МИНОБРНАУКИ РОССИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Алтайский государственный университет»

Теория функций комплексного переменного
рабочая программа дисциплины

Закреплена за кафедройКафедра радиофизики и теоретической физики
Направление подготовки03.03.02. Физика
Форма обученияОчная
Общая трудоемкость4 ЗЕТ
Учебный план03_03_02_Ф-4-2020
Часов по учебному плану 144
в том числе:
аудиторные занятия 36
самостоятельная работа 108
Виды контроля по семестрам
диф. зачеты: 3

Распределение часов по семестрам

Курс (семестр) 2 (3) Итого
Недель 19
Вид занятий УПРПДУПРПД
Лекции 14 14 14 14
Практические 22 22 22 22
Сам. работа 108 108 108 108
Итого 144 144 144 144

Программу составил(и):
к.ф.-м.н., доцент, Гончаров А.И.

Рецензент(ы):
к.ф.-м.н., доцент, Рудер Д.Д.

Рабочая программа дисциплины
Теория функций комплексного переменного

разработана в соответствии с ФГОС:
ФГОС ВО по направлению подготовки 03.03.02 «Физика», утвержденный Министерством образования РФ от «7» марта 2014 г. № 937.

составлена на основании учебного плана:
03.03.02 Физика
утвержденного учёным советом вуза от 30.06.2020 протокол № 6.

Рабочая программа одобрена на заседании кафедры
Кафедра радиофизики и теоретической физики

Протокол от 15.06.2020 г. № 9
Срок действия программы: 2020-2021 уч. г.

Заведующий кафедрой
д.ф.-м.н., профессор Лагутин А.А.

Визирование РПД для исполнения в очередном учебном году

Рабочая программа пересмотрена, обсуждена и одобрена для
исполнения в 2020-2021 учебном году на заседании кафедры

Кафедра радиофизики и теоретической физики

Протокол от 15.06.2020 г. № 9
Заведующий кафедрой д.ф.-м.н., профессор Лагутин А.А.

1. Цели освоения дисциплины

1.1.Данная дисциплина предусмотрена государственным образовательным стандартом. Цель изучения теории функций комплексного переменного (ТФКП) заключается в продолжении фундаментальной математической подготовки студентов и в вооружении их удобным математическим аппаратом для повседневного использования. В ТФКП вводится ряд новых фундаментальных понятий, в частности, поле комплексных чисел, аналитическая функция, изолированные особые точки, точки ветвления. Примерами полезных инструментов ТФКП являются метод контурного интегрирования (и, в частности, метод вычетов), метод интегральных преобразований, метод конформных отображений, методы комплексной динамики. Например, интегральное преобразование Лапласа применяется при решении дифференциальных и интегральных уравнений, в частности, в теории электрических цепей, при расчете линий с распределенными параметрами, в задачах минимизации искажений сигналов. Дискретное преобразование Лапласа и z-преобразование применяются в математической теории импульсных систем. Комплексная динамика применяется в теории фрактального сжатия информации.

2. Место дисциплины в структуре ООП

Цикл (раздел) ООП: Б1.Б

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

ОПК-2: способностью использовать в профессиональной деятельности базовые знания фундаментальных разделов математики, создавать математические модели типовых профессиональных задач и интерпретировать полученные результаты с учетом границ применимости моделей
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
3.1.Знать:
3.1.1.Формы записи комплексного числа; представление числа на комплексной плоскости; действия над комплексными числами; свойства элементарных функций комплексного переменного; определение и свойства аналитических функций; свойства и методы вычисления интегралов по комплексной переменной; интеграл Коши;
понятие аналитического продолжения; правила обращения с многозначными функциями; методы определения типов изолированных особых точек; метод вычисления интегралов с помощью вычетов;
преобразование Фурье, методы вычисления интегралов Фурье; преобразование Лапласа, методы выполнения обратного преобразования; методы обратного преобразования Лапласа в случае многозначного изображения с точками ветвления
3.1.13. Основные понятия теории конформных отображений. Применение конформных отображений при решении краевых задач для уравнения Лапласа на плоскости
3.2.Уметь:
3.2.1.Преобразовать комплексное число из одной формы записи в другие; изобразить на комплексной плоскости множество точек, соответствующее уравнению или неравенству; выполнять действия над комплексными числами; определить область однозначности заданной функции; определить область аналитичности той или иной функции; вычислять интегралы по комплексной переменной с помощью первообразной, с помощью перехода к интегрированию по действительному параметру и путем перехода к криволинейным интегралам; применять теорему Коши и ее следствия при вычислении интегралов; вычислить интеграл по замкнутой линии методом вычетов; свести интеграл от однозначной функции по незамкнутой линии к интегралу по замкнутой линии; применить преобразование Фурье для решения дифференциальных и интегральных уравнений; вычислить интегралы Фурье;
применить преобразование Лапласа для решения дифференциальных и интегральных уравнений; вычислить обратное преобразование Лапласа; найти отображения заданных областей, осуществляемые заданными функциями; найти функцию, осуществляющую отображение одной из заданных областей на другую (для линейных и дробно-линейных функций)
3.3.Иметь навыки и (или) опыт деятельности (владеть):
3.3.1.преобразования комплексных чисел из одной формы в другие; использования формулы Эйлера; изображения точек, линий и областей на комплексной плоскости;
рациональных приемов выполнения действий над комплексными числами; определения области аналитичности функций, применения теоремы Коши и ее следствий при вычислении интегралов; замены переменной при интегрировании; нахождения изолированных особых точек функции, определения их типа, определения порядка полюсов; вычисления интегралов по замкнутой линии методом вычетов; вычисления интегралов Фурье; выполнения обратного преобразования Лапласа в случае однозначных изображений; нахождения отображений, осуществляемых заданными функциями

4. Структура и содержание дисциплины

Код занятия Наименование разделов и тем Вид занятия Семестр Часов Компетенции Литература
Раздел 1. Комплексные числа
1.1. Матричная интерпретация комплексных чисел. Поле комплексных чисел. Сам. работа 3 4 ОПК-2 Л1.1
1.2. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Комплексная плоскость. Основные операции с комплексными числами. Лекции 3 2 ОПК-2 Л2.1, Л1.1, Л2.2, Л1.2
1.3. Формы записи комплексного числа. Комплексная плоскость. Формула Эйлера и ее применения. Практические 3 2 ОПК-2 Л2.1, Л1.1, Л2.2, Л1.2
1.4. Комплексные числа. Формула Эйлера. Сам. работа 3 4 ОПК-2 Л2.1, Л1.1, Л2.2, Л1.2
Раздел 2. Функции и отображения
2.1. Функции и осуществляемые ими отображения. Многозначные функции. Точки ветвления. Поверхности Римана. Экспонента и логарифм. Общая степенная и общая показательная функции. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Лекции 3 2 ОПК-2 Л2.1, Л1.1, Л2.2, Л1.2
2.2. Свойства элементарных функций комплексного переменного. Отображения. Сам. работа 3 10 ОПК-2 Л2.1, Л1.1, Л2.2, Л1.2
2.3. Предел функции. Непрерывные функции. Производная. Условия Коши – Римана. Аналитические функции и их свойства. Геометрический смысл производной. Конформные отображения. Применение конформных отображений при решении задач с граничными условиями для уравнения Лапласа на плоскости. Лекции 3 2 ОПК-2 Л2.1, Л1.1, Л2.2, Л1.2
2.4. Конформные отображения. Практические 3 4 ОПК-2 Л2.1, Л1.1, Л1.2
2.5. Функции и отображения. Сам. работа 3 16 ОПК-2 Л2.1, Л1.1, Л1.2
Раздел 3. Интеграл по комплексной переменной
3.1. Определенный интеграл по комплексной переменной, его свойства. Теоремы Коши для односвязной и многосвязной областей, следствия теорем. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Теорема Мореры. Многозначные функции. Лекции 3 2 ОПК-2 Л2.1, Л1.1, Л2.2, Л1.2
3.2. Вычисление интегралов по комплексной переменной с помощью первообразной, с помощью перехода к интегрированию по действительному параметру и путем перехода к криволинейным интегралам. Применение теоремы Коши при вычислении интегралов. Практические 3 4 ОПК-2 Л2.1, Л1.1, Л2.2, Л1.2
3.3. Интеграл Коши. Производные высших порядков. Гармонические функции. Теорема Лиувилля. Основная теорема алгебры. Лекции 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1, Л2.2, Л1.2
3.4. Интегрирование по комплексной переменной. Сам. работа 3 20 ОПК-2 Л2.1, Л1.1, Л2.2, Л1.2
Раздел 4. Степенные ряды. Аналитическое продолжение
4.1. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора. Теорема единственности. Аналитическое продолжение. Лекции 3 1 ОПК-2 Л2.1, Л1.1, Л2.2, Л1.2
4.2. Степенные ряды. Сам. работа 3 8 ОПК-2 Л2.1, Л1.1, Л2.2, Л1.2
Раздел 5. Метод вычетов. Интегральные преобразования
5.1. Ряд Лорана. Изолированные особые точки. Вычисление интегралов методом вычетов. Преобразование Фурье. Методы вычисления интегралов Фурье. Лемма Жордана. Лекции 3 2 ОПК-2 Л2.1, Л1.1, Л2.2, Л1.2
5.2. Изолированные особые точки. Вычисление интегралов по замкнутому контуру методом вычетов. Практические 3 4 ОПК-2 Л2.1, Л1.1, Л2.2, Л1.2
5.3. Вычисление интегралов Фурье. Сам. работа 3 16 ОПК-2 Л2.1, Л1.1, Л1.2
5.4. Преобразование Лапласа и его применение для решения дифференциальных и интегральных уравнений. Лекции 3 2 ОПК-2 Л2.1, Л1.1, Л2.2, Л1.2
5.5. Обратное преобразование Лапласа. Практические 3 4 ОПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.2
5.6. Решение дифференциальных и интегральных уравнений методом преобразования Лапласа. Практические 3 4 ОПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.2
5.7. Метод вычетов. Интегральные преобразования. Сам. работа 3 30 ОПК-2 Л2.1, Л2.2, Л1.2

5. Фонд оценочных средств

5.1. Контрольные вопросы и задания
Перечень вопросов
1. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Комплексная плоскость.
2. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Возведение комплексного числа в целую степень. Извлечение корня.
3. Экспонента, логарифм. Общая степенная и общая показательная функции.
4. Производная. Условия дифференцируемости функции комплексной переменной. Аналитические функции.
5. Определенный интеграл по комплексной переменной. Замена переменной интегрирования. Переход к интегрированию по действительному параметру.
6. Теорема Коши для односвязной области и ее следствия.
7. Теорема Коши для многосвязной области.
8. Интегральные формулы Коши.
9. Неопределенный интеграл от аналитической функции в односвязной и многосвязной областях. Многозначные функции. Логарифм.
10. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора.
11. Теорема единственности. Аналитическое продолжение.
12. Ряд Лорана.
13. Изолированные особые точки.
14. Вычеты функции в изолированных особых точках. Вычисление интеграла по произвольному замкнутому контуру методом вычетов.
15. Метод вычисления интегралов int_0^2pi R(sin(p)cos(p)) dp.
16. Метод вычисления интегралов int_-inf^inf f(x)exp(iax) dx. Лемма Жордана.
17. Преобразование Фурье. Пример применения для решения интегральных уравнений.
18. Преобразование Лапласа. Использование леммы Жордана при обратном преобразовании Лапласа.
19. Применение преобразования Лапласа для решения дифференциальных уравнений.
20. Многозначные функции. Точки ветвления. Римановы поверхности.
21. Конформные отображения.
22. Применение конформных отображений при решении задач с граничными условиями для уравнения Лапласа на плоскости.
23. Основная теорема алгебры.

Темы задач к зачету
1. Вычисление вычетов в изолированных особых точках.
2. Вычисление интегралов по контуру методом вычетов.
3. Прямое и обратное преобразования Лапласа.
4. Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразований Лапласа.
5. Вычисление интегралов типа int_-inf^inf f(x)exp(iax) dx.

5.2. Темы письменных работ (эссе, рефераты, курсовые работы и др.)
Темы контрольных работ:
Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа. Формула Эйлера.
Аналитические функции. Интеграл по комплексной переменной. Теорема Коши.
Вычисление интегралов методом вычетов. Преобразование Лапласа.
5.3. Фонд оценочных средств
Фонд оценочных средств содержится в приложении

6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

6.1. Рекомендуемая литература
6.1.1. Основная литература
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л1.1 Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного: учебное пособие СПб.: «Лань» // ЭБС "Лань", 2009 https://e.lanbook.com/book/322
Л1.2 Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной: учебник для вузов М.: Физматлит // ЭБС «Университетская библиотека ONLINE», 2010 http://biblioclub.ru/index.php?page=book_view_red&book_id=75710
6.1.2. Дополнительная литература
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л2.1 Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного: учеб. пособие для вузов М.: Наука, 1987
Л2.2 Комаров С.А., Щербинин В.В. Теория функций комплексной переменной: Учебное пособие Изд-во АлтГУ, 2013
6.2. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет"
Название Эл. адрес
Э1 Научно-образовательный сайт Института проблем механики РАН «EqWorld – Мир математических уравнений» http://eqworld.ipmnet.ru/indexr.htm; в частности, на сайте есть физико-математическая библиотека http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library.htm, http://mechmath.ipmnet.ru/ . Литература по ТФКП находится по адресу http://mechmath.ipmnet.ru/lib/?s=complex. В частности, есть учебник М.А. Лаврентьева и Б.В. Шабата (издание 1965 г.).
Э2 Электронно-библиотечная система «Университетская библиотека online», http://www.biblioclub.ru/ Доступ для чтения – из сети университета. В частности, есть учебник А.Г. Свешникова и А.Н. Тихонова (издание 2010 г.) из основного списка литературы; URL: http://www.biblioclub.ru/75710_Teoriya_funktsii_kompleksnoi_peremennoi_Uchebnik.html
Э3 Электронно-библиотечная система издательства «Лань», http://e.lanbook.com. Доступ для чтения – из сети университета. В частности, есть учебник И.И. Привалова (издание 2009 г.).
Э4 Курс в Moodle "Теория функций комплексного переменного" https://portal.edu.asu.ru/course/view.php?id=6492
6.3. Перечень программного обеспечения
Специального программного обеспечения не требуется.
6.4. Перечень информационных справочных систем
Информационных справочных систем не требуется.

7. Материально-техническое обеспечение дисциплины

Аудитория Назначение Оборудование
Учебная аудитория для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), проведения практик Стандартное оборудование (учебная мебель для обучающихся, рабочее место преподавателя, доска)
Учебная аудитория для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), проведения практик Стандартное оборудование (учебная мебель для обучающихся, рабочее место преподавателя, доска)
Помещение для самостоятельной работы помещение для самостоятельной работы обучающихся Компьютеры, ноутбуки с подключением к информационно-телекоммуникационной сети «Интернет», доступом в электронную информационно-образовательную среду АлтГУ

8. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

Указания общего характера
Чтобы учеба не была пустой тратой времени, необходимо добиваться полной ясности по каждому вопросу. Непонятные моменты нужно отмечать и при случае спрашивать у преподавателя.
К практическим занятиям нужно готовиться: просмотреть конспект лекции по теме занятия, решить задачи, если они были заданы.
Так как почти все темы взаимосвязаны, даже одно пропущенное занятие сильно затрудняет изучение дальнейшего материала. Поэтому нужно посещать все занятия, а в случае пропуска разобраться в пропущенном материале до следующего занятия.
При изучении предмета нужно стремиться к тому, чтобы материал складывался в целостную картину, с единым набором понятий, терминов, методов, уравнений, формул, обозначений. Единство предмета нужно учитывать и при подготовке к сдаче зачета: при поиске (например, в Интернете) вопросов по отдельности получается, как правило, бессвязная картина.
Изучая предмет, нужно прочитать, желательно – полностью, хотя бы один учебник.