МИНОБРНАУКИ РОССИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Алтайский государственный университет»

Риманова геометрия с пакетами аналитических вычислений
рабочая программа дисциплины

Закреплена за кафедройКафедра математического анализа
Направление подготовки02.04.01. Математика и компьютерные науки
ПрофильМатематическая кибернетика и прикладной анализ
Форма обученияОчная
Общая трудоемкость4 ЗЕТ
Учебный план02_04_01_МКиПА-1-2020
Часов по учебному плану 144
в том числе:
аудиторные занятия 36
самостоятельная работа 81
контроль 27
Виды контроля по семестрам
экзамены: 4

Распределение часов по семестрам

Курс (семестр) 2 (4) Итого
Недель 11
Вид занятий УПРПДУПРПД
Лекции 18 18 18 18
Практические 18 18 18 18
Сам. работа 81 81 81 81
Часы на контроль 27 27 27 27
Итого 144 144 144 144

Программу составил(и):
к.ф.-м.н., доцент, Хромова О.П.;д.ф.-м.н., профессор, Родионов Е.Д.

Рецензент(ы):
к.ф.-м.н., доцент, Оскорбин Д.Н.

Рабочая программа дисциплины
Риманова геометрия с пакетами аналитических вычислений

разработана в соответствии с ФГОС:
Федеральный государственный образовательный стандарт высшего образования по направлению подготовки 02.04.01 Математика и компьютерные науки (уровень магистратуры) (приказ Минобрнауки России от 23.08.2017г. №810)

составлена на основании учебного плана:
02.04.01 Математика и компьютерные науки
утвержденного учёным советом вуза от 30.06.2020 протокол № 6.

Рабочая программа одобрена на заседании кафедры
Кафедра математического анализа

Протокол от 02.07.2020 г. № 9
Срок действия программы: 2020-2021 уч. г.

Заведующий кафедрой
Саженков А.Н., к.ф.-м.н., доцент

Визирование РПД для исполнения в очередном учебном году

Рабочая программа пересмотрена, обсуждена и одобрена для
исполнения в 2020-2021 учебном году на заседании кафедры

Кафедра математического анализа

Протокол от 02.07.2020 г. № 9
Заведующий кафедрой Саженков А.Н., к.ф.-м.н., доцент

1. Цели освоения дисциплины

1.1.Целью дисциплины является развитие у будущего преподавателя широкого взгляда на геометрию и вооружение его конкретными знаниями, дающими ему возможность преподавать геометрию в школе и вузе и квалифицированно вести факультативные курсы с позиций современной геометрии.
Дисциплина ориентирует на учебно-воспитательный вид профессиональной деятельности, ее изучение способствует решению следующих типовых задач профессиональной деятельности:
- осуществление процесса обучения геометрии в соответствии с образовательной программой;
- планирование и проведение учебных занятий по геометрии с учетом специфики тем и разделов программы и в соответствии с учебным планом;
- использование современных научно обоснованных приемов, методов и средств обучения, в том числе технических средств обучения, информационных и компьютерных технологий;
- применение современных средств оценивания результатов обучения;
- воспитание учащихся как формирование у них духовных, нравственных ценностей и патриотических убеждений;
- реализация личностно-ориентированного подхода к образованию и развитию обучающихся с целью создания мотивации к обучению;

2. Место дисциплины в структуре ООП

Цикл (раздел) ООП: Б1.В.ДВ.01.03

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

ОПК-3: Способен самостоятельно создавать прикладные программные средства на основе современных информационных технологий и сетевых ресурсов, в том числе отечественного производства
ПК-3: Способен создавать и исследовать новые математические модели в естественных науках, промышленности и бизнесе, с учетом возможностей современных информационных технологий и программирования и компьютерной техники
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
3.1.Знать:
3.1.1.основные понятия и строгие доказательства фактов и Теорем основных разделов дисциплины;
3.2.Уметь:
3.2.1.применять теоретические знания к решению научно-исследовательских задач по дисциплине;
3.3.Иметь навыки и (или) опыт деятельности (владеть):
3.3.1.овладеть различными приемами использования идеологии дисциплины к доказательству теорем и решению задач курса, а также к решению прикладных задач.

4. Структура и содержание дисциплины

Код занятия Наименование разделов и тем Вид занятия Семестр Часов Компетенции Литература
Раздел 1. Пакеты Maple и Mathematica.
1.1. Особенности системы Mathematica. Основы работы с пакетом Mathematica в режиме вычислений. Лекции 4 2 ОПК-3, ПК-3 Л1.1, Л2.1
1.2. Особенности системы Mathematica. Основы работы с пакетом Mathematica в режиме вычислений. Практические 4 2 ОПК-3, ПК-3 Л1.1, Л2.1
1.3. Особенности системы Mathematica. Основы работы с пакетом Mathematica в режиме вычислений. Сам. работа 4 5 ОПК-3 Л1.1, Л2.1
1.4. Работа со списками, массивами и матрицами. Практика математического анализа. Представление функций, данных и сигналов. Работа с периферийными устройствами. Средства графической визуализации. Лекции 4 2 ОПК-3, ПК-3 Л1.1, Л2.1
1.5. Работа со списками, массивами и матрицами. Практика математического анализа. Представление функций, данных и сигналов. Работа с периферийными устройствами. Средства графической визуализации. Практические 4 2 ОПК-3, ПК-3 Л1.1, Л2.1
1.6. Работа со списками, массивами и матрицами. Практика математического анализа. Представление функций, данных и сигналов. Работа с периферийными устройствами. Средства графической визуализации. Сам. работа 4 5 ОПК-3 Л1.1, Л2.1
1.7. Алгебраические и символьные преобразования. Базовые средства программирования. Встроенные пакеты расширения. Статистические вычисления. Специальные пакеты расширения. Дополнительные средства графики. Цифровая обработка изображений. Применение системы Mathematica при решении научно-технических задач. Лекции 4 2 ОПК-3 Л1.1, Л2.1
1.8. Алгебраические и символьные преобразования. Базовые средства программирования. Встроенные пакеты расширения. Статистические вычисления. Специальные пакеты расширения. Дополнительные средства графики. Цифровая обработка изображений. Применение системы Mathematica при решении научно-технических задач. Практические 4 2 ОПК-3 Л1.1, Л2.1
1.9. Алгебраические и символьные преобразования. Базовые средства программирования. Встроенные пакеты расширения. Статистические вычисления. Специальные пакеты расширения. Дополнительные средства графики. Цифровая обработка изображений. Применение системы Mathematica при решении научно-технических задач. Сам. работа 4 5 ОПК-3 Л1.1, Л2.1
1.10. Особенности пакета Maple. Средства обычных вычислений в системе Maple. Работа со списками, массивами и матрицами. Практика математического анализа. Анализ функций и полиномов. Управление интерфейсом пользователя. Средства графической визуализации. Численные и аналитические преобразования. Средства программирования. Пакеты расширения. Примеры решения научно-технических задач. Лекции 4 2 ОПК-3 Л1.1, Л2.1
1.11. Особенности пакета Maple. Средства обычных вычислений в системе Maple. Работа со списками, массивами и матрицами. Практика математического анализа. Анализ функций и полиномов. Управление интерфейсом пользователя. Средства графической визуализации. Численные и аналитические преобразования. Средства программирования. Пакеты расширения. Примеры решения научно-технических задач. Практические 4 2 ОПК-3, ПК-3 Л1.1, Л2.1
1.12. Особенности пакета Maple. Средства обычных вычислений в системе Maple. Работа со списками, массивами и матрицами. Практика математического анализа. Анализ функций и полиномов. Управление интерфейсом пользователя. Средства графической визуализации. Численные и аналитические преобразования. Средства программирования. Пакеты расширения. Примеры решения научно-технических задач. Сам. работа 4 5 ОПК-3 Л1.1, Л2.1
1.13. Введение в издательскую систему LaTeX, актуальность. Создание печатного документа в среде LaTeX. Алфавит математики. Возможности программирования. Таблицы, боксы, диаграммы. Лекции 4 2 ОПК-3, ПК-3 Л1.1, Л2.1
1.14. Введение в издательскую систему LaTeX, актуальность. Создание печатного документа в среде LaTeX. Алфавит математики. Возможности программирования. Таблицы, боксы, диаграммы. Практические 4 2 ОПК-3, ПК-3 Л1.1, Л2.1
1.15. Введение в издательскую систему LaTeX, актуальность. Создание печатного документа в среде LaTeX. Алфавит математики. Возможности программирования. Таблицы, боксы, диаграммы. Сам. работа 4 5 ОПК-3, ПК-3 Л1.1, Л2.1
1.16. Графические возможности системы LaTeX. Дополнительные средства LaTeX, применяемые в учебно-методическом процессе. Сравнительный анализ редакторов LaTeX и Word. Возможности взаимного конвертирования документов систем LaTeX и Word Лекции 4 2 ОПК-3, ПК-3 Л1.1, Л2.1
1.17. Графические возможности системы LaTeX. Дополнительные средства LaTeX, применяемые в учебно-методическом процессе. Сравнительный анализ редакторов LaTeX и Word. Возможности взаимного конвертирования документов систем LaTeX и Word Практические 4 2 ОПК-3 Л1.1, Л2.1
1.18. Графические возможности системы LaTeX. Дополнительные средства LaTeX, применяемые в учебно-методическом процессе. Сравнительный анализ редакторов LaTeX и Word. Возможности взаимного конвертирования документов систем LaTeX и Word Сам. работа 4 5 ОПК-3 Л1.1, Л2.1
Раздел 2. Риманова геометрия
2.1. Кривизна и кручение кривой. Репер Френе, формулы Френе Лекции 4 2 ОПК-3, ПК-3 Л1.1, Л2.1
2.2. Кривизна и кручение кривой. Репер Френе, формулы Френе Практические 4 2 ОПК-3, ПК-3 Л1.1, Л2.1
2.3. Кривизна и кручение кривой. Репер Френе, формулы Френе Сам. работа 4 5 ОПК-3, ПК-3 Л1.1, Л2.1
2.4. Поверхности в евклидовом пространстве, деривационные формулы. Параллельное перенесение касательных векторов на поверхности, ковариантное дифференцирование, связность. Абсолютная производная векторного поля вдоль кривой на поверхности. Лекции 4 2 ОПК-3, ПК-3 Л1.1, Л2.1
2.5. Поверхности в евклидовом пространстве, деривационные формулы. Параллельное перенесение касательных векторов на поверхности, ковариантное дифференцирование, связность. Абсолютная производная векторного поля вдоль кривой на поверхности. Практические 4 2 ОПК-3, ПК-3 Л1.1, Л2.1
2.6. Поверхности в евклидовом пространстве, деривационные формулы. Параллельное перенесение касательных векторов на поверхности, ковариантное дифференцирование, связность. Абсолютная производная векторного поля вдоль кривой на поверхности. Сам. работа 4 5 ОПК-3 Л1.1, Л2.1
2.7. Экспоненциальное отображение. Стационарные кривые функционала длины. Геодезические и кратчайшие, полные поверхности, теорема Хопфа-Ринова. Лекции 4 2 ОПК-3 Л1.1, Л2.1
2.8. Экспоненциальное отображение. Стационарные кривые функционала длины. Геодезические и кратчайшие, полные поверхности, теорема Хопфа-Ринова. Практические 4 2 ОПК-3 Л1.1, Л2.1
2.9. Экспоненциальное отображение. Стационарные кривые функционала длины. Геодезические и кратчайшие, полные поверхности, теорема Хопфа-Ринова. Сам. работа 4 41 ОПК-3, ПК-3 Л1.1, Л2.1
2.10. Экзамен 4 27 ОПК-3, ПК-3

5. Фонд оценочных средств

5.1. Контрольные вопросы и задания
1. Определение кривой. Соприкасающаяся плоскость. Кривизна и кручение кривой. Репер Френе, формулы Френе
2. Поверхности в евклидовом пространстве, деривационные формулы. Параллельное перенесение касательных векторов на поверхности, ковариантное дифференцирование, связность. Абсолютная производная векторного поля вдоль кривой на поверхности.
3. Экспоненциальное отображение. Стационарные кривые функционала длины. Гео-дезические и кратчайшие, полные поверхности, теорема Хопфа-Римана.
4. Риманова нормальная, полярная полугеодезическая системы координат на поверх-ности. Теорема Гаусса-Бонне и ее следствия.
5. Сопряженное пространство линейных функционалов. Случай евклидова простран-ства. Базис и кобазис. Преобразование координат при замене базиса.
6. Полилинейные функционалы. Координаты полилинейных функционалов. Коорди-наты суммы и произведения. Преобразование координат полилинейных функцио-налов при замене базиса. Алгебра тензоров. Операции над тензорами: свертка, подъем и опускание индексов.
7. Симметрические и кососимметрические тензоры, альтернирование и симметриза-ция тензоров.
8. Криволинейные координаты в евклидовом пространстве. Координатные линии, локальный базис, преобразование локального базиса при замене координат. Векторные и тензорные поля в евклидовом пространстве, преобразование координат тензорного поля при замене координат. Дифференцирование векторных и тензорных полей.
9. Основные дифференциальные операторы в евклидовом пространстве в криволи-нейных координатах.
10. Основные понятия римановой геометрии: риманова метрика, длина кривой, объем области. Аффинные связности, Связность Леви-Чивита, ковариантное дифференцирование, параллельное перенесение вдоль кривых.
11. Геодезические и кратчайшие, экспоненциальное отображение. Римановы многооб-разия как метрические пространства. Полные римановы многообразия, теоремы Хопфа-Ринова.
12. Тензор кривизны, алгебраические свойства тензора кривизны. Кривизны: секцион-ная (риманова), Риччи , скалярная.
13. Особенности системы Mathematica. Основы работы с пакетом Mathematica в режи-ме вычислений.
14. Работа со списками, массивами и матрицами. Практика математического анализа. Представление функций, данных и сигналов. Работа с периферийными устройства-ми. Средства графической визуализации.
15. Алгебраические и символьные преобразования. Базовые средства программирова-ния. Встроенные пакеты расширения. Статистические вычисления. Специальные пакеты расширения. Дополнительные средства графики. Цифровая обработка изоб-ражений. Применение системы Mathematica при решении научно-технических за-дач.
16. Особенности пакета Maple. Средства обычных вычислений в системе Maple. Ра-бота со списками, массивами и матрицами. Практика математического анализа. Анализ функций и полиномов. Управление интерфейсом пользователя. Средства графической визуализации. Численные и аналитические преобразования. Средства программирования. Пакеты расширения. Примеры решения научно-технических задач.
17. Введение в издательскую систему LaTeX, актуальность. Создание печатного доку-мента в среде LaTeX. Алфавит математики. Возможности программирования. Таб-лицы, боксы, диаграммы. Графические возможности системы LaTeX. Дополнитель-ные средства LaTeX, применяемые в учебно-методическом процессе. Сравнитель-ный анализ редакторов LaTeX и Word. Возможности взаимного конвертирования документов систем LaTeX и Word.
5.2. Темы письменных работ (эссе, рефераты, курсовые работы и др.)
1. Особенности системы Mathematica. Основы работы с пакетом Mathematica в режи-ме вычислений.
2. Работа со списками, массивами и матрицами. Практика математического анализа. Представление функций, данных и сигналов. Работа с периферийными устройства-ми. Средства графической визуализации.
3. Алгебраические и символьные преобразования. Базовые средства программирова-ния. Встроенные пакеты расширения. Статистические вычисления. Специальные пакеты расширения. Дополнительные средства графики. Цифровая обработка изоб-ражений. Применение системы Mathematica при решении научно-технических за-дач.
4. Особенности пакета Maple. Средства обычных вычислений в системе Maple. Ра-бота со списками, массивами и матрицами. Практика математического анализа. Анализ функций и полиномов. Управление интерфейсом пользователя. Средства графической визуализации. Численные и аналитические преобразования. Средства программирования. Пакеты расширения. Примеры решения научно-технических задач.
5. Введение в издательскую систему LaTeX, актуальность. Создание печатного доку-мента в среде LaTeX. Алфавит математики. Возможности программирования. Таб-лицы, боксы, диаграммы.
6. Графические возможности системы LaTeX. Дополнительные средства LaTeX, при-меняемые в учебно-методическом процессе. Сравнительный анализ редакторов LaTeX и Word. Возможности взаимного конвертирования документов систем LaTeX и Word
7. Кривизна и кручение кривой. Репер Френе, формулы Френе
8. Поверхности в евклидовом пространстве, деривационные формулы. Параллельное перенесение касательных векторов на поверхности, ковариантное дифференцирование, связность. Абсолютная производная векторного поля вдоль кривой на поверхности.
9. Экспоненциальное отображение. Стационарные кривые функционала длины. Гео-дезические и кратчайшие, полные поверхности, теорема Хопфа-Ринова.
10. Риманова нормальная, полярная полугеодезическая системы координат на поверх-ности. Теорема Гаусса-Бонне и ее следствия.
11. Основные понятия римановой геометрии: риманова метрика, длина кривой, объем области. Аффинные связности, Связность Леви-Чивита, ковариантное дифференцирование, параллельное перенесение вдоль кривых. Геодезические и кратчайшие, экспоненциальное отображение.
12. Римановы многообразия как метрические пространства. Полные римановы много-образия, теоремы Хопфа-Ринова.
13. Тензор кривизны, алгебраические свойства тензора кривизны.
14. Кривизны: секционная (риманова), Риччи , скалярная.
5.3. Фонд оценочных средств
Приложения

6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

6.1. Рекомендуемая литература
6.1.1. Основная литература
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л1.1 П. Н. Клепиков [и др.] Системы компьютерной математики в задачах геометрического моделирования: учеб. пособие Изд-во АлтГУ, 2016 http://elibrary.asu.ru/handle/asu/3416
6.1.2. Дополнительная литература
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л2.1 АлтГУ; [П. Н. Клепиков и др. ; под ред. Е. Д. Родионова] Системы компьютерной математики в задачах геометрического моделирования (Ч. 2): учеб. пособие Изд-во АлтГУ, 2016 http://elibrary.asu.ru/handle/asu/3417
6.2. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет"
Название Эл. адрес
Э1 Курс в Moodle "Риманова геометрия с пакетами аналитических вычислений" https://portal.edu.asu.ru/course/view.php?id=4320
6.3. Перечень программного обеспечения
Программное обеспечение для проведения практических работ:
Microsoft Office,
Microsoft Windows,
7-Zip,
AcrobatReader,
Maxima,
Scilab
6.4. Перечень информационных справочных систем
Единый образовательный портал Алтайского государственного университета http://portal.edu.asu.ru/

7. Материально-техническое обеспечение дисциплины

Аудитория Назначение Оборудование
Учебная аудитория для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), проведения практик Стандартное оборудование (учебная мебель для обучающихся, рабочее место преподавателя, доска)

8. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

По всем разделам дисциплины необходимо обратить внимание на приложение изучаемой теории к доказательству теорем и решению задач курса.
В связи с увеличением доли самостоятельной работы в общем количестве часов, отводимых учебным планом в соответствии с действующими стандартами, предлагается широко использовать систему индивидуальных заданий по отдельным темам курса.