МИНОБРНАУКИ РОССИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Алтайский государственный университет»

Вычислительная математика
рабочая программа дисциплины

Закреплена за кафедройКафедра вычислительной техники и электроники
Направление подготовки09.03.01. Информатика и вычислительная техника
ПрофильИнформатика и вычислительная техника
Форма обученияОчная
Общая трудоемкость5 ЗЕТ
Учебный план09_03_01_ИиВТ-1-2020
Часов по учебному плану 180
в том числе:
аудиторные занятия 72
самостоятельная работа 81
контроль 27
Виды контроля по семестрам
экзамены: 3

Распределение часов по семестрам

Курс (семестр) 2 (3) Итого
Недель 18
Вид занятий УПРПДУПРПД
Лекции 36 36 36 36
Лабораторные 36 36 36 36
Сам. работа 81 81 81 81
Часы на контроль 27 27 27 27
Итого 180 180 180 180

Программу составил(и):
к.ф.-м.н., доцент, Иордан В.И.

Рецензент(ы):
к.ф.-м.н., доцент, Рудер Д.Д.

Рабочая программа дисциплины
Вычислительная математика

разработана в соответствии с ФГОС:
Федеральный государственный образовательный стандарт высшего образования по направлению подготовки 09.03.01 Информатика и вычислительная техника (уровень бакалавриата) (приказ Минобрнауки России от 19.09.2017г. №929)

составлена на основании учебного плана:
09.03.01 Информатика и вычислительная техника
утвержденного учёным советом вуза от 30.06.2020 протокол № 6.

Рабочая программа одобрена на заседании кафедры
Кафедра вычислительной техники и электроники

Протокол от 08.06.2020 г. № 79/19-20
Срок действия программы: 2020-2021 уч. г.

Заведующий кафедрой
к.ф.-м.н., Пашнев Владимир Валентинович, доц., зав. кафедрой "Вычислительной техники и электроники"

Визирование РПД для исполнения в очередном учебном году

Рабочая программа пересмотрена, обсуждена и одобрена для
исполнения в 2020-2021 учебном году на заседании кафедры

Кафедра вычислительной техники и электроники

Протокол от 08.06.2020 г. № 79/19-20
Заведующий кафедрой к.ф.-м.н., Пашнев Владимир Валентинович, доц., зав. кафедрой "Вычислительной техники и электроники"

1. Цели освоения дисциплины

1.1.Дисциплина «Вычислительная математика» обеспечивает приобретение знаний в соответствии с государственным образовательным стандартом, содействует фундаментализации образования и развитию математического мышления.
Цель изучения дисциплины – формирование у будущих специалистов теоретических знаний и практических навыков по использованию современных персональных компьютеров и программных средств для решения широкого спектра задач в различных областях, а именно: ознакомить студентов с основами теории вычислений и оценками погрешностей численных методов; привить навыки работы с различными математическими пакетами и языками программирования для создания прикладных программ.

Основными задачами изучения дисциплины «Вычислительная математика» являются:
- овладение фундаментальными знаниями по численным методам: целостное пред-ставление о науке и ее роли в развитии вычислительных технологий;
- владеть общими вопросами оценок погрешностей вычислительных методов;
- приобретение практических навыков работы на персональном компьютере с пакетами прикладных программ (MathLab, Mathematika, MathCad).

2. Место дисциплины в структуре ООП

Цикл (раздел) ООП: Б1.В.01.ДВ.02

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

ПК-11: Способен организовать выполнение и проведение научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
3.1.Знать:
3.1.1.- этапы развития вычислительной техники и техники вычислений;
- классификацию и рамки применения численных методов в прикладных вычислительных задачах;
- способы оценивания погрешностей численных методов.
- программные средства и пакеты прикладных программ для вычислительных методов;
- этапы постановки и решения вычислительных задач.

- о принципах и подходах разработки вычислительных задач;
- о новейших программных средствах и вычислительных технологиях, используемых в вычислительной математике и ее приложениях.
3.2.Уметь:
3.2.1.- эффективно использовать пакеты прикладных программ (MathLab, Mathematika, MathCad и др.) для решения поставленных задач, возникающих в процессе обучения, а также в будущей профессиональной деятельности;
- корректно осуществлять постановку вычислительной задачи, выбирать эффективный численный метод для ее решения;
- достоверно оценивать погрешности вычислительных методов и погрешности полученных результатов вычислений;
- разрабатывать алгоритмы и прикладные программы в вычислительных задачах, для которых стандартные методы и программы не являются эффективными.

- достоверно оценивать погрешности вычислительных методов и погрешности полученных результатов вычислений;
- разрабатывать алгоритмы и прикладные программы в вычислительных задачах, для которых стандартные методы и программы не являются эффективными.
3.3.Иметь навыки и (или) опыт деятельности (владеть):
3.3.1.- общими навыками постановки и решения конкретных задач по основным разделам вычислительной математики;
- навыками работы с математическими пакетами, применяемых для приближенных вычислений в прикладных задачах;
- умениями применять новейшие программные средства и вычислительные технологии, используемые в вычислительной математике и ее приложениях.

4. Структура и содержание дисциплины

Код занятия Наименование разделов и тем Вид занятия Семестр Часов Компетенции Литература
Раздел 1. Приближение функций многочленами – аппроксимация функций.Математические программные системы.
1.1. Введение. Основные задачи вычислительной математики: погрешности вычислений; устойчивость и сложность алгоритма (по памяти, по времени).Математические программные системы. Многочлены Тейлора. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Линейная интерполяция. Минимизация оценки погрешности интерполяции по Лагранжу. Многочлены Чебышева. Интерполяция по Лагранжу с равноотстоящими узлами. Интерполяционный многочлен Ньютона. Численное дифференцирование. Сплайны. «Дефекты» сплайнов. Теорема о погрешности приближения сплайном. Равномерные приближения функций. Теоремы Чебышева. Метод выравнивания, метод коллокаций (метод «выбранных точек»), метод «средних». Метод наименьших квадратов (МНК). Общая теория. Аппроксимация МНК в различных базисах: базис «алгебраических» многочленов, ортогональные базисы (многочлены Лежандра, «факториальные» многочлены, тригонометрические многочлены и преобразование Фурье). Лекции 3 8 Л2.1, Л1.1, Л1.2, Л1.3
1.2. Лабораторная работа № 1 «Интерполяция данных с помощью многочленов Лагранжа и Ньютона» Лабораторная работа № 2 «Интерполяция данных с помощью кубических сплайнов» Лабораторная работа № 3 «Аппроксимация эмпирических зависимостей по методу наименьших квадратов (МНК)» Лабораторные 3 8 Л1.1
1.3. Исследование ошибок «среднеквадратичных приближений». Сглаживание и фильтрация наблюдений. Сам. работа 3 11 Л2.1, Л1.1
Раздел 2. Численное интегрирование
2.1. Квадратурные формулы прямоугольника, трапеций, Симпсона (парабол), Гаусса. Правило Рунге практической оценки погрешности, уточнение решения по Ричардсону, применение этих правил к квадратурным формулам. Метод Монте-Карло. Вычисление интегралов с помощью метода Монте-Карло. Сравнение метода Монте-Карло с методом квадратурных формул. Методы Эйлера, Рунге-Кутта и Адамса для решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Сравнение этих методов. Лекции 3 4 Л2.1, Л1.1, Л1.2, Л1.3
2.2. Лабораторная работа № 4 «Численное интегрирование с помощью квадратурных формул: прямоугольника, трапеций, Симпсона, Гаусса» Лабораторная работа № 5 «Методы Эйлера, Рунге-Кутта и Адамса для решения обыкновенных дифференциальных уравнений Лабораторные 3 6 Л2.1, Л1.1
2.3. Методы Монте-Карло для решения дифференциальных уравнений. Явные и неявные сеточные схемы для численного решения уравнений в частных производных Сам. работа 3 20 Л1.1
Раздел 3. Численное решение уравнений в частных производных (УЧП)
3.1. Классификация УЧП. Условие устойчивости «явной» схемы интегрирования 1-го порядка для уравнения диффузии. Неустойчивость «явной» схемы интегрирования 1-го порядка для уравнения переноса. Схема Лакса с «пространственным усреднением» с устойчивостью по Куранту-Фридрихсу-Леви (КФЛ) для уравнения переноса. Консервативные методы для гиперболических уравнений: схема Лакса и условие устойчивости Неймана, схема с «перешагиванием» с КФЛ-устойчивостью, двухшаговая схема Лакса-Вендроффа с устойчивость Неймана, схема квазивторого порядка точности. Обзор методов параболических уравнений: явная схема 1-го порядка точности, неявный метод Кранка-Никольсона, метод Дюфора-Франкеля. Лекции 3 8 Л2.1, Л1.1, Л1.2
3.2. Лабораторная работа № 6 «Схемы Лакса для решения гиперболических уравнений» Лабораторная работа № 7 «Явная схема 1-го порядка точности, неявный метод Кранка-Никольсона и метод Дюфора-Франкеля для решения параболических уравнений» Лабораторные 3 8 Л2.1, Л1.2, Л1.3
3.3. Дисперсия и диффузия на разностной сетке для гиперболических уравнений. Многомерные явные методы как обобщение консервативных методов. Сам. работа 3 26 Л1.2
Раздел 4. Численные методы линейной алгебры
4.1. Методы решения системы линейных алгебраических уравнений: Метод Крамера, метод Гаусса, метод простых итераций и метод Зейделя, метод «прогонки» для трехдиагональных матриц. Частичные проблемы собственных значений: нахождение наибольшего собственного значения, определение собственных векторов методом «обратной итерации». Метод Гивенса для приведения матрицы общего вида к почти треугольной матрице (матрице в форме Хессенберга), в том числе для приведения симметричной матрицы к симметричной трехдиагональной матрице. Метод Якоби для нахождения собственных чисел и собственных векторов матриц общего вида. Лекции 3 8 Л2.1, Л1.1, Л1.2
4.2. Лабораторная работа № 8 «Методы Гаусса, метод простых итераций и метод Зейделя и прогонки для решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)» Лабораторная работа № 9 «Метод нахождения наибольшего собственного значения и метод «обратной итерации» для определения собственных векторов» Лабораторная работа № 10 «Метод Якоби для нахождения собственных чисел и собственных векторов симметричных матриц» Лабораторные 3 6 Л2.1, Л1.1
4.3. Метод Хаусхолдера для приведения матрицы общего вида к почти треугольной матрице (матрице в форме Хессенберга). QR-методы для решения задачи на собственные значения. Сам. работа 3 16 Л1.2
Раздел 5. Методы решения нелинейных уравнений и систем
5.1. Метод итераций и условие Липшица. Метод «бисекций» (метод «дихотомии» - метод деления отрезка пополам). Метод секущих (метод хорд). Условие и скорость сходимости. Метод «золотое сечение». Метод Ньютона (метод касательных). Условие и скорость сходимости. Метод Ньютона для решения системы уравнений. Метод наискорейшего (градиентного) спуска. Лекции 3 8 Л1.1, Л1.2
5.2. Лабораторная работа № 11 «Метод итераций, метод «золотого сечения» и метод деления отрезка пополам для решения нелинейных уравнений» Лабораторная работа № 12 «Метод секущих (метод хорд) и метод Ньютона (метод касательных) для решения нелинейных уравнений» Лабораторная работа № 13 «Метод наискорейшего (градиентного) спуска для решения системы нелинейных уравнений» Лабораторные 3 8 Л1.1, Л1.2
5.3. Градиентные методы. Сам. работа 3 8 Л2.1, Л1.2
Раздел 6. Аттестация
6.1. Экзамен 3 27 Л2.1, Л1.1, Л1.2, Л1.3

5. Фонд оценочных средств

5.1. Контрольные вопросы и задания
1. Многочлены Тейлора.
2. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Линейная интерполяция.
3. Минимизация оценки погрешности интерполяции по Лагранжу. Многочлены Чебы-шева.
4. Интерполяция по Лагранжу с равноотстоящими узлами.
5. Интерполяционный многочлен Ньютона и разделенные разности.
6. Численное дифференцирование.
7. Сплайны. «Дефекты» сплайнов. Теорема о погрешности приближения сплайном.
8. Равномерные приближения функций. Теоремы Чебышева.
9. Метод выравнивания, метод коллокаций (метод «выбранных точек»), метод «сред-них».
10. Метод наименьших квадратов (МНК). Общая теория.
11. Аппроксимация МНК в различных базисах: базис «алгебраических» многочленов, ортогональные базисы (многочлены Лежандра, «факториальные» многочлены, три-гонометрические многочлены).
12. Исследование ошибок «среднеквадратичных приближений».
13. Сглаживание данных (фильтрация).
14. Квадратурные формулы прямоугольника, трапеций, Симпсона (парабол), Гаусса.
15. Правило Рунге практической оценки погрешности, уточнение решения по Ричардсону, применение этих правил к квадратурным формулам.
16. Метод Монте-Карло. Вычисление интегралов с помощью метода Монте-Карло. Сравнение метода Монте-Карло с методом квадратурных формул.
17. Методы Эйлера, Рунге-Кутта и Адамса для решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Сравнение этих методов.
18. Происхождение и некоторые свойства уравнений математической физики. Законы сохранения для сплошных сред: закон сохранения энергии (уравнение диффузии), закон сохранения заряда (уравнения Максвелла), закон сохранения магнитного потока (закон – уравнение Фарадея).
19. Физические процессы и дисперсионные соотношения. Волны и волновое уравнение. Уравнение переноса. Эллиптическое уравнение (уравнения Лапласа и Пуассона). Классификация УЧП.
20. Устойчивость разностных схем для УЧП.
21. Условие устойчивости для «явной» схемы интегрирования 1-го порядка для уравнения диффузии.
22. Неустойчивость «явной» схемы интегрирования 1-го порядка для уравнения переноса. Схема Лакса с «пространственным усреднением» с устойчивостью по Куранту-Фридрихсу-Леви (КФЛ) для уравнения переноса.
23. Дисперсия и диффузия на разностной сетке для гиперболических уравнений. Кон-сервативные методы для гиперболических уравнений: схема Лакса и условие устойчивости Неймана, схема с «перешагиванием» с КФЛ-устойчивостью.
24. Консервативные методы для гиперболических уравнений: двухшаговая схема Лакса-Вендроффа с устойчивостью Неймана, схема квазивторого порядка точности.
25. Консервативные методы для гиперболических уравнений: многомерные явные методы как обобщение консервативных методов.
26. Обзор методов параболических уравнений: явная схема 1-го порядка точности, неявный метод Кранка-Никольсона, метод Дюфора-Франкеля.
27. Методы Крамера и Гаусса для решения системы линейных алгебраических уравнений.
28. Метод простых итераций и метод Зейделя для решения системы линейных алгебра-ических уравнений.
29. Метод «прогонки» для трехдиагональных матриц.
30. Частичные проблемы собственных значений: нахождение наибольшего собственно-го значения, определение собственных векторов методом «обратной итерации».
31. Метод Гивенса для приведения матрицы общего вида к почти треугольной матрице (матрице в форме Хессенберга), в том числе для приведения симметричной матрицы к симметричной трехдиагональной матрице.
32. Метод Хаусхолдера для приведения матрицы общего вида к почти треугольной мат-рице (матрице в форме Хессенберга), в том числе для приведения симметричной матрицы к симметричной трехдиагональной матрице.
33. Метод Якоби для нахождения собственных чисел и собственных векторов матриц общего вида.
34. Метод итераций и условие Липшица.
35. Метод «бисекций» (метод «дихотомии» - метод деления отрезка пополам).
36. Метод секущих (метод хорд). Условие и скорость сходимости.
37. Метод «золотое сечение».
38. Метод Ньютона (метод касательных). Условие и скорость сходимости.
39. Метод Ньютона для решения системы уравнений.
40. Метод наискорейшего (градиентного) спуска.
5.2. Темы письменных работ (эссе, рефераты, курсовые работы и др.)
1. Исследование ошибок «среднеквадратичных приближений».
2. Сглаживание наблюдений.
3. Методы Монте-Карло для решения дифференциальных уравнений.
4. Метод Хаусхолдера для приведения матрицы общего вида к почти треугольной матрице (матрице в форме Хессенберга).
5. QR-методы для решения задачи на собственные значения.
5.3. Фонд оценочных средств
в Приложении ФОС
Приложения

6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

6.1. Рекомендуемая литература
6.1.1. Основная литература
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л1.1 Волков Е. А. Численные методы: учеб. пособие СПб.: Лань, 2008
Л1.2 Самарский А.А. Введение в численные методы: учеб. пособие для вузов СПб.: Лань, 2009
Л1.3 Жидков Е.Н. Вычислительная математика: учеб. пособие для вузов М.: Академия, 2010
6.1.2. Дополнительная литература
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л2.1 Кузиков С.С., Хворова Л.А. Введение в численные методы: учеб. пособие Барнаул: Изд-во АлтГУ, 2008
6.2. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет"
Название Эл. адрес
Э1 e.lanbook.com/books/
Э2 www.gpntb.ru/ Государственная публичная научно-техническая библиотека.
Э3 www.nlr.ru/ Российская национальная библиотека.
Э4 www.nns.ru/ Национальная электронная библиотека.
Э5 www.rsl.ru/ Российская государственная библиотека.
Э6 www.microinform.ru/ Учебный центр компьютерных технологий «Микроинформ».
Э7 www.tests.specialist.ru/ Центр компьютерного обучения МГТУ им. Н.Э.Баумана.
Э8 www.intuit.ru/ Образовательный сайт
Э9 www.window.edu.ru/ Библиотека учебной и методической литературы
Э10 www.osp.ru/ Журнал «Открытые системы»
Э11 www.ihtika.lib.ru/ Библиотека учебной и методической литературы
Э12 Курс в Мудле https://portal.edu.asu.ru/course/view.php?id=6606
6.3. Перечень программного обеспечения
Для проведения лабораторных занятий необходимо использование компьютерного класса. На компьютерах должны быть установлены программные средства, поддерживающие работу с алгоритмическими языками С/C++, Pascal и т.п.
Условия использования: http://www.openoffice.org/license.html
LibreOffice
Условия использования: https://ru.libreoffice.org/about-us/license/
7-zip
Условия использования: https://www.7-zip.org/license.txt
Visual Studio
Условия использования: https://code.visualstudio.com/license
Python с расширениями PIL, Py OpenGL
Условия использования: https://docs.python.org/3/license.html
FAR
Условия использования: http://www.farmanager.com/license.php?l=ru
Acrobat Reader
Условия использования: http://wwwimages.adobe.com/content/dam/Adobe/en/legal/servicetou/Acrobat_com_Additional_TOU-en_US-20140618_1200.pdf
Mozila FireFox
Условия использования: https://www.mozilla.org/en-US/about/legal/eula/
Chrome
Условия использования: http://www.chromium.org/chromium-os/licenses
Eclipse (PHP,C++, Phortran)
Условия использования: http://www.eclipse.org/legal/eplfaq.php
DjVu reader
Условия использования: http://www.djvu.name/djvu-editor.html
Lazarus
Условия использования: http://wiki.lazarus.freepascal.org/Lazarus_Faq#Licensing
scilab
Условия использования: http://www.scilab.org/content/download/3911/28635/file/Scilab_6.0.0_License.txt
Microsoft Windows
6.4. Перечень информационных справочных систем
Электронная библиотечная система Алтайского государственного университета (http://elibrary.asu.ru/);
Научная электронная библиотека elibrary (http://elibrary.ru)

7. Материально-техническое обеспечение дисциплины

Аудитория Назначение Оборудование
Учебная аудитория для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), проведения практик Стандартное оборудование (учебная мебель для обучающихся, рабочее место преподавателя, доска)
001вК склад экспериментальной мастерской - помещение для хранения и профилактического обслуживания учебного оборудования Акустический прибор 01021; виброизмеритель 00032; вольтметр Q1202 Э-500; вольтметр универсальный В7-34А; камера ВФУ -1; компьютер Турбо 86М; масспектрометр МРС -1; осциллограф ЕО -213- 2 ед.; осциллограф С1-91; осциллограф С7-19; программатор С-815; самописец 02060 – 2 ед.; стабилизатор 3218; терц-октавный фильтр 01023; шкаф вытяжной; шумомер 00026; анализатор АС-817; блок 23 Г-51; блок питания "Статрон" – 2 ед.; блок питания Ф 5075; вакуумный агрегат; весы; вольтметр VM -70; вольтметр В7-15; вольтметр В7-16; вольтметр ВУ-15; генератор Г-5-6А; генератор Г4-76А; генератор Г4-79; генератор Г5-48; датчик колебаний КВ -11/01; датчик колебаний КР -45/01; делитель Ф5093; измеритель ИМП -2; измеритель параметров Л2-12; интерферометр ИТ 51-30; источник "Агат" – 3 ед.; источник питания; источник питания 3222; источник питания ЭСВ -4; лабораторная установка для настройки газовых лазеров; лазер ЛГИ -21; М-кальк-р МК-44; М-калькул-р "Электроника"; магазин сопротивления Р4075; магазин сопротивления Р4077; микроскоп МБС -9; модулятор МДЕ; монохроматор СДМС -97; мост переменного тока Р5066; набор цветных стекол; насос вакумный; насос вакуумный ВН-01; осциллограф С1-31; осциллограф С1-67; осциллограф С1-70; осциллограф С1-81; осциллоскоп ЕО -174В – 2 ед.; пентакта L-100; пирометр "Промень"; пистонфон 05001; преобразователь В9-1; прибор УЗДН -2Т; скамья оптическая СО 1м; спектограф ДФС -452; спектограф ИСП -51; стабилизатор 1202; стабилизатор 3217 – 4 ед.; стабилизатор 3218; стабилизатор 3222 – 3 ед.; станок токарный ТВ-4; усилитель мощности ЛВ -103 – 4 ед.; усилитель У5-9; центрифуга ВЛ-15; частотомер Ч3-54А; шкаф металлический; эл.двигатель; электродинамический калибратор 11032
Помещение для самостоятельной работы помещение для самостоятельной работы обучающихся Компьютеры, ноутбуки с подключением к информационно-телекоммуникационной сети «Интернет», доступом в электронную информационно-образовательную среду АлтГУ
404К лаборатория информационных технологий - компьютерный класс - учебная аудитория для проведения занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических); проведения групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации Учебная мебель на 13 посадочных мест; рабочее место преподавателя; доска маркерная - 1 шт.; компьютеры: марка DEPO модель Neos 260 - 13 единиц

8. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

Для освоения лекционного материала дисциплины в библиотеке университета имеется в наличии достаточное количество учебников по численным методам и вычислительной математике. Кроме того, учебники:
1. Волков Е.А. Численные методы. – М.: Наука, 1982. – 254 с.,
2. Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука; 1978.
в электронном варианте, доступные для студентов, имеются на кафедре ВТиЭ (на компьютере)и у преподавателей, ведущих дисциплину "Вычислительная математика". Задания к лабораторным работам по курсу "Вычислительная математика" содержатся в приложении ФОС, а образцы оформления отчетов по выполненным лабораторным работам (в электронном и бумажном вариантах) имеются на кафедре и у преподавателей, ведущих лабораторные занятия.