1. Цели освоения дисциплины
| 1.1. | Цель освоения учебной дисциплины «Дополнительные главы математического анализа» – изложить студентам интегральное исчисление функций нескольких переменных; добиться понимания основных объектов исследования и понятий анализа: кратные, криволинейные и поверхностные интегралы, числовые и функциональные ряды, ряды Фурье; научить студентов основополагающим принципам и фактам математического анализа; продемонстрировать возможности методов этого курса для решения задач фундаментальной и прикладной математики; привить точность и обстоятельность аргументации в математических рассуждениях, сформировать уровень математической культуры, достаточный для понимания и усвоения последующих курсов по непрерывной математике; научить пользоваться математической литературой; привить навыки исследовательской работы. Теоретическая часть курса в значительной степени поддерживается лабораторными и практическими занятиями, на которых осмысливаются и закрепляются основные понятия и методы курса, осваиваются оптимальные (стандартные и искусственные) приемы решения задач математического анализа и его приложений. |
|---|
2. Место дисциплины в структуре ООП
| Цикл (раздел) ООП: Б1.О.05 |
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
| ПК-1 | Способен осуществлять научно-исследовательскую деятельность, связанную с разработкой математических моделей сложных систем, алгоритмов, методов, программного обеспечения, инструментальных средств в соответствии с профилем профессиональной деятельности с использованием современных достижений науки и техники |
| В результате освоения дисциплины обучающийся должен | |
| 3.1. | Знать: |
|---|---|
| 3.1.1. | основные понятия, определения и свойства объектов математического анализа, формулировки и доказательства утверждений, методы их доказательства; о кратных, криволинейных и поверхностных интегралах, числовых и функциональных рядах, о теории Фурье, интеграле Лебега и др. |
| 3.2. | Уметь: |
| 3.2.1. | доказывать утверждения математического анализа, решать задачи математического анализа, уметь применять полученные знания в других областях математики и дисциплинах естественнонаучного содержания. |
| 3.3. | Иметь навыки и (или) опыт деятельности (владеть): |
| 3.3.1. | работы с аппаратом математического анализа,с методами доказательства утверждений, применения математического анализа в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания. |
4. Структура и содержание дисциплины
| Код занятия | Наименование разделов и тем | Вид занятия | Семестр | Часов | Компетенции | Литература |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Раздел 1. Кратные интегралы | ||||||
| 1.1. | 1. Понятие объема в n-мерном пространстве. Измеримые множества. Множества меры нуль. Двойной интеграл: его определение, существование и основные свойства. Сведение двойного интеграла к повторному. 2. Преобразование плоских областей. Геометрический смысл модуля Якобиана в двумерном случае. Замена переменных в двойном интеграле. 3. Тройные и n-кратные интегралы: определения, свойства, сведение к повторному интегрированию. 4. Замена переменных в n-кратном интеграле. Цилиндрические и сферические координаты. | Лекции | 3 | 8 | ПК-1 | Л1.1, Л3.1, Л2.1 |
| 1.2. | 1. Понятие объема в n-мерном пространстве. Измеримые множества. Множества меры нуль. Двойной интеграл: его определение, существование и основные свойства. Сведение двойного интеграла к повторному. 2. Преобразование плоских областей. Геометрический смысл модуля Якобиана в двумерном случае. Замена переменных в двойном интеграле. 3. Тройные и n-кратные интегралы: определения, свойства, сведение к повторному интегрированию. 4. Замена переменных в n-кратном интеграле. Цилиндрические и сферические координаты. | Лабораторные | 3 | 16 | ПК-1 | Л1.1, Л3.1, Л2.1 |
| 1.3. | 1. Понятие объема в n-мерном пространстве. Измеримые множества. Множества меры нуль. Двойной интеграл: его определение, существование и основные свойства. Сведение двойного интеграла к повторному. 2. Преобразование плоских областей. Геометрический смысл модуля Якобиана в двумерном случае. Замена переменных в двойном интеграле. 3. Тройные и n-кратные интегралы: определения, свойства, сведение к повторному интегрированию. 4. Замена переменных в n-кратном интеграле. Цилиндрические и сферические координаты. | Сам. работа | 3 | 68 | ПК-1 | Л1.1, Л2.1 |
| Раздел 2. Криволинейные и поверхностные интегралы | ||||||
| 2.1. | 6. Определение криволинейных интегралов 1-го и 2-го родов. Существование и сведение их к определенным интегралам. Свойства криволинейных интегралов. 7. Формула Грина. Вычисление площадей с помощью криволинейных интегралов. Геометрический смысл знака Якобиана отображения плоской области. Условия независимости криволинейного интеграла от формы пути. Признак точного дифференциала. 8. Понятие поверхности. Параметрически заданные поверхности. Касательная плоскость. Первая квадратичная форма поверхности. Сторона и ориентация поверхности, направляющие косинусы, кусочно-гладкая поверхность. 9. Проектирование поверхности на касательную плоскость. Понятие площади поверхности. Пример Шварца. Квадрируемость гладких поверхностей. 10. Определение поверхностных интегралов 1-го и 2-го родов. Формула Стокса. 11. Формула Гаусса-Остроградского. 12. Элементы векторного анализа. Скалярные и векторные поля, поверхность уровня, векторные линии, градиент, дивергенция и ротор вектора. Циркуляция вектора по замкнутому контуру. Поток вектора через поверхность | Лекции | 3 | 8 | ПК-1 | Л1.1, Л2.1 |
| 2.2. | 6. Определение криволинейных интегралов 1-го и 2-го родов. Существование и сведение их к определенным интегралам. Свойства криволинейных интегралов. 7. Формула Грина. Вычисление площадей с помощью криволинейных интегралов. Геометрический смысл знака Якобиана отображения плоской области. Условия независимости криволинейного интеграла от формы пути. Признак точного дифференциала. 8. Понятие поверхности. Параметрически заданные поверхности. Касательная плоскость. Первая квадратичная форма поверхности. Сторона и ориентация поверхности, направляющие косинусы, кусочно-гладкая поверхность. 9. Проектирование поверхности на касательную плоскость. Понятие площади поверхности. Пример Шварца. Квадрируемость гладких поверхностей. 10. Определение поверхностных интегралов 1-го и 2-го родов. Формула Стокса. 11. Формула Гаусса-Остроградского. 12. Элементы векторного анализа. Скалярные и векторные поля, поверхность уровня, векторные линии, градиент, дивергенция и ротор вектора. Циркуляция вектора по замкнутому контуру. Поток вектора через поверхность | Лабораторные | 3 | 16 | ПК-1 | |
| 2.3. | 6. Определение криволинейных интегралов 1-го и 2-го родов. Существование и сведение их к определенным интегралам. Свойства криволинейных интегралов. 7. Формула Грина. Вычисление площадей с помощью криволинейных интегралов. Геометрический смысл знака Якобиана отображения плоской области. Условия независимости криволинейного интеграла от формы пути. Признак точного дифференциала. 8. Понятие поверхности. Параметрически заданные поверхности. Касательная плоскость. Первая квадратичная форма поверхности. Сторона и ориентация поверхности, направляющие косинусы, кусочно-гладкая поверхность. 9. Проектирование поверхности на касательную плоскость. Понятие площади поверхности. Пример Шварца. Квадрируемость гладких поверхностей. 10. Определение поверхностных интегралов 1-го и 2-го родов. Формула Стокса. 11. Формула Гаусса-Остроградского. 12. Элементы векторного анализа. Скалярные и векторные поля, поверхность уровня, векторные линии, градиент, дивергенция и ротор вектора. Циркуляция вектора по замкнутому контуру. Поток вектора через поверхность | Сам. работа | 3 | 68 | Л1.1, Л2.1 | |
| Раздел 3. Функциональные последовательности и ряды | ||||||
| 3.1. | 1. Определения. Сходимость в точке и на множестве. Равномерная сходимость. Критерий Коши. 2. Признаки Вейерштрасса, Абеля и Дирихле. Равномерная сходимость и непрерывность. Теорема Дини. 3. Предельный переход под знаком интеграла и производной. Непрерывность и дифференцируемость функций. 4. Почленное интегрирование и дифференцирование функциональных рядов. 5. Степенные ряды. | Лекции | 3 | 8 | ПК-1 | Л1.1, Л2.1 |
| 3.2. | 1. Определения. Сходимость в точке и на множестве. Равномерная сходимость. Критерий Коши. 2. Признаки Вейерштрасса, Абеля и Дирихле. Равномерная сходимость и непрерывность. Теорема Дини. 3. Предельный переход под знаком интеграла и производной. Непрерывность и дифференцируемость функций. 4. Почленное интегрирование и дифференцирование функциональных рядов. 5. Степенные ряды. | Лабораторные | 3 | 14 | ПК-1 | Л1.1, Л2.1 |
| 3.3. | 1. Определения. Сходимость в точке и на множестве. Равномерная сходимость. Критерий Коши. 2. Признаки Вейерштрасса, Абеля и Дирихле. Равномерная сходимость и непрерывность. Теорема Дини. 3. Предельный переход под знаком интеграла и производной. Непрерывность и дифференцируемость функций. 4. Почленное интегрирование и дифференцирование функциональных рядов. 5. Степенные ряды. | Сам. работа | 3 | 66 | ПК-1 | Л1.1, Л2.1 |
| Раздел 4. Ряды Фурье | ||||||
| 4.1. | 1. Тригонометрический ряд Фурье: определение, свойства коэффициентов, случай произвольного периода, комплексная запись. 2. Теорема Римана о стремлении коэффициентов Фурье к нулю. Формулы для частичных сумм ряда Фурье. Ядро Дирихле и его свойства. 3. Принцип локализации. Сходимость рядов Фурье в точке: признаки Дини, Гельдера; для кусочно-дифференцируемой функции. 4. Минимальной свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. 5. Почленное интегрирование и дифференцирование | Лекции | 3 | 4 | ПК-1 | Л1.1, Л2.1 |
| 4.2. | 1. Тригонометрический ряд Фурье: определение, свойства коэффициентов, случай произвольного периода, комплексная запись. 2. Теорема Римана о стремлении коэффициентов Фурье к нулю. Формулы для частичных сумм ряда Фурье. Ядро Дирихле и его свойства. 3. Принцип локализации. Сходимость рядов Фурье в точке: признаки Дини, Гельдера; для кусочно-дифференцируемой функции. 4. Минимальной свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. 5. Почленное интегрирование и дифференцирование | Лабораторные | 3 | 12 | ПК-1 | Л1.1, Л2.1 |
5. Фонд оценочных средств
| 5.1. Контрольные вопросы и задания для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины |
см. приложение |
| 5.2. Темы письменных работ для проведения текущего контроля (эссе, рефераты, курсовые работы и др.) |
| см. приложение |
| 5.3. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации |
| см. приложение |
| Приложения |
6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
| 6.1. Рекомендуемая литература | ||||
| 6.1.1. Основная литература | ||||
| Авторы | Заглавие | Издательство, год | Эл. адрес | |
| Л1.1 | Кудрявцев Л.Д. | Краткий курс математического анализа. Т.2.: учебник | Физматлит, 2002 | |
| 6.1.2. Дополнительная литература | ||||
| Авторы | Заглавие | Издательство, год | Эл. адрес | |
| Л2.1 | Садовничая И.В., Фоменко Т.Н. | МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 2-е изд., пер. и доп. Учебник и практикум для академического бакалавриата: Гриф УМО ВО | М.:Издательство Юрайт, 2018 | biblio-online.ru |
| 6.1.3. Дополнительные источники | ||||
| Авторы | Заглавие | Издательство, год | Эл. адрес | |
| Л3.1 | А. Н. Саженков, Т. В. Саженкова, Е. А. Плотникова | Интегралы, зависящие от параметра: учеб.-метод. пособие | Изд-во АлтГУ, 2018 | elibrary.asu.ru |
| 6.2. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет" | ||||
| Название | Эл. адрес | |||
| Э1 | Поисковые системы интернета. | |||
| Э2 | Сайт библиотеки АлтГУ: www.lib.asu.ru; | |||
| Э3 | электронно-библиотечная система издательства «Лань»: www.e.lanbook.com; | |||
| Э4 | электронно-библиотечная система "Университетская библиотека online": www.biblioclub.ru; | |||
| Э5 | Курс в Moodle Математический анализ 3 | portal.edu.asu.ru | ||
| Э6 | Курс в Moodle Дополнительные главы по математическому анализу | portal.edu.asu.ru | ||
| 6.3. Перечень программного обеспечения | ||||
| Microsoft Office, Microsoft Windows, 7-Zip, AcrobatReader Microsoft Office 2010 (Office 2010 Professional, № 4065231 от 08.12.2010), (бессрочно); Microsoft Windows 7 (Windows 7 Professional, № 61834699 от 22.04.2013), (бессрочно); Chrome (http://www.chromium.org/chromium-os/licenses), (бессрочно); 7-Zip (http://www.7-zip.org/license.txt), (бессрочно); AcrobatReader (http://wwwimages.adobe.com/content/dam/Adobe/en/legal/servicetou/Acrobat_com_Additional_TOU-en_US-20140618_1200.pdf), (бессрочно); ASTRA LINUX SPECIAL EDITION (https://astralinux.ru/products/astra-linux-special-edition/), (бессрочно); LibreOffice (https://ru.libreoffice.org/), (бессрочно); Веб-браузер Chromium (https://www.chromium.org/Home/), (бессрочно); Антивирус Касперский (https://www.kaspersky.ru/), (до 23 июня 2024); Архиватор Ark (https://apps.kde.org/ark/), (бессрочно); Okular (https://okular.kde.org/ru/download/), (бессрочно); Редактор изображений Gimp (https://www.gimp.org/), (бессрочно) | ||||
| 6.4. Перечень информационных справочных систем | ||||
| 1. Электронная база данных «Scopus» (http://www.scopus.com); 2. Электронная библиотечная система Алтайского государственного университета (http://elibrary.asu.ru/); 3. Научная электронная библиотека elibrary (http://elibrary.ru) | ||||
7. Материально-техническое обеспечение дисциплины
| Аудитория | Назначение | Оборудование |
|---|---|---|
| Учебная аудитория | для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), проведения практик | Стандартное оборудование (учебная мебель для обучающихся, рабочее место преподавателя, доска) |
| Учебная аудитория | для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), проведения практик | Стандартное оборудование (учебная мебель для обучающихся, рабочее место преподавателя, доска) |
| Помещение для самостоятельной работы | помещение для самостоятельной работы обучающихся | Компьютеры, ноутбуки с подключением к информационно-телекоммуникационной сети «Интернет», доступом в электронную информационно-образовательную среду АлтГУ |
8. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
| Основу теоретического обучения студентов составляют лекции. Они дают систематизированные знания студентам о наиболее сложных и актуальных проблемах изучаемой дисциплины. На лекциях особое внимание уделяется не только усвоению студентами изучаемых проблем, но и стимулированию их активной познавательной деятельности, творческого мышления, развитию научного мировоззрения, профессионально-значимых свойств и качеств. Осуществляя учебные действия на лекционных занятиях, студенты должны внимательно воспринимать действия преподавателя, запоминать складывающиеся образы, мыслить, добиваться понимания изучаемого предмета, применения знаний на практике, при решении учебно-профессиональных задач. Подготовленный конспект и рекомендуемая литература используются при подготовке к семинарским и практическим занятиям. Подготовка сводится к внимательному прочтению учебного материала, к решению примеров, задач, к ответам на вопросы. Примеры, задачи, вопросы по теме являются средством самоконтроля. При подготовке к лабораторным практическим занятиям студентам рекомендуется сначала ознакомиться с учебным материалом, изложенным в лекциях и основной литературе, затем выполнить самостоятельные задания, при необходимости обращаясь к дополнительной литературе. Особое внимание при этом необходимо обратить на содержание основных положений и выводов, объяснение явлений и фактов, уяснение практического приложения рассматриваемых теоретических вопросов. В процессе этой работы студент должен стремиться понять и запомнить основные положения рассматриваемого материала, примеры, поясняющие его, разобраться в иллюстративном материале, задачах. |