболического и эллиптического типов Лекции 6 4 ОПК-1 Л1.2, Л2.1
5.4. Интегральные тождества. Обобщенные решения Практические 6 4 ОПК-1 Л1.2, Л2.1
5.5. Разбор лекций, решение задач, изучение дополнительной литературы Сам. работа 6 12 ОПК-1 Л1.2, Л2.1
Раздел 6. Нелинейные задачи и теоремы о неподвижных точках
6.1. Нелинейные задачи. Примеры некорректности. Лекции 6 4 ОПК-1
6.2. Теоремы о неподвижных точках и существование решений некоторых нелинейных задач. Лекции 6 4 ОПК-1
6.3. Теоремы о неподвижных точках и существование решений некоторых нелинейных задач. Практические 6 0 ОПК-1
6.4. Разбор лекций, решение задач, изучение дополнительной литературы Сам. работа 6 6 ОПК-1
Раздел 7. Теория потенциала
7.1. Функция Грина внутренней задачи Дирихле Лекции 6 2 ОПК-1 Л1.2, Л1.3
7.2. Функция Грина внутренней задачи Дирихле Практические 6 6 ОПК-1 Л1.2, Л1.3
7.3. Поверхностные потенциалы двойного и простого слоя Лекции 6 4 ОПК-1 Л1.2, Л1.3
7.4. Поверхностные потенциалы двойного и простого слоя Практические 6 4 ОПК-1 Л1.2, Л1.3
7.5. Объемный потенциал и логарифмические потенциалы Лекции 6 4 ОПК-1
7.6. Принцип Дирихле. Интеграл Дирихле Лекции 6 2 ОПК-1 Л1.2, Л2.1, Л1.3
7.7. Принцип Дирихле. Интеграл Дирихле Практические 6 2 ОПК-1 Л1.2, Л2.1, Л1.3
7.8. Разбор лекций, решение задач, изучение дополнительной литературы Сам. работа 6 16 ОПК-1, ПК-2 Л1.2, Л2.1, Л1.3
Раздел 8. Волновое уравнение в пространстве
8.1. Классическое решение задачи Коши для волнового уравнения в пространстве. Формула Кирхгофа. Лекции 6 2 ОПК-1 Л1.2, Л2.1, Л1.3
8.2. Формула Кирхгофа. Практические 6 4 ОПК-1 Л1.2, Л2.1, Л1.3
8.3. Классическое решение задачи Коши для волнового уравнения на плоскости. Метод спуска. Формула Пуассона Лекции 6 2 ОПК-1 Л1.2, Л1.3
8.4. Метод спуска. Формула Пуассона Практические 6 4 ОПК-1 Л1.2, Л1.3
8.5. Лекции 6
8.6. Метод разделения переменных для волнового уравнения для нескольких пространственных переменных Практические 6 4 ОПК-1 Л1.1, Л1.2, Л1.3
8.7. Задача Коши с данными на кривой без характеристических точек. Задача Гурса. Лекции 6 2 ОПК-1 Л1.1, Л1.2, Л1.3
8.8. Задача Коши с данными на кривой без характеристических точек. Задача Гурса. Практические 6 4 ОПК-1 Л1.1, Л1.2, Л1.3
8.9. Разбор лекций, решение задач, изучение дополнительной литературы Сам. работа 6 15 ОПК-1, ПК-2 Л1.1, Л1.2, Л2.1, Л1.3
8.10. Экзамен 6 27

5. Фонд оценочных средств

5.1. Контрольные вопросы и задания
1. Вывод уравнений колебаний струны, теплопроводности, Лапласа; физическая интерпретация краевых и начально-краевых задач для них.
2. Классификация уравнений второго порядка.
3. Характеристики уравнений второго порядка. Примеры характеристик для уравнений колебаний струны, теплопроводности.
4. Уравнения с частными производными первого порядка.
5. Приведение уравнения гиперболического типа к каноническому виду в случае двух независимых переменных.
6. Канонический вид линейного уравнения второго порядка.
7. Приведение уравнения с постоянными коэффициентами к каноническому виду в случае n переменных.
8. Задача Коши для уравнения с частными производными. Теорема Ковалевской.
9. Уравнение теплопроводности. Постановка для него задачи Коши и начально-краевых задач, их физический смысл.
10. Теорема о максимуме и минимуме для однородного уравнения теплопроводности.
11. Единственность решения первой начально-краевой задачи и задачи Коши для уравнения теплопроводности.
12. Обобщенные функции: определение, -функция, дифференцирование обобщенных функций. Обобщенное решение дифференциального уравнения.
13. Понятие обобщенного решения начально-краевых задач для уравнения теплопроводности. Интегральные тождества.
14. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности.
15. Решение методом Фурье начально-краевых задач для уравнений параболического типа. Обоснование.
16. Постановка краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона. Гармонические функции, примеры. Фундаментальное решение уравнения Лапласа.
17. Гармонические функции. Интегральное представление гармонических функций.
18. Теоремы о среднем для гармонических функций.
19. Теорема о максимуме и минимуме для гармонических функций. Единственность решения внутренней задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
20. Необходимое условие разрешимости и единственность (с точностью до аддитивной постоянной) решения внутренней задачи Неймана.
21. Решение методом Фурье краевых задач для уравнения Лапласа в круге и кольце.
22. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре.
23. Объемный (ньютоновский) потенциал, его существование, непрерывность, гармоничность в области без зарядов. Объемный потенциал, как решение уравнения Пуассона (Лапласа).
24. Поверхностные потенциалы простого и двойного слоя, их гармоничность.
25. Сведение внутренней задачи Дирихле для уравнения Пуассона к интегральному уравнению.
26. Преобразование Кельвина. Связь внешней и внутренней задач Дирихле для уравнения Лапласа.
27. Волновое уравнение. Постановка для него задачи Коши и начально-краевых задач, их физический смысл.
28. Единственность решения первой и второй начально-краевых задач для волнового уравнения. Интеграл энергии.
29. Формула Кирхгоффа (решение задачи Коши для однородного волнового уравнения в трехмерном пространстве).
30. Формула Пуассона (решение задачи Коши для однородного волнового уравнения на плоскости). Формула Даламбера.

Список вопросов для проверки знания основных определений и усвоения основных понятий курса*.
1. Определение характеристик.
2. Типы основных уравнений.
3. Постановка начально-краевых задач для уравнения теплопроводности.
4. Принцип максимума для уравнения теплопроводности.
5. Задача Коши для уравнения теплопроводности.
6. Краевые задачи для уравнения Лапласа.
7. Необходимое условие разрешимости внутренней задачи Неймана.
8. Свойства гармонических функций, регулярность гармонических функций на бесконечности.
9. Задача Коши для уравнения колебаний бесконечной струны. Формула Даламбера.
10. Начально-краевая задача для волнового уравнения.
5.2. Темы письменных работ (эссе, рефераты, курсовые работы и др.)
Контрольная работа 1.Приведение уравнения с двумя переменными к каноническому виду и решение задачи Коши для уравнений гиперболического типа.Математическая постановка задач распространения тепла. Решение начально-краевых задач для уравнения теплопроводности методом Фурье. Построение решений задачи Коши для уравнения теплопроводности.
Контрольная работа 2. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона. Решение методом Фурье краевых задач для уравнения Лапласа в круге и кольце. Задачи для волнового уравнения.
Контрольная работа 3. Обощенные решения,нелинейные задачи. теория потенциала, волновое уравнение нескольких пространственных уравнений.
Контрольная работа 4. Теория потенциала, волновое уравнение нескольких пространственных уравнений.
5.3. Фонд оценочных средств
представлен в приложении
Приложения
Приложение 1.   фосумф01_03_02_ПМиИ-1-2018.plx.doc

6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

6.1. Рекомендуемая литература
6.1.1. Основная литература
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л1.1 Лаврентьев Г.В., Кравченко Г.В. Рабочая тетрадь по курсу "Уравнения математической физики": [учеб. пособие] Барнаул: Изд-во АлтГУ, 2008
Л1.2 Е. В. Захаpов, И. В. Дмитриева, С. И. Орлик Уравнения математической физики: учеб. для вузов М.: Академия, 2010
Л1.3 Тихонов А.Р., Самарский А.А. Уравнения математической физики: учебник МГУ, 2004
6.1.2. Дополнительная литература
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л2.1 Ильин А.М. Уравнения математической физики: основная М., 2009 http://znanium.com/catalog/product/544745
6.2. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет"
Название Эл. адрес
Э1 Мультимедийная обучающая программа по курсу «Уравнения математической физики» - http://ic-site2.asu.ru/~kravchenko
Э2 Образовательный курс Уравнения математической физики на платформе MOODLE https://portal.edu.asu.ru/course/view.php?id=4476
Э3 Образовательный курс Уравнения математической физики на платформе MOODLE https://portal.edu.asu.ru/course/view.php?id=5154
6.3. Перечень программного обеспечения

Microsoft Windows
Microsoft Office
7-Zip
AcrobatReader
6.4. Перечень информационных справочных систем

7. Материально-техническое обеспечение дисциплины

Аудитория Назначение Оборудование
Учебная аудитория для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), проведения практик Стандартное оборудование (учебная мебель для обучающихся, рабочее место преподавателя, доска)
Учебная аудитория для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), проведения практик Стандартное оборудование (учебная мебель для обучающихся, рабочее место преподавателя, доска)

8. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

1. Для успешного освоения содержания дисциплины необходимо посещать лекции, принимать активное участие в работе на семинаре, практическом занятии, а также выполнять задания, предлагаемые преподавателем для самостоятельного изучения.
2. Для систематизации лекционного материала, который будет полезен при подготовке к итоговому контролю знаний, записывайте на каждой лекции тему, вопросы для изучения, рекомендуемую литературу. - В каждом вопросе выделяйте главное, обязательно запишите ключевые моменты (определение, факты, законы, правила и т.д.), подчеркните их. Перед следующей лекцией обязательно прочитайте предыдущую, чтобы актуализировать знания и осознанно приступить к освоению нового содержания.
3.Семинарское (практическое) занятие – это форма работы, где студенты максимально активно участвуют в обсуждении темы. - Для подготовки к семинару необходимо взять план семинарского занятия (у преподавателя, на кафедре или в методическом кабинете). - Самостоятельную подготовку к семинарскому занятию необходимо начинать с изучения понятийного аппарата темы. Рекомендуем использовать справочную литературу (словари, справочники, энциклопедии), целесообразно создать и вести свой словарь терминов. - На семинар выносится обсуждение не одного вопроса, поэтому важно просматривать и изучать все вопросы семинара, но один из вопросов исследовать наиболее глубоко, с использованием дополнительных источников (в том числе тех, которые вы нашли самостоятельно). Не нужно пересказывать лекцию. - Важно запомнить, что любой источник должен нести достоверную информацию, особенно это относится к Internet-ресурсам.- Полезным будет работа с электронными учебниками и учебными пособиями в Internet-библиотеках. Зарегистрируйтесь в них: университетская библиотека Онлайн (http://www.biblioclub.ru/) и электронно-библиотечная система «Лань» (http://e.lanbook.com/).
4. Самостоятельная работа. - При изучении дисциплины не все вопросы рассматриваются на лекциях и семинарских занятиях, часть вопросов рекомендуется преподавателем для самостоятельного изучения. - Поиск ответов на вопросы и выполнение заданий для самостоятельной работы позволит вам расширить и углубить свои знания по курсу, применить теоретические знания в решении задач практического содержания, закрепить изученное ранее. - Эти задания следует выполнять не «наскоком», а постепенно, планомерно, следуя порядку изучения тем курса. - При возникновении вопросов обратитесь к преподавателю в день консультаций на кафедру. - Выполнив их, проанализируйте качество их выполнения. Это поможет вам развивать умения самоконтроля и оценочные компетенции.
5. Итоговый контроль. - Для подготовки к зачету/экзамену воспользуйтесь перечне вопросов, доступный на сайте факультета.В списке вопросов выделите те, которые были рассмотрены на лекции, семинарских занятиях. Обратитесь к своим записям, выделите существенное. Для более детального изучения изучите рекомендуемую литературу.
- Если в списке вопросов есть те, которые не рассматривались на лекции, семинарском занятии, изучите их самостоятельно. Если есть сомнения, задайте вопросы на консультации перед экзаменом. - Продумайте свой ответ на экзамене, его логику. Помните, что ваш ответ украсит ссылка на источник литературы, иллюстрация практики применения теоретического знания, а также уверенность и наличие авторской аргументированной позиции как будущего субъекта профессиональной деятельности.