МИНОБРНАУКИ РОССИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Алтайский государственный университет»

Многообразия колец
рабочая программа дисциплины

Закреплена за кафедройКафедра алгебры и математической логики
Направление подготовки02.03.01. Математика и компьютерные науки
Форма обученияОчная
Общая трудоемкость3 ЗЕТ
Учебный план02_03_01_МиКН-4-2020
Часов по учебному плану 108
в том числе:
аудиторные занятия 42
самостоятельная работа 66
Виды контроля по семестрам
зачеты: 8

Распределение часов по семестрам

Курс (семестр) 4 (8) Итого
Недель 11
Вид занятий УПРПДУПРПД
Лекции 20 20 20 20
Практические 22 22 22 22
Сам. работа 66 66 66 66
Итого 108 108 108 108

Программу составил(и):
к.ф.м.н., доцент, Монастырева А.С.

Рецензент(ы):
к.ф.м.н., доцент, Пономарев И.В.

Рабочая программа дисциплины
Многообразия колец

разработана в соответствии с ФГОС:
Федеральный государственный образовательный стандарт высшего образования по направлению подготовки 02.03.01 МАТЕМАТИКА И КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ (уровень бакалавриата) (приказ Минобрнауки России от 07.08.2014 г. № 949)

составлена на основании учебного плана:
02.03.01 Математика и компьютерные науки
утвержденного учёным советом вуза от 30.06.2020 протокол № 6.

Рабочая программа одобрена на заседании кафедры
Кафедра алгебры и математической логики

Протокол от 31.08.2020 г. № 4
Срок действия программы: 2020-2021 уч. г.

Заведующий кафедрой
профессор, д.ф.-м.н. Будкин А.И.

Визирование РПД для исполнения в очередном учебном году

Рабочая программа пересмотрена, обсуждена и одобрена для
исполнения в 2020-2021 учебном году на заседании кафедры

Кафедра алгебры и математической логики

Протокол от 31.08.2020 г. № 4
Заведующий кафедрой профессор, д.ф.-м.н. Будкин А.И.

1. Цели освоения дисциплины

1.1.Цель – изложить основы современной (некоммутативной) теории ассоциативных колец, включающей такие важные разделы как радикалы Джекобсона, Бэра, Левицкого, теоремы плотности, строения артиновых колец, ниль-колец, удовлетворящих тождествам или условиям обрыва цепей однородных идеалов, теории алгебр с тождествами.
Задачи:
1. изложить основные понятия теории колец и модулей; конструкции фактор-кольца, прямых произведений, теоремы о гомоморфизмах, строение неприводимых модулей, леммы Шура, радикал Джекобсона, его различные характеризации, вычисление Радикала Джекобсона для колец Rn, R[x], R , C(G), теорема плотности и ее следствия; строение конечных полей, теорему Джекобсона о коммутативности потентных колец;
2. изложить строение артиновых колец;
3. изложить строение колец без нильпотентных элементов (теорему Андрунакиевича-Рябухина);
4. изложить теоремы Нагата-Хигмана и Кегеля; верхний ниль-радикал, строение полупростых колец. Примеры;
5. изложить теорию радикала Левицкого и нижнего ниль-радикала, теоремы Бэра и А.М. Бабича. Примеры Е.И. Зельманова и Голода-Шафаревича;
6. изложить строение ниль-колец с условиями обрыва цепей односторонних идеалов (теорема Шону и ее следствия); строение ниль-колец с тождествами; строение алгебраических алгебр с тождествами (теорема Капланского), теорема А.И. Ширшова о высоте;
7. многообразия колец.

2. Место дисциплины в структуре ООП

Цикл (раздел) ООП: Б1.В

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

ПК-4: способностью публично представлять собственные и известные научные результаты
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
3.1.Знать:
3.1.1.УК-1 Знает принципы сбора, отбора и обобщения информации.
УК-2 Знает необходимые для осуществления профессиональной деятельности правовые нормы.
УК-3 Знает способы взаимодействия
УК-4 Знает как осуществлять деловую коммуникацию в письменной и устной форме
ОПК-1 Обладает базовыми знаниями, полученными в области математических и (или)естественных наук.
ОПК-2 Знает методы научных исследований.
ОПК-3 Знает методы составления научных документов,отчетов.
ОПК-4 Знает базовые основы современного математического аппарата, связанного с
проектированием, разработкой, реализацией и оценкой качества программных продуктов и программных комплексов в различных областях человеческой деятельности.
ОПК-5 Знает основные положения и концепции прикладного и системного программирования, архитектуры компьютеров и сетей (в том числе и
глобальных), современные языки программирования, технологии создания и эксплуатации программных продуктов и программных комплексов.
ОПК-6 Знает основные экономические понятия
ОПК-7 Знает методы использования правовых знаний
ПК-1 Обладает базовыми знаниями, полученными в области математических и (или) естественных наук, программирования и информационных технологий.
ПК-2 Знает методы преподавания математики и информатики
ПК-3 Знает методы создания и исследования математических моделей
ПК-4 Знает современные методы разработки и реализации алгоритмов математических моделей на базе языков и пакетов прикладных програм моделирования.
ПК-5 Знает методы разработки технической документации
ПК-6 Знает методы создания информационных систем
ПК-7 Знает законы развития рынка ПО
3.2.Уметь:
3.2.1.УК-1 Умеет соотносить разнородные явления и систематизировать их врамках избранных видов профессиональной деятельности.
УК-2 Умеет определять круг задач в рамках избранных видов профессиональной деятельности,планировать собственную деятельность исходя из имеющихся
ресурсов; соотносить главное и второстепенное, решать поставленные задачи в рамках
УК-3 Умеет осуществлять социальные взаимодействия
УК-4 Умеет осуществлять деловую коммуникацию в письменной и устной форме
ОПК-1 Умеет использовать их в профессиональной деятельности.
ОПК-2 Умеет проводить научные исследования.
ОПК-3 Умеет составлять научные документы,отчеты.
ОПК-4 Умеет использовать этот математический аппарат в профессиональной деятельности.
ОПК-5 Умеет использовать их в профессиональной деятельности.
ОПК-6 Умеет использовать основные экономические понятия
ОПК-7 Умеет использовать правовые знания
ПК-1 Умеет находить, формулировать и решать стандартные задачи в собственной научно-исследовательской деятельности в математике и информатике.
ПК-2 Умеет преподавать математику и информатику
ПК-3 Умеет создавать и исследовать новые математические модели
ПК-4 Умеет разрабатывать и реализовывать алгоритмы математических моделей на базе
языков и пакетов прикладных программ моделирования
ПК-5 Умеет разрабатывать техническую документацию
ПК-6 Умеет создавать информационные системы
ПК-7 Умеет учитывать законы развития рынка ПО

3.3.Иметь навыки и (или) опыт деятельности (владеть):
3.3.1.УК-1 Имеет практический опыт работы с информационными источниками, опыт научного поиска, создания научных текстов.
УК-2 Имеет практический опыт применения нормативной базы и решения задач в области избранных видов профессиональной деятельности.
УК-3 Владеет методами осуществления социальных взаимодействий
УК-4 Владеет методами осуществления деловых коммуникаций в письменной и устной форме
ОПК-1 Имеет навыки выбора методов решения задач профессиональной деятельности на основе теоретических знаний.
ОПК-2 Владеет методами проведения научных исследований.
ОПК-3 Владеет методами составления научных документов,отчетов.
ОПК-4 Имеет практический опыт применения современного математического аппарата, связанного с проектированием, разработкой, реализацией и оценкой качества программных продуктов и программных комплексов в различных областях человеческой
деятельности.
ОПК-5 Имеет практические навыки разработки ПО.
ОПК-6 Владеет методами использования основных экономических понятий
ОПК-7 Владеет методами использования правовых знаний
ПК-1 Имеет практический опыт научно-исследовательской деятельности в математике и
информатике.
ПК-2 Владеет методами преподавания математики и информатики
ПК-3 Владеет методами создания и исследования новых математических моделей
ПК-4 Имеет практический опыт разработки и реализации алгоритмов на базе языков и пакетов прикладных программ моделирования.
ПК-5 Владеет способами разрабаткм технической документации
ПК-6 Владеет способностью создавать информационные системы
ПК-7 Владеет законами развития рынка ПО

4. Структура и содержание дисциплины

Код занятия Наименование разделов и тем Вид занятия Семестр Часов Компетенции Литература
Раздел 1. Основные понятия теории колец и модулей
1.1. Основные понятия теории колец и модулей, конструкции фактор-кольца, подпрямых произведений, теоремы о гомоморфизмах. Примеры. Лекции 8 1 ПК-4
1.2. Основные понятия теории колец и модулей, конструкции фактор-кольца, подпрямых произведений, теоремы о гомоморфизмах. Примеры. Практические 8 2 ПК-4 Л1.1, Л2.1, Л2.2, Л1.2
1.3. Основные понятия теории колец и модулей, конструкции фактор-кольца, подпрямых произведений, теоремы о гомоморфизмах. Примеры. Сам. работа 8 10 ПК-4
1.4. Строение неприводимых модулей. Лекции 8 2 ПК-4
1.5. Строение неприводимых модулей. Практические 8 3 ПК-4 Л1.1, Л2.1, Л2.2, Л1.2
1.6. Лемма Шура Лекции 8 2 ПК-4
1.7. Лемма Шура Практические 8 2 ПК-4 Л1.1, Л2.1, Л2.2, Л1.2
1.8. Различные характеризации радикала Джекобсона, радикал Джекобсона R , R[x], R#, C (G), к.п. алгебры над счетным полем Лекции 8 1 ПК-4
1.9. Различные характеризации радикала Джекобсона, радикал Джекобсона R , R[x], R#, C (G), к.п. алгебры над счетным полем Практические 8 2 ПК-4 Л1.1, Л2.1, Л2.2, Л1.2
1.10. Теорема плотности и ее применение для доказательства теорем коммутативности Лекции 8 1 ПК-4
1.11. Теорема плотности и ее применение для доказательства теорем коммутативности Практические 8 1 ПК-4 Л1.1, Л2.1, Л2.2, Л1.2
1.12. Теорема Веддерберна о конечных телах, многочлены над телами Лекции 8 1 ПК-4
1.13. Теорема Веддерберна о конечных телах, многочлены над телами Практические 8 1 ПК-4 Л1.1, Л2.1, Л2.2, Л1.2
1.14. Теорема Джекобсона о коммутативности колец с условием x = xn Лекции 8 1 ПК-4
1.15. Теорема Джекобсона о коммутативности колец с условием x = xn Сам. работа 8 6 ПК-4
1.16. Теорема Джекобсона о коммутативности колец с условием x = xn Практические 8 1 ПК-4 Л1.1, Л2.1, Л2.2, Л1.2
Раздел 2. Артиновы кольца
2.1. Строение артиновых колец Лекции 8 2 ПК-4
2.2. Строение артиновых колец Практические 8 1 ПК-4 Л1.1, Л2.1, Л2.2, Л1.2
2.3. Строение колец без нильпотентных элементов. Теорема Андрунакиевича-Рябухина Лекции 8 1 ПК-4
2.4. Строение колец без нильпотентных элементов. Теорема Андрунакиевича-Рябухина Практические 8 1 ПК-4 Л1.1, Л2.1, Л2.2, Л1.2
Раздел 3. Ниль-радикалы
3.1. Теорема Нагаты-Хигмана, теорема Кегеля (R= A + B). Верхний ниль-радикал, строение полупростых колец Лекции 8 1 ПК-4
3.2. Теорема Нагаты-Хигмана, теорема Кегеля (R= A + B). Верхний ниль-радикал, строение полупростых колец Практические 8 1 ПК-4 Л1.1, Л2.1, Л2.2, Л1.2
3.3. Радикал Левицкого, теорема Бабича, нижний ниль-радикал, строение полупервичных колец Лекции 8 1 ПК-4
3.4. Радикал Левицкого, теорема Бабича, нижний ниль-радикал, строение полупервичных колец Практические 8 1 ПК-4 Л1.1, Л2.1, Л2.2, Л1.2
3.5. Примеры Е.И. Зельманова, Голода-Шафаревича, проблема Бернсайда для к.п. периодических групп (ее решение) Лекции 8 1 ПК-4
3.6. Примеры Е.И. Зельманова, Голода-Шафаревича, проблема Бернсайда для к.п. периодических групп (ее решение) Практические 8 1 ПК-4 Л1.1, Л2.1, Л2.2, Л3.1, Л1.2
Раздел 4. Ниль-кольца
4.1. Ниль-кольца с условиями обрыва цепей односторонних идеалов Лекции 8 1 ПК-4
4.2. Ниль-кольца с условиями обрыва цепей односторонних идеалов Практические 8 1 ПК-4 Л1.1, Л2.1, Л2.2, Л1.2
4.3. Строение ниль-колец, удовлетворяющих тождествам Лекции 8 1 ПК-4
Раздел 5. Кольца с тождествами
5.1. Проблема Куроша. Строение алгебраических алгебр с тождествами Лекции 8 1 ПК-4
5.2. Проблема Куроша. Строение алгебраических алгебр с тождествами Практические 8 1 ПК-4 Л1.1, Л2.1, Л2.2, Л1.2
5.3. Проблема Куроша. Строение алгебраических алгебр с тождествами Сам. работа 8 10 ПК-4
5.4. Теорема Ширшова о высоте Лекции 8 1 ПК-4
5.5. Теорема Ширшова о высоте Сам. работа 8 10 ПК-4
Раздел 6. Многообразия колец
6.1. Теорема Биркгофа, теорема Тарского Практические 8 1 ПК-4 Л1.1, Л2.1, Л2.2, Л1.2
6.2. Базисы тождеств конечных полей, колец матриц над полями Практические 8 1 ПК-4 Л1.1, Л2.1, Л2.2, Л1.2
6.3. Базисы тождеств конечных полей, колец матриц над полями Сам. работа 8 10 ПК-4 Л1.1, Л2.1, Л2.2, Л1.2
6.4. Теорема Биркгофа, теорема Тарского Сам. работа 8 10 ПК-4 Л1.1, Л2.1, Л2.2, Л1.2
6.5. Теорема И.В. Львова Практические 8 1 ПК-4 Л1.1, Л2.1, Л2.2, Л1.2
6.6. Теорема И.В. Львова Сам. работа 8 10 ПК-4 Л1.1, Л2.1, Л2.2, Л1.2
6.7. Почти коммутативные многообразия колец Лекции 8 1 ПК-4

5. Фонд оценочных средств

5.1. Контрольные вопросы и задания
прилодение
5.2. Темы письменных работ (эссе, рефераты, курсовые работы и др.)
Решение задач теории колец.
5.3. Фонд оценочных средств
приложение

6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

6.1. Рекомендуемая литература
6.1.1. Основная литература
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л1.1 М.И. Каргаполов, Мерзляков Ю.И. Основы теории групп: учеб. пособие СПб.: Лань, // ЭБС «Лань», 2009 http://e.lanbook.com/book/177
Л1.2 Ю. Н. Мальцев, Е. В. Журавлев Лекции по теории ассоциативных колец: учеб. пособие Изд-во АлтГУ, 2015 http://elibrary.asu.ru/handle/asu/1287
6.1.2. Дополнительная литература
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л2.1 А.Г. Курош Теория групп: учеб. пособие СПб.: Лань, 2005
Л2.2 Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 3: Основные структуры алгебры.: учеб. пособие М.: МЦМНО, 2009 http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=62951
6.1.3. Дополнительные источники
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л3.1 Ю. Н. Мальцев, Е. П. Петров Лекции по теории колец и модулей: учеб. пособие Барнаул : Изд-во АГУ, 2000
6.2. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет"
Название Эл. адрес
Э1 Сайт библиотеки АлтГУ: www.lib.asu.ru;
Э2 электронно-библиотечная система издательства «Лань»: www.e.lanbook.com;
Э3 электронно-библиотечная система "Университетская библиотека online": www.biblioclub.ru;
6.3. Перечень программного обеспечения
Microsoft Windows
Microsoft Office
7-Zip
AcrobatReader
6.4. Перечень информационных справочных систем
1. http://www.lib.asu.ru - Научная библиотека Алтайского государственного университета;
2. http://www.biblioclub.ru - электронно-библиотечная система издательства «Лань»;
3. http://exponenta.ru - Образовательный математический сайт
4. http://www.biblioclub.ru - электронно-библиотечная система "Университетская библиотека online";
5. База данных литературы информационно-методического кабинета факультета социологии АлтГУ "ФОЛИАНТ"

7. Материально-техническое обеспечение дисциплины

Аудитория Назначение Оборудование
Учебная аудитория для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), проведения практик Стандартное оборудование (учебная мебель для обучающихся, рабочее место преподавателя, доска)
Помещение для самостоятельной работы помещение для самостоятельной работы обучающихся Компьютеры, ноутбуки с подключением к информационно-телекоммуникационной сети «Интернет», доступом в электронную информационно-образовательную среду АлтГУ

8. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

1. Для успешного освоения содержания дисциплины необходимо посещать лекции, принимать активное участие в работе на семинаре, практическом занятии, а также выполнять задания, предлагаемые преподавателем для самостоятельного изучения.
2. Лекция.
-На лекцию приходите не опаздывая, так как это неэтично.
- На лекционных занятиях необходимо конспектировать изучаемый материал.
- Для систематизации лекционного материала, который будет полезен при подготовке к итоговому контролю знаний, записывайте на каждой лекции тему, вопросы для изучения, рекомендуемую литературу.
- В каждом вопросе выделяйте главное, обязательно запишите ключевые моменты (определение, факты, законы, правила и т.д.), подчеркните их.
- Если по содержанию материала возникают вопросы, не нужно выкрикивать, запишите их и задайте по окончании лекции или на семинарском занятии.
- Перед следующей лекцией обязательно прочитайте предыдущую, чтобы актуализировать знания и осознанно приступить к освоению нового содержания.
3.Семинарское (практическое) занятие – это форма работы, где студенты максимально активно участвуют в обсуждении темы.
- Для подготовки к семинару необходимо взять план семинарского занятия (у преподавателя).
- Самостоятельную подготовку к семинарскому занятию необходимо начинать с изучения понятийного аппарата темы. Рекомендуем использовать справочную литературу (словари, справочники, энциклопедии), целесообразно создать и вести свой словарь терминов.
- На семинар выносится обсуждение не одного вопроса, поэтому важно просматривать и изучать все вопросы семинара, но один из вопросов исследовать наиболее глубоко, с использованием дополнительных источников (в том числе тех, которые вы нашли самостоятельно). Не нужно пересказывать лекцию.
- Важно запомнить, что любой источник должен нести достоверную информацию, особенно это относится к Internet-ресурсам. При использовании Internet - ресурсов в процессе подготовки не нужно их автоматически «скачивать», они должны быть проанализированы. Не нужно «скачивать» готовые рефераты, так как их однообразие преподаватель сразу выявляет, кроме того, они могут быть сомнительного качества.
- В процессе изучения темы анализируйте несколько источников. Используйте периодическую печать - специальные журналы.
- Полезным будет работа с электронными учебниками и учебными пособиями в Internet-библиотеках. Зарегистрируйтесь в них: университетская библиотека Онлайн (http://www.biblioclub.ru/) и электронно-библиотечная система «Лань» (http://e.lanbook.com/).
- В процессе подготовки и построения ответов при выступлении не просто пересказывайте текст учебника, но и выражайте свою личностно-профессиональную оценку прочитанного.
- Если к семинарским занятиям предлагаются задания практического характера, продумайте план их выполнения или решения при подготовке к семинару.
- При возникновении трудностей в процессе подготовки взаимодействуйте с преподавателем, консультируйтесь по самостоятельному изучению темы.
4. Самостоятельная работа.
- При изучении дисциплины не все вопросы рассматриваются на лекциях и семинарских занятиях, часть вопросов рекомендуется преподавателем для самостоятельного изучения.
- Поиск ответов на вопросы и выполнение заданий для самостоятельной работы позволит вам расширить и углубить свои знания по курсу, применить теоретические знания в решении задач практического содержания, закрепить изученное ранее.
- Эти задания следует выполнять не «наскоком», а постепенно, планомерно, следуя порядку изучения тем курса.
- При возникновении вопросов обратитесь к преподавателю в день консультаций на кафедру.
- Выполнив их, проанализируйте качество их выполнения. Это поможет вам развивать умения самоконтроля и оценочные компетенции.
5. Итоговый контроль.
- Для подготовки к зачету/экзамену возьмите перечень примерных вопросов у преподавателя.
- В списке вопросов выделите те, которые были рассмотрены на лекции, семинарских занятиях. Обратитесь к своим записям, выделите существенное. Для более детального изучения изучите рекомендуемую литературу.
- Если в списке вопросов есть те, которые не рассматривались на лекции, семинарском занятии, изучите их самостоятельно. Если есть сомнения, задайте вопросы на консультации перед экзаменом.
- Продумайте свой ответ на экзамене, его логику. Помните, что ваш ответ украсит ссылка на источник литературы, иллюстрация практики применения теоретического знания, а также уверенность и наличие авторской аргументированной позиции как будущего субъекта профессиональной деятельности.