МИНОБРНАУКИ РОССИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Алтайский государственный университет»

Теория колец

рабочая программа дисциплины
Закреплена за кафедройКафедра алгебры и математической логики
Направление подготовки02.03.01. Математика и компьютерные науки
Форма обученияОчная
Общая трудоемкость5 ЗЕТ
Учебный план02_03_01_МиКН-3-2020
Часов по учебному плану 180
в том числе:
аудиторные занятия 72
самостоятельная работа 81
контроль 27
Виды контроля по семестрам
экзамены: 7

Распределение часов по семестрам

Курс (семестр) 4 (7) Итого
Недель 18
Вид занятий УПРПДУПРПД
Практические 72 58 72 58
Сам. работа 81 183 81 183
Часы на контроль 27 27 27 27
Итого 180 268 180 268

Программу составил(и):
к.ф.м.н., доцент, Монастырева А.С.

Рецензент(ы):
к.ф.м.н., доцент, Пономарев И.В.

Рабочая программа дисциплины
Теория колец

разработана в соответствии с ФГОС:
Федеральный государственный образовательный стандарт высшего образования по направлению подготовки 02.03.01 МАТЕМАТИКА И КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ (уровень бакалавриата) (приказ Минобрнауки России от 07.08.2014 г. № 949)

составлена на основании учебного плана:
02.03.01 Математика и компьютерные науки
утвержденного учёным советом вуза от 30.06.2020 протокол № 6.

Рабочая программа одобрена на заседании кафедры
Кафедра алгебры и математической логики

Протокол от 31.08.2020 г. № 4
Срок действия программы: 2020-2021 уч. г.

Заведующий кафедрой
профессор, д.ф.-м.н. Будкин А.И.


Визирование РПД для исполнения в очередном учебном году

Рабочая программа пересмотрена, обсуждена и одобрена для
исполнения в 2020-2021 учебном году на заседании кафедры

Кафедра алгебры и математической логики

Протокол от 31.08.2020 г. № 4
Заведующий кафедрой профессор, д.ф.-м.н. Будкин А.И.


1. Цели освоения дисциплины

1.1.Цель – изложить основы современной (некоммутативной) теории ассоциативных колец, включающей такие важные разделы как радикалы Джекобсона, Бэра, Левицкого, теоремы плотности, строения артиновых колец, ниль-колец, удовлетворящих тождествам или условиям обрыва цепей однородных идеалов, теории алгебр с тождествами.
Задачи:
1. изложить основные понятия теории колец и модулей; конструкции фактор-кольца, прямых произведений, теоремы о гомоморфизмах, строение неприводимых модулей, леммы Шура, радикал Джекобсона, его различные характеризации, вычисление Радикала Джекобсона для колец Rn, R[x], R , C(G), теорема плотности и ее следствия; строение конечных полей, теорему Джекобсона о коммутативности потентных колец;
2. изложить строение артиновых колец;
3. изложить строение колец без нильпотентных элементов (теорему Андрунакиевича-Рябухина);
4. изложить теоремы Нагата-Хигмана и Кегеля; верхний ниль-радикал, строение полупростых колец. Примеры;
5. изложить теорию радикала Левицкого и нижнего ниль-радикала, теоремы Бэра и А.М. Бабича. Примеры Е.И. Зельманова и Голода-Шафаревича;
6. изложить строение ниль-колец с условиями обрыва цепей односторонних идеалов (теорема Шону и ее следствия); строение ниль-колец с тождествами; строение алгебраических алгебр с тождествами (теорема Капланского), теорема А.И. Ширшова о высоте;
7. многообразия колец.

2. Место дисциплины в структуре ООП

Цикл (раздел) ООП: Б1.В.ДВ.01.01

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

ПК-5 способностью использовать методы математического и алгоритмического моделирования при решении теоретических и прикладных задач
ПК-11 способностью к проведению методических и экспертных работ в области математики
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
3.1.Знать:
3.1.1.УК-1 Знает принципы сбора, отбора и обобщения информации.
УК-2 Знает необходимые для осуществления профессиональной деятельности правовые нормы.
УК-3 Знает способы взаимодействия
УК-4 Знает как осуществлять деловую коммуникацию в письменной и устной форме
ОПК-1 Обладает базовыми знаниями, полученными в области математических и (или)естественных наук.
ОПК-2 Знает методы научных исследований.
ОПК-3 Знает методы составления научных документов,отчетов.
ОПК-4 Знает базовые основы современного математического аппарата, связанного с
проектированием, разработкой, реализацией и оценкой качества программных продуктов и программных комплексов в различных областях человеческой деятельности.
ОПК-5 Знает основные положения и концепции прикладного и системного программирования, архитектуры компьютеров и сетей (в том числе и
глобальных), современные языки программирования, технологии создания и эксплуатации программных продуктов и программных комплексов.
ОПК-6 Знает основные экономические понятия
ОПК-7 Знает методы использования правовых знаний
ПК-1 Обладает базовыми знаниями, полученными в области математических и (или) естественных наук, программирования и информационных технологий.
ПК-2 Знает методы преподавания математики и информатики
ПК-3 Знает методы создания и исследования математических моделей
ПК-4 Знает современные методы разработки и реализации алгоритмов математических моделей на базе языков и пакетов прикладных програм моделирования.
ПК-5 Знает методы разработки технической документации
ПК-6 Знает методы создания информационных систем
ПК-7 Знает законы развития рынка ПО
3.2.Уметь:
3.2.1.УК-1 Умеет соотносить разнородные явления и систематизировать их врамках избранных видов профессиональной деятельности.
УК-2 Умеет определять круг задач в рамках избранных видов профессиональной деятельности,планировать собственную деятельность исходя из имеющихся
ресурсов; соотносить главное и второстепенное, решать поставленные задачи в рамках
УК-3 Умеет осуществлять социальные взаимодействия
УК-4 Умеет осуществлять деловую коммуникацию в письменной и устной форме
ОПК-1 Умеет использовать их в профессиональной деятельности.
ОПК-2 Умеет проводить научные исследования.
ОПК-3 Умеет составлять научные документы,отчеты.
ОПК-4 Умеет использовать этот математический аппарат в профессиональной деятельности.
ОПК-5 Умеет использовать их в профессиональной деятельности.
ОПК-6 Умеет использовать основные экономические понятия
ОПК-7 Умеет использовать правовые знания
ПК-1 Умеет находить, формулировать и решать стандартные задачи в собственной научно-исследовательской деятельности в математике и информатике.
ПК-2 Умеет преподавать математику и информатику
ПК-3 Умеет создавать и исследовать новые математические модели
ПК-4 Умеет разрабатывать и реализовывать алгоритмы математических моделей на базе
языков и пакетов прикладных программ моделирования
ПК-5 Умеет разрабатывать техническую документацию
ПК-6 Умеет создавать информационные системы
ПК-7 Умеет учитывать законы развития рынка ПО

3.3.Иметь навыки и (или) опыт деятельности (владеть):
3.3.1.УК-1 Имеет практический опыт работы с информационными источниками, опыт научного поиска, создания научных текстов.
УК-2 Имеет практический опыт применения нормативной базы и решения задач в области избранных видов профессиональной деятельности.
УК-3 Владеет методами осуществления социальных взаимодействий
УК-4 Владеет методами осуществления деловых коммуникаций в письменной и устной форме
ОПК-1 Имеет навыки выбора методов решения задач профессиональной деятельности на основе теоретических знаний.
ОПК-2 Владеет методами проведения научных исследований.
ОПК-3 Владеет методами составления научных документов,отчетов.
ОПК-4 Имеет практический опыт применения современного математического аппарата, связанного с проектированием, разработкой, реализацией и оценкой качества программных продуктов и программных комплексов в различных областях человеческой
деятельности.
ОПК-5 Имеет практические навыки разработки ПО.
ОПК-6 Владеет методами использования основных экономических понятий
ОПК-7 Владеет методами использования правовых знаний
ПК-1 Имеет практический опыт научно-исследовательской деятельности в математике и
информатике.
ПК-2 Владеет методами преподавания математики и информатики
ПК-3 Владеет методами создания и исследования новых математических моделей
ПК-4 Имеет практический опыт разработки и реализации алгоритмов на базе языков и пакетов прикладных программ моделирования.
ПК-5 Владеет способами разрабаткм технической документации
ПК-6 Владеет способностью создавать информационные системы
ПК-7 Владеет законами развития рынка ПО

4. Структура и содержание дисциплины

Код занятия Наименование разделов и тем Вид занятия Семестр Часов Компетенции Литература
Раздел 1. Основные понятия теории колец и модулей
1.1. Основные понятия теории колец и модулей, конструкции фактор-кольца, подпрямых произведений, теоремы о гомоморфизмах. Примеры. Практические 7 6 ПК-5 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2
1.2. Строение неприводимых модулей. Практические 7 6 ПК-5 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2
1.3. Лемма Шура Практические 7 4 ПК-5 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2
1.4. Различные характеризации радикала Джекобсона, радикал Джекобсона R , R[x], R#, C (G), к.п. алгебры над счетным полем Практические 7 4 ПК-5 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2
1.5. Теорема плотности и ее применение для доказательства теорем коммутативности Практические 7 2 ПК-5 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2
1.6. Теорема Веддерберна о конечных телах, многочлены над телами Практические 7 2 ПК-5 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2
1.7. Теорема Джекобсона о коммутативности колец с условием x = xn Практические 7 2 ПК-5 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2
Раздел 2. Артиновы кольца
2.1. Строение артиновых колец Практические 7 2 ПК-5 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2
2.2. Строение колец без нильпотентных элементов. Теорема Андрунакиевича-Рябухина Практические 7 1 ПК-5 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2
Раздел 3. Ниль-радикалы
3.1. Теорема Нагаты-Хигмана, теорема Кегеля (R= A + B). Верхний ниль-радикал, строение полупростых колец Практические 7 4 ПК-5 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2
3.2. Радикал Левицкого, теорема Бабича, нижний ниль-радикал, строение полупервичных колец Практические 7 1 ПК-5 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2
3.3. Примеры Е.И. Зельманова, Голода-Шафаревича, проблема Бернсайда для к.п. периодических групп (ее решение) Практические 7 2 ПК-5 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л3.1, Л1.2
Раздел 4. Ниль-кольца
4.1. Ниль-кольца с условиями обрыва цепей односторонних идеалов Практические 7 4 ПК-5 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2
4.2. Строение ниль-колец, удовлетворяющих тождествам Практические 7 2 ПК-5 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л3.1, Л1.2
Раздел 5. Кольца с тождествами
5.1. Проблема Куроша. Строение алгебраических алгебр с тождествами Практические 7 2 ПК-5 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2
5.2. Теорема Ширшова о высоте Практические 7 2 ПК-5 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2
Раздел 6. Многообразия колец
6.1. Теорема Биркгофа, теорема Тарского Практические 7 4 ПК-5 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2
6.2. Базисы тождеств конечных полей, колец матриц над полями Практические 7 4 ПК-5 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2
6.3. Базисы тождеств конечных полей, колец матриц над полями Сам. работа 7 9 ПК-5 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2
6.4. Теорема Биркгофа, теорема Тарского Сам. работа 7 100 ПК-5 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2
6.5. Теорема И.В. Львова Практические 7 2 ПК-5 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2
6.6. Теорема И.В. Львова Сам. работа 7 74 ПК-5 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2
6.7. Почти коммутативные многообразия колец Практические 7 2 ПК-5 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л1.2

5. Фонд оценочных средств

5.1. Контрольные вопросы и задания для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
прилодение
5.2. Темы письменных работ для проведения текущего контроля (эссе, рефераты, курсовые работы и др.)
Решение задач теории колец.
5.3. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
приложение

6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

6.1. Рекомендуемая литература
6.1.1. Основная литература
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л1.1 М.И. Каргаполов, Мерзляков Ю.И. Основы теории групп: учеб. пособие СПб.: Лань, // ЭБС «Лань», 2009 http://e.lanbook.com/book/177
Л1.2 Ю. Н. Мальцев, Е. В. Журавлев Лекции по теории ассоциативных колец: учеб. пособие Изд-во АлтГУ, 2015 elibrary.asu.ru
6.1.2. Дополнительная литература
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л2.1 Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 3: Основные структуры алгебры.: учеб. пособие М.: МЦМНО, 2009 http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=62951
Л2.2 А.Г. Курош Теория групп: учеб. пособие СПб.: Лань, 2005
6.1.3. Дополнительные источники
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л3.1 Ю. Н. Мальцев, Е. П. Петров Лекции по теории колец и модулей: учеб. пособие Барнаул : Изд-во АГУ, 2000
6.2. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет"
Название Эл. адрес
Э1 Сайт библиотеки АлтГУ: www.lib.asu.ru;
Э2 электронно-библиотечная система издательства «Лань»: www.e.lanbook.com;
Э3 электронно-библиотечная система "Университетская библиотека online": www.biblioclub.ru;
6.3. Перечень программного обеспечения
Microsoft Windows
Microsoft Office
7-Zip
AcrobatReader
6.4. Перечень информационных справочных систем
1. http://www.lib.asu.ru - Научная библиотека Алтайского государственного университета;
2. http://www.biblioclub.ru - электронно-библиотечная система издательства «Лань»;
3. http://exponenta.ru - Образовательный математический сайт
4. http://www.biblioclub.ru - электронно-библиотечная система "Университетская библиотека online";
5. База данных литературы информационно-методического кабинета факультета социологии АлтГУ "ФОЛИАНТ"

7. Материально-техническое обеспечение дисциплины

Аудитория Назначение Оборудование
Учебная аудитория для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), проведения практик Стандартное оборудование (учебная мебель для обучающихся, рабочее место преподавателя, доска)
Помещение для самостоятельной работы помещение для самостоятельной работы обучающихся Компьютеры, ноутбуки с подключением к информационно-телекоммуникационной сети «Интернет», доступом в электронную информационно-образовательную среду АлтГУ

8. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

1. Для успешного освоения содержания дисциплины необходимо посещать лекции, принимать активное участие в работе на семинаре, практическом занятии, а также выполнять задания, предлагаемые преподавателем для самостоятельного изучения.
2. Лекция.
-На лекцию приходите не опаздывая, так как это неэтично.
- На лекционных занятиях необходимо конспектировать изучаемый материал.
- Для систематизации лекционного материала, который будет полезен при подготовке к итоговому контролю знаний, записывайте на каждой лекции тему, вопросы для изучения, рекомендуемую литературу.
- В каждом вопросе выделяйте главное, обязательно запишите ключевые моменты (определение, факты, законы, правила и т.д.), подчеркните их.
- Если по содержанию материала возникают вопросы, не нужно выкрикивать, запишите их и задайте по окончании лекции или на семинарском занятии.
- Перед следующей лекцией обязательно прочитайте предыдущую, чтобы актуализировать знания и осознанно приступить к освоению нового содержания.
3.Семинарское (практическое) занятие – это форма работы, где студенты максимально активно участвуют в обсуждении темы.
- Для подготовки к семинару необходимо взять план семинарского занятия (у преподавателя).
- Самостоятельную подготовку к семинарскому занятию необходимо начинать с изучения понятийного аппарата темы. Рекомендуем использовать справочную литературу (словари, справочники, энциклопедии), целесообразно создать и вести свой словарь терминов.
- На семинар выносится обсуждение не одного вопроса, поэтому важно просматривать и изучать все вопросы семинара, но один из вопросов исследовать наиболее глубоко, с использованием дополнительных источников (в том числе тех, которые вы нашли самостоятельно). Не нужно пересказывать лекцию.
- Важно запомнить, что любой источник должен нести достоверную информацию, особенно это относится к Internet-ресурсам. При использовании Internet - ресурсов в процессе подготовки не нужно их автоматически «скачивать», они должны быть проанализированы. Не нужно «скачивать» готовые рефераты, так как их однообразие преподаватель сразу выявляет, кроме того, они могут быть сомнительного качества.
- В процессе изучения темы анализируйте несколько источников. Используйте периодическую печать - специальные журналы.
- Полезным будет работа с электронными учебниками и учебными пособиями в Internet-библиотеках. Зарегистрируйтесь в них: университетская библиотека Онлайн (http://www.biblioclub.ru/) и электронно-библиотечная система «Лань» (http://e.lanbook.com/).
- В процессе подготовки и построения ответов при выступлении не просто пересказывайте текст учебника, но и выражайте свою личностно-профессиональную оценку прочитанного.
- Если к семинарским занятиям предлагаются задания практического характера, продумайте план их выполнения или решения при подготовке к семинару.
- При возникновении трудностей в процессе подготовки взаимодействуйте с преподавателем, консультируйтесь по самостоятельному изучению темы.
4. Самостоятельная работа.
- При изучении дисциплины не все вопросы рассматриваются на лекциях и семинарских занятиях, часть вопросов рекомендуется преподавателем для самостоятельного изучения.
- Поиск ответов на вопросы и выполнение заданий для самостоятельной работы позволит вам расширить и углубить свои знания по курсу, применить теоретические знания в решении задач практического содержания, закрепить изученное ранее.
- Эти задания следует выполнять не «наскоком», а постепенно, планомерно, следуя порядку изучения тем курса.
- При возникновении вопросов обратитесь к преподавателю в день консультаций на кафедру.
- Выполнив их, проанализируйте качество их выполнения. Это поможет вам развивать умения самоконтроля и оценочные компетенции.
5. Итоговый контроль.
- Для подготовки к зачету/экзамену возьмите перечень примерных вопросов у преподавателя.
- В списке вопросов выделите те, которые были рассмотрены на лекции, семинарских занятиях. Обратитесь к своим записям, выделите существенное. Для более детального изучения изучите рекомендуемую литературу.
- Если в списке вопросов есть те, которые не рассматривались на лекции, семинарском занятии, изучите их самостоятельно. Если есть сомнения, задайте вопросы на консультации перед экзаменом.
- Продумайте свой ответ на экзамене, его логику. Помните, что ваш ответ украсит ссылка на источник литературы, иллюстрация практики применения теоретического знания, а также уверенность и наличие авторской аргументированной позиции как будущего субъекта профессиональной деятельности.