1. Цели освоения дисциплины
| 1.1. | Данная дисциплина предусмотрена государственным образовательным стандартом и является неотъемлемой частью фундаментальной подготовки студентов-физиков. Роль дисциплины и цель ее изучения обусловлены следующим. Задача дисциплины, понимаемая в широком смысле, заключается в построении и исследовании математических моделей физических процессов и явлений. Среди физических систем в природе преобладают различные поля, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями в частных производных. Наиболее простыми из них являются уравнения электростатики, уравнения теплопроводности и диффузии, волновые уравнения теории упругости для изотропной среды, волновое уравнение нерелятивистской квантовой механики (уравнение Шредингера), уравнение Кортевега – де Фриза. Изучение методов решения этих уравнений (а также краевых задач) и анализ свойств решений составляет содержание данной дисциплины. Изучаемый при этом математический аппарат, – в частности, свойства задач Штурма – Лиувилля; обобщенные функции и метод функций Грина; специальные функции – является универсальным и позволяет решать также и более сложные задачи. В данном курсе даются доказательства ряда свойств уравнений и функций, которые используются в последующих курсах со ссылкой на данную дисциплину; литература по данной дисциплине служит эталоном математически строгого решения физических задач. При изучении уравнений физики в частных производных появляется возможность наполнить ряд понятий математического анализа физическим содержанием. Решения задач по данной дисциплине содержат, как правило, большое число действий. Решение таких задач на практических занятиях и в ходе самостоятельной работы способствует развитию у студента способности решения многоплановых задач. Изучение дисциплины способствует закреплению основных законов и понятий физики, переводу на активный уровень знания математики, освоению методов теоретических исследований в физике в целом. |
|---|
2. Место дисциплины в структуре ООП
| Цикл (раздел) ООП: Б1.В |
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
| ОПК-2 | способностью использовать в профессиональной деятельности базовые знания фундаментальных разделов математики, создавать математические модели типовых профессиональных задач и интерпретировать полученные результаты с учетом границ применимости моделей |
| ОПК-3 | способностью использовать базовые теоретические знания фундаментальных разделов общей и теоретической физики для решения профессиональных задач |
| ПК-1 | способностью использовать специализированные знания в области физики для освоения профильных физических дисциплин |
| В результате освоения дисциплины обучающийся должен | |
| 3.1. | Знать: |
|---|---|
| 3.1.1. | круг задач, для решения которых предназначены методы математической физики; основные методы решения задач, в том числе метод преобразований Фурье, метод характеристик, метод разделения переменных, метод функций Грина; специальные функции и их основные свойства. Качественные свойства решений основных задач математической физики |
| 3.2. | Уметь: |
| 3.2.1. | использовать изученные методы для решения незнакомых задач; делать математическую постановку задач на основе физических формулировок (в рамках материала курса) |
| 3.3. | Иметь навыки и (или) опыт деятельности (владеть): |
| 3.3.1. | навыками решения задач математической физики, в том числе навыками построения математических моделей |
4. Структура и содержание дисциплины
| Код занятия | Наименование разделов и тем | Вид занятия | Семестр | Часов | Компетенции | Литература |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Раздел 1. Линейные дифференциальные уравнения математической физики. Постановка краевых задач | ||||||
| 1.1. | Вывод волнового уравнения, описывающего продольные колебания упругого стержня. Граничные условия 1-го, 2-го и 3-го рода, их физический смысл | Лекции | 5 | 4 | ОПК-2, ОПК-3 | Л2.2, Л1.2, Л1.1, Л2.6 |
| 1.2. | Вывод волнового уравнения для малых колебаний струны | Практические | 5 | 2 | ОПК-2, ОПК-3 | Л2.2, Л1.3, Л1.2, Л1.1 |
| 1.3. | Вывод уравнения теплопроводности в трехмерном пространстве. Граничные условия 1-го, 2-го и 3-го рода, их физический смысл | Лекции | 5 | 4 | ОПК-2, ОПК-3 | Л2.2, Л1.2, Л1.1, Л2.6 |
| 1.4. | Вопросы для повторения: производная по направлению; дифференциальные операторы в сферических и цилиндрических координатах | Сам. работа | 5 | 6 | ОПК-2, ОПК-3 | Л2.2, Л1.3, Л1.2, Л1.1 |
| Раздел 2. Классификация уравнений и приведение их к канонической форме | ||||||
| 2.1. | Обоснование алгоритма приведения уравнений к канонической форме | Лекции | 5 | 2 | ОПК-2, ОПК-3 | Л2.2, Л1.2, Л1.1 |
| 2.2. | Решение уравнений с помощью приведения их к канонической форме | Практические | 5 | 4 | ОПК-2, ОПК-3 | Л2.2, Л2.5, Л1.3, Л1.2, Л1.1 |
| Раздел 3. Задачи Коши для уравнений гиперболического и параболического типов | ||||||
| 3.1. | Свободные колебания бесконечной однородной струны. Формула Даламбера | Практические | 5 | 2 | ОПК-2, ОПК-3 | Л2.2, Л1.3, Л1.2, Л1.1 |
| 3.2. | Метод продолжений (на примере задачи об отражении волны от закрепленного конца полубесконечной однородной струны). Поведение волны на границе раздела двух сред | Практические | 5 | 2 | ОПК-2, ОПК-3 | Л2.2, Л1.3, Л1.2, Л1.1 |
| 3.3. | Задачи Коши | Сам. работа | 5 | 8 | ОПК-2, ОПК-3 | Л2.2, Л1.3, Л1.2, Л1.1, Л2.6 |
| Раздел 4. Метод разделения переменных. Задача Штурма – Лиувилля | ||||||
| 4.1. | Общая схема метода разделения переменных. Одномерная задача Штурма – Лиувилля (Ш – Л). Запись произвольного линейного обыкновенного однородного дифференциального уравнения второго порядка в форме Лиувилля (в самосопряженной форме). Свойства собственных функций (СФ) и собственных значений (СЗ) одномерной задачи Ш – Л. Контрпримеры: задачи на отыскание СФ и СЗ с вырожденными СЗ (задачи с периодическими условиями на границе; многомерные задачи Ш – Л). Доказательство попарной ортогональности СФ. Обобщенные ряды Фурье. Теорема В.А.Стеклова о равномерной сходимости. Сходимость в смысле среднего квадратичного. Задача о свободных колебаниях однородной струны конечной длины | Лекции | 5 | 4 | ОПК-2, ОПК-3 | Л2.2, Л1.2, Л1.1, Л2.6 |
| 4.2. | Решение краевых задач для неоднородных уравнений с однородными граничными условиями методом разложения функций по собственным функциям задачи Штурма – Лиувилля (на примере задачи теплопроводности) | Лекции | 5 | 2 | ОПК-2, ОПК-3 | Л2.2, Л1.2, Л1.1 |
| 4.3. | Задачи Штурма - Лиувилля | Сам. работа | 5 | 7 | ОПК-2, ОПК-3 | Л2.2, Л1.3, Л1.2, Л1.1 |
| Раздел 5. Метод функций Грина решения неоднородных задач | ||||||
| 5.1. | Обобщенные функции. Одномерная четная дельта-функция, ее свойства. Многомерные дельта-функции; выражение их через одномерные в декартовых и криволинейных координатах. Несимметричные дельта-функции. Запись плотностей источников с помощью дельта-функций. Дифференцирование функций, имеющих изломы и разрывы. | Лекции | 5 | 2 | ОПК-2, ОПК-3 | Л2.3, Л1.2, Л1.1 |
| 5.2. | Дельта-функция. | Практические | 5 | 4 | ОПК-2, ОПК-3 | Л2.3, Л1.3, Л1.2, Л1.1 |
| 5.3. | Принцип суперпозиции для решений линейных уравнений. Решение задач теплопроводности в бесконечной среде методом функций Грина. | Лекции | 5 | 4 | ОПК-2, ОПК-3 | Л2.2, Л1.2, Л1.1 |
| 5.4. | Стационарная задача теплопроводности в бесконечной однородной среде при наличии точечного источника тепла | Практические | 5 | 2 | ОПК-2, ОПК-3 | Л2.2 |
| 5.5. | Решение задачи Коши для нестационарных неоднородных одномерных уравнений методом функций Грина. Метод построения функций Грина | Практические | 5 | 2 | ОПК-2, ОПК-3 | Л2.2, Л2.3, Л1.3, Л1.2, Л1.1 |
| 5.6. | Решение одномерных начально-краевых задач для неоднородных уравнений методом функций Грина. Ряд по собственным функциям задачи Штурма – Лиувилля для функции Грина | Сам. работа | 5 | 8 | ОПК-2, ОПК-3 | Л2.3, Л1.3, Л1.2, Л1.1 |
| Раздел 6. Специальные функции. Общие свойства | ||||||
| 6.1. | Дифференциальные уравнения для специальных функций. Теоремы о поведении решений вблизи конечной и бесконечной особых точек. Задачи Штурма – Лиувилля с естественными условиями на границе. Свойства собственных функций и собственных значений. Гамма-функция. | Лекции | 5 | 2 | ОПК-2, ОПК-3 | Л2.2, Л2.1, Л1.2, Л1.1 |
| 6.2. | Запись уравнений Лежандра, Лагерра, Эрмита, Бесселя в самосопряженной форме. Особые точки уравнений. Естественные условия на границе. Взаимная ортогональность собственных функций. | Практические | 5 | 4 | ОПК-2, ОПК-3 | Л2.2, Л1.3, Л1.2, Л1.1 |
| 6.3. | Дифференциальные уравнения с особыми точками | Сам. работа | 5 | 6 | ОПК-2, ОПК-3 | Л2.2, Л1.3, Л1.2, Л1.1 |
| Раздел 7. Цилиндрические функции. Краевые задачи для уравнения Гельмгольца | ||||||
| 7.1. | Уравнение Бесселя; пара линейно независимых решений при нецелых и целых значениях параметра уравнения. Асимптотика функций Бесселя и Неймана при больших значениях аргумента. Функции Ханкеля. Нули функций Бесселя. Интегральные представления функций Бесселя. | Лекции | 5 | 4 | ОПК-2, ОПК-3 | Л2.2, Л1.2, Л1.1 |
| 7.2. | Модифицированные цилиндрические функции, их поведение при малых и больших значениях аргумента. | Практические | 5 | 2 | ОПК-2, ОПК-3 | Л2.2, Л1.3, Л1.2, Л1.1 |
| 7.3. | Цилиндрические функции | Сам. работа | 5 | 8 | ОПК-2, ОПК-3 | Л2.2, Л1.3, Л1.2, Л1.1 |
| Раздел 8. Сферические функции. Краевые задачи для уравнения Лапласа | ||||||
| 8.1. | Уравнения гипергеометрического типа. Условие существования полиномиального решения. Задача Штурма – Лиувилля с естественными условиями на границах для уравнения Лежандра. Построение полиномиальных решений. Свойства полиномов Лежандра. Доказательство полноты системы полиномов Лежандра относительно функций, ограниченных на отрезке [-1,1]. Доказательство того, что задача Штурма – Лиувилля с естественными условиями для уравнения Лежандра не имеет других СЗ и СФ, кроме λ=n(n+1), y(x)=Pn(x). Разложение функций в ряд по полиномам Лежандра; равномерная сходимость и сходимость в смысле среднего квадратичного. Производящая функция полиномов Лежандра. Разложение кулоновского потенциала по мультиполям | Лекции | 5 | 4 | ОПК-2, ОПК-3 | Л2.2, Л1.2, Л1.1, Л2.6 |
| 8.2. | Внутренняя задача Дирихле с азимутально-симметричным граничным условием на сфере | Практические | 5 | 4 | ОПК-2, ОПК-3 | Л2.2, Л2.5, Л1.3, Л1.1 |
| 8.3. | Решение неоднородного уравнения Лежандра. | Практические | 5 | 2 | ОПК-2, ОПК-3 | Л2.2, Л2.5, Л1.3, Л1.1 |
| 8.4. | Обобщенное уравнение Лежандра, присоединенные функции Лежандра. Сферические функции. Формула сложения для полиномов Лежандра | Практические | 5 | 4 | ОПК-2, ОПК-3 | Л2.2, Л1.2, Л1.1 |
| 8.5. | Сферические функции | Сам. работа | 5 | 4 | ОПК-2, ОПК-3 | Л2.2, Л1.3, Л1.2, Л1.1 |
| Раздел 9. Дисперсия волн. Нелинейные уравнения математической физики | ||||||
| 9.1. | Дисперсия волн. Телеграфное уравнение | Практические | 5 | 2 | ОПК-2, ОПК-3 | Л2.1, Л1.2, Л1.1 |
| 9.2. | Процессы, изменяющие свойства среды, в которой они протекают | Сам. работа | 5 | 6 | ОПК-2, ОПК-3 | Л2.1, Л1.3, Л1.2, Л1.1 |
| 9.3. | Волны на мелкой воде. Уравнение Кортевега – де-Фриза. Учет нелинейности, решение уравнения Римана. Укручение переднего фронта и опрокидывание волны. Решение линейного уравнения при наличии дисперсии. Одновременный учет нелинейности и дисперсии. Солитоны. | Практические | 5 | 2 | ОПК-2, ОПК-3 | Л2.1, Л1.2, Л1.1, Л2.6 |
| 9.4. | Уравнение нелинейной теплопроводности и его решения. Тепловые волны. Режимы горения. | Сам. работа | 5 | 6 | ОПК-2, ОПК-3 | Л2.1, Л1.3, Л1.2, Л1.1, Л2.6 |
| 9.5. | Нелинейности в электродинамике, обусловленные поляризацией среды. Уравнения теории гравитации, физическая причина их нелинейности. | Сам. работа | 5 | 6 | ОПК-2, ОПК-3 | Л2.1, Л2.4, Л1.3, Л1.2, Л1.1 |
| Раздел 10. Метод конечных разностей | ||||||
| 10.1. | Разностные методы решения дифференциальных уравнений. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольнике. Неявные разностные схемы. Аппроксимация и устойчивость. | Сам. работа | 5 | 6 | ОПК-2, ОПК-3 | Л2.2, Л2.1, Л1.3, Л1.2, Л1.1 |
| 10.2. | Метод прогонки. Итерационные схемы решения задач. | Сам. работа | 5 | 6 | ОПК-2, ОПК-3 | Л2.2, Л2.1, Л1.2, Л1.1 |
| 10.3. | Численное решение задачи теплопроводности с подвижной границей. | Сам. работа | 5 | 6 | ОПК-2, ОПК-3 | Л2.2, Л1.3, Л1.2, Л1.1 |
| 10.4. | Экзамен | 5 | 27 | ОПК-2, ОПК-3 | Л1.3, Л1.2, Л1.1 | |
5. Фонд оценочных средств
| 5.1. Контрольные вопросы и задания для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины |
| Примеры заданий закрытого типа (Обозначения: * - знак умножения, ^ - возведение в степень; x0 - это x с индексом 0; U'x - частная производная по x, U''xy - смешанная частная производная второго порядка; пи - число "пи") 1. Дано уравнение U''xx+6U''xy+9U''yy=0. (*) Пусть a,b - новые независимые переменные. Которое из приведенных ниже уравнений является канонической формой уравнения (*)? а) U''bb=0 б) U''ab=0 в) U''aa+U''bb=0 г) U''aa-U''bb=0 Ответ: а. 2. Рассматривается задача теплопроводности для функции T(x,y,z,t) в некоторой области с границей G. Выберите все правильные утверждения а) Граничное условие первого рода содержит саму неизвестную функцию T, заданную на границе. б) Граничное условие второго рода содержит производную по нормали к границе от функции T. в) Граничное условие третьего рода содержит линейную комбинацию функции T и ее производной по нормали к границе. г) Если граничное условие содержит производную, то его следует решать как дифференциальное уравнение. Ответ: абв. 3. Количество теплоты, протекающее за единицу времени через малую площадку, расположенную в точке (x,y,z), зависит от (выберите три правильных ответа): а) температуры в этой точке б) градиента температуры в этой точке в) ориентации площадки г) результата действия оператора Лапласа на температуру д) коэффициента теплопроводности материала е) плотности материала ж) удельной теплоемкости материала Ответ: бвд. 4. Сколько неопределенных функций содержит общее решение дифференциального уравнения теплопроводности для температуры T(x,y,z,t) в трехмерной среде (выберите правильный ответ) а) одну б) две в) три г) четыре Ответ: б. 5. Продольные колебания упругого стержня описываются функцией U(x,t) (U(x,t) - отклонение от равновесия точки x на момент t). Конец стержня x=0 закреплен. Как выглядит граничное условие в точке x=0? а) U(0,0)=0 б) U't(0,t)=0 в) U(0,t)=0 г) U'x(0,t)=0 Ответ: в. 6. Продольные колебания упругого стержня описываются функцией U(x,t) (U(x,t) - отклонение от равновесия точки x на момент t). Конец стержня x=0 свободен. Как выглядит граничное условие в точке x=0? а) U(0,t)=0 б) U't(0,t)=0 в) U'x(0,0)=0 г) U'x(0,t)=0 Ответ: г. 7. Температура в стержне описывается функцией T(x,t). Конец стержня x=0 теплоизолирован. Как выглядит граничное условие в точке x=0? а) T(0,t)=0 б) T'x(0,t)=0 в) T't(0,t)=0 г) T'x(0,0)=0 Ответ: б. 8. Функция U(x,t) описывает продольные колебания упругого стержня длиной l (U(x,t) - отклонение от равновесия точки x на момент t). Известно, что конец стержня x=l свободен. Какой вид может иметь функция U(x,t)? (Выберите два правильных ответа; f(t) - некоторая функция) а) f(t)*sin(пи*x/l) б) f(t)*cos(пи*x/l) в) f(t)*sin(пи*x/2l) г) f(t)*cos(пи*x/2l) Ответ: бв. 9. Пусть T(x,t) - температура в точке x стержня длиной l в момент t. Известно, что конец стержня x=l теплоизолирован. Какой вид может иметь функция T(x,t)? (Выберите два правильных ответа; f(t) - некоторая функция) а) f(t)*cos(2*пи*x/l) б) f(t)*sin(пи*x/2l) в) f(t)*sin(2*пи*x/l) г) f(t)*cos(пи*x/4l) Ответ: аб. 10. Как называется метод решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений, в котором используется решение вспомогательного уравнения с точечным (мгновенным) источником? а) метод разделения переменных б) метод рядов Фурье в) метод функций Грина г) приведение уравнения к канонической форме Ответ: в. 11. Как называется обобщенная функция, равная бесконечности в некоторой точке x=a и нулю во всех остальных точках, интеграл от которой по любому интервалу, содержащему точку a, равен 1? а) альфа-функция б) бета-функция в) гамма-функция г) дельта-функция д) функция Хевисайда Ответ: г. 12. Откуда следует, что интеграл от одномерной дельта-функции по всей действительной оси равен 1? (выберите один правильный ответ) а) Это - теорема, которая доказывается путем построения интегральных сумм и перехода к пределу разбиения оси x на отрезки, длина которых стремится к нулю б) Это - часть определения дельта-функции в) Это доказывается путем интегрирования по частям г) Это можно проверить по графику путем подсчета площади под кривой Ответ: б. 13. Дана функция: H(x)=0 при x<0, H(0)=1/2 и H(x)=1 при x>0. Чему равна производная dH(x)/dx? (выберите один правильный ответ) а) тождественный нуль б) симметричная дельта-функция от x в) так как эта функция имеет разрыв в точке x=0, то ни в одном из разделов математики дифференцирование такой функции не определено г) символ Кронекера Ответ: б. 14. Найдите значение гамма-функции Г(x) в точке x=4. а) 2 б) 4 в) 6 г) 8 Ответ: в. 15. Как называется уравнение x^2*y''+x*y'+(x^2-n^2)=0 (n - константа)? а) уравнение Бесселя б) уравнение Лежандра в) уравнение Лагерра г) уравнение Эрмита Ответ: а. 16. Дано уравнение Бесселя (x*y')'+(x-n^2/x)y=0 (здесь штрих означает производную по x). Как выглядит естеcтвенное условие на границе для задачи в области [0, +бесконечность)? а) y(0) конечно б) найдутся такие числа A>0 и k, что при больших x |y(x)|<A*x^k в) на бесконечности y=0 г) y(0)=0 Ответ: а. 17. Какие функции являются решениями уравнения x^2*y''+x*y'+(x^2-n^2)=0 (n - константа)? (Укажите 4 правильных ответа) а) сферические функции б) функция Бесселя в) функция Неймана г) вырожденная гипергеометрическая функция д) функции Ханкеля е) цилиндрические функции Ответ: бвде. КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ: каждое задание оценивается 1 баллом. Итоговая оценка: "отлично" - верно выполнено 85-100% заданий; "хорошо" - 70-84% заданий; "удовлетворительно" - верно выполнено 51-69% заданий: "неудовлетворительно" - верно выполнено 50% или менее 50% заданий. Примеры заданий открытого типа (Обозначения: * - знак умножения, ^ - возведение в степень; x0 - это x с индексом 0; U'x - частная производная по x, U''xy - смешанная частная производная второго порядка; пи - число "пи") 1. Неопределенные величины какого типа (константы, функции) и в каком количестве содержатся в общем решении дифференциального уравнения в частных производных порядка n? Ответ: общее решение уравнения в частных производных порядка n содержит n неопределенных функций. 2. Пусть A(x,y), B(x,y) - известные функции. Дано линейное однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка в частных производных относительно функции U(x,y): A*U'x+B*U'y=0. Приведите дифференциальное уравнение характеристик. Ответ: y'(x)=B/A, или dy/dx=B/A, или Bdx=Ady, или dx/A=dy/B. 3. Пусть A(x,y), B(x,y) - известные функции. Дано линейное однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка в частных производных относительно функции U(x,y): A*U'x+B*U'y=0 (*) Известно общее решение соответствующего уравнения характеристик: f(x,y)=C. Укажите частное решение уравнения (*). Ответ: U=f(x,y). 4. Пусть A(x,y), B(x,y) - известные функции. Дано линейное однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка в частных производных относительно функции U(x,y): A*U'x+B*U'y=0 (*) Известно общее решение соответствующего уравнения характеристик: f(x,y)=C. Укажите ОБЩЕЕ решение уравнения (*). Ответ: U=F[f(x,y)], где F(z) - неопределенная функция. 5. Пусть A(x,y), B(x,y) - известные функции. Приведите алгоритм решения линейного однородного дифференциального уравнения 1-го порядка в частных производных относительно функции U(x,y) A*U'x+B*U'y=0 (*) методом характеристик. Ответ: найти общее решение уравнения характеристик y'(x)=B/A, записать это решение в неявной форме f(x,y)=C. U(x,y)=f(x,y) - частное решение уравнения (*); U(x,y)=F[f(x,y)] - общее решение, где F(z) - неопределенная функция. 6. Приведите алгоритм упрощения уравнения типа A(x,y)*U'x+B(x,y)*U'y=F(x,y,U) (*) с помощью замены независимых переменных. Ответ: найти общее решение уравнения характеристик y'(x)=B/A, записать это решение в виде f(x,y)=C; ввести новые независимые переменные a,b: a=f(x,y), b=g(x,y), где функция g(x,y) - любая, независимая по отношению к f(x,y) (условие независимости: якобиан J(f,g) отличен от 0). 7. Приведите дифференциальное уравнение переноса для функции U(x,t). Ответ: U't+a*U'x=0. 8. Дано уравнение A*U''xx+2B*U''xy+C*U''yy=F(x,y,U,U'x,U'y). Укажите дискриминант d этого уравнения. Ответ: d=B^2-A*C. 9. Дано уравнение U''xx+2*U''xy+U''yy=0. Найдите дискриминант d и определите тип уравнения. Ответ: d=0; тип параболический. 10. Дано уравнение U''xx+U''xy+U''yy=0. Найдите дискриминант d и определите тип уравнения. Ответ: d=-3/4; тип эллиптический. 11. Дано уравнение U''xx+2*U''xy-U''yy=0. Найдите дискриминант d и определите тип уравнения. Ответ: d=2; тип гиперболический. 12. Дано уравнение U''xx+2*U''xy-3*U''yy=0. Приведите дифференциальные уравнения характеристик. Ответ: 1) dy/dx=3; 2) dy/dx=-1. 13. Дано уравнение A*U''xx+2B*U''xy+C*U''yy=F(x,y,U,U'x,U'y). (*) Известно, что в той области, в которой необходимо найти решение, дискриминант уравнения d>0. Кратко изложите алгоритм приведения уравнения к одной из канонических форм. Ответ: найти общие интегралы f(x,y)=C, g(x,y)=C уравнений характеристик. Перейти в уравнении (*) к новым независимым переменным a=f(x,y), b=g(x,y). 14. Приведите дифференциальное волновое уравнение для функции U(x,t) (x - координата, t - время). Известно, что скорость бегущих волн постоянна и равна a. Ответ: U''tt=a^2*U''xx. 15. Приведите дифференциальное уравнение для функции U(x,t), описывающей малые поперечные колебания струны. Линейная плотность струны R, сила натяжения T, линейная плотность внешней силы F(x,t). Ответ: R*U''tt=T*U''xx+F. 16. Приведите дифференциальное уравнение теплопроводности для температуры T(x,y,z,t) в случае однородной среды с плотностью R, удельной теплоемкостью C, коэффициентом теплопроводности k при наличии источников тепла с объемной плотностью F(x,y,z,t). Ответ: C*R*T't=k*(T''xx+T''yy+T''zz)+F. (Дифференциальный оператор в скобке можно заменить оператором Лапласа.) 17. Сколько начальных условий содержит задача Коши для уравнения теплопроводности и сколько - задача Коши о колебаниях упругой среды? Ответ: задача теплопроводности содержит одно начальное условие, а задача о колебаниях среды (как и любая механическая задача) - два начальных условия. 18. Как свести задачу теплопроводности в стержне длиной l T't=a^2*T''xx, T(0,t)=A(t), T(l,t)=B(t), T(x,0)=f(x) к задаче с нулевыми граничными условиями? Ответ: сделать подстановку T(x,t)=V+W, где V(x,y) - новая неизвестная функция, а W(x,y) - любая функция (например, линейная по x), удовлетворяющая условиям W(0,t)=A(t), W(l,t)=B(t). Следует вывести дифференциальное уравнение и начальное условие для V(x,y); граничные же условия будут нулевыми: V(0,t)=0, V(l,t)=0. 19. Перечислите этапы решения задачи о свободных малых колебаниях в одной плоскости однородной струны длиной l с закрепленными концами с заданными начальными условиями. Ответ: 1) Cделать математическую постановку задачи: записать волновое дифференциальное уравнение U''tt=a^2*U''xx, граничные условия U(0,t)=0, U(l,t)=0; начальные условия U(x,0)=f(x), U't(x,0)=g(x) (f, g - известные функции). 2) Сделать подстановку U(x,t)=Y(x)*Z(t), разделить переменные, вывести дифференциальные уравнения для Y(x), Z(t). 3) Вывести граничные условия для Y(x): Y(0)=0, Y(l)=0. 4) Найти все собственные значения и все линейно независимые собственные функции Yn(x) (n=1,2,3...) задачи Штурма - Лиувилля для Y(x). 5) Найти соответствующие решения Zn(t) уравнения для Z(t). Найти частные решения исходного уравнения Un(x,t)=Yn(x)*Zn(t) и общее решение в виде линейной комбинации частных решений. 6) Найти коэффициенты линейной комбинации путем учета начальных условий и используя свойство ортогональности функций Yn(x). 20. Дано дифференциальное уравнение (a1*x^2+a2*x+a3)*y''+(b1*x+b2)*y'+c*y=0, где a1, a2, a3, b1, b2, c - константы. 1) К какому типу относится это уравнение? 2) Охарактеризуйте одно из двух линейно независимых решений этого уравнения при c=-n*[b1+a1*(n-1)]. Ответ: уравнение гипергеометрического типа; многочлен (полином) степени n. 21. Дано уравнение (1-x^2)y'' - 2*x*y' + a*y(x)=0 (a - константа). (Самосопряженная форма записи этого уравнения: [(1-x^2)*y']'+ a*y=0; здесь штрих означает производную по x.) 1) Как называется это уравнение? 2) Укажите особые точки уравнения. 3) Приведите естественные условия в этих особых точках. 4) Укажите собственные значения задачи Штурма - Лиувилля для этого уравнения с естественными условиями. 5) Как называются, как обозначаются соответствующие собственные функции? Ответ: 1) уравнение Лежандра; 2) +1, -1; 3) y(1) конечно, y(-1) конечно; 4) a=n*(n+1), где n - целые неотрицательные числа; 5) полиномы Лежандра, Pn(x). 22. Чему равен интеграл по отрезку [-1,1] от произведения полиномов Лежандра Pn(x)*Pk(x), если n не равно k? Как называется это свойство? Ответ: нулю; ортогональность на отрезке [-1,1] с единичным весом. 23. Дано уравнение x*y''+(1-x)*y'+a*y=0 (a - константа). (Самосопряженная форма записи этого уравнения: [x*exp(-x)*y']'+ a*exp(-x)*y=0; здесь штрих означает производную по x.) 1) Как называется это уравнение? 2) Укажите особые точки уравнения. 3) Приведите естественные условия в этих особых точках. 4) Укажите собственные значения задачи Штурма - Лиувилля для этого уравнения с естественными условиями. 5) Как называются, как обозначаются соответствующие собственные функции? Ответ: 1) уравнение Лагерра; 2) 0, +бесконечность; 3) y(0) конечно; найдутся такие числа A>0 и k, что при достаточно больших x |y(x)|<A*x^k; 4) a=n - целые неотрицательные числа; 5) полиномы Лагерра, Ln(x). 24. Дано уравнение y'' - 2x*y'+ a*y=0 (a - константа). (Самосопряженная форма записи этого уравнения: [exp(-x^2)*y']'+ a*exp(-x^2)*y=0; здесь штрих означает производную по x.) 1) Как называется это уравнение? 2) Укажите особые точки уравнения. 3) Приведите естественные условия в этих особых точках. 4) Укажите собственные значения задачи Штурма - Лиувилля для этого уравнения с естественными условиями. 5) Как называются, как обозначаются соответствующие собственные функции? Ответ: 1) уравнение Эрмита; 2) +бесконечность, -бесконечность; 3) найдутся такие числа A1>0, A2>0, k1, k2, что при достаточно больших x>0 |y(x)|<A1*x^k1; при x<0 при достаточно больших |x| |y(x)|<A2*x^k2; 4) a=2*n, где n - целые неотрицательные числа; 5) полиномы Эрмита, Hn(x). 25. Дано уравнение (1-x^2)*y'' - 2*x*y'- [m^2/(1-x^2)]*y + a*y=0 (m - целое, a - произвольная константа). (Самосопряженная форма записи этого уравнения: [(1-x^2)*y']' - [m^2/(1-x^2)]*y + a*y=0; здесь штрих означает производную по x.) 1) Как называется это уравнение? 2) Укажите особые точки уравнения. 3) Приведите естественные условия в этих особых точках. 4) Укажите собственные значения задачи Штурма - Лиувилля для этого уравнения с естественными условиями. 5) Как называются, как обозначаются соответствующие собственные функции? Ответ: 1) обобщенное уравнение Лежандра; 2) +1, -1; 3) y(1) конечно, y(-1) конечно; 4) a=n*(n+1), где n - целые неотрицательные числа; 5) присоединенные функции Лежандра, Pn^(m)(x). КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ: каждое задание оценивается 1 баллом. Итоговая оценка: "отлично" - верно выполнено 85-100% заданий; "хорошо" - 70-84% заданий; "удовлетворительно" - верно выполнено 51-69% заданий: "неудовлетворительно" - верно выполнено 50% или менее 50% заданий. |
| 5.2. Темы письменных работ для проведения текущего контроля (эссе, рефераты, курсовые работы и др.) |
| Не предусмотрено. |
| 5.3. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации |
| 1. Решение уравнения в частных производных первого порядка методом характеристик. 2. Классификация уравнений 2-го порядка в частных производных с двумя независимыми переменными. Канонические формы уравнений. Алгоритм приведения уравнения к канонической форме. 3. Обоснование алгоритма приведения уравнений к канонической форме. 4. Вывод дифференциального уравнения, описывающего продольные колебания упругого стержня. Граничные условия 1-го рода. 5. Вывод дифференциального уравнения, описывающего малые поперечные колебания струны. 6. Вывод трехмерного уравнения теплопроводности. Граничные условия 1-го рода. 7. Вывод граничных условий 2-го и 3-го рода для обоих концов упругого стержня. Вывод граничных условий 2-го и 3-го рода для трехмерной задачи теплопроводности. 8. Вывод формулы Даламбера для колебаний бесконечной однородной струны. 9. Решение задачи теплопроводности для однородного бесконечного стержня. 10. Решение задачи о колебании полубесконечной струны методом продолжений. 11. Решение задачи о колебании струны конечной длины методом разделения переменных. 12. Одномерная задача Штурма - Лиувилля, свойства ее решений. 13. Решение задачи для неоднородного уравнения теплопроводности с однородными граничными условиями. 14. Метод решения краевых задач с неоднородными граничными условиями 1-го рода. 15. Одномерная чётная дельта-функция: определение, свойства, примеры применения. 16. Многомерная чётная дельта-функция: определение, связь с одномерной дельта-функцией, примеры записи объёмных плотностей. 17. Принцип суперпозиции для решений линейных уравнений. Метод функций Грина для бесконечной среды. 18. Стационарная задача теплопроводности в бесконечной однородной среде при наличии точечного источника тепла. 19. Дифференциальные уравнения для специальных функций. Метод приведения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка к самосопряженной форме. Сравнение поведения линейно независимых решений вблизи особых точек. 20. Задачи Штурма - Лиувилля с естественными условиями на границе. Свойства собственных функций и собственных значений. 21. Уравнение Бесселя, его общее решение. Поведение функций Бесселя и Неймана при 0<x<<1 и при x>>1. Функции Ханкеля. 22. Решение задачи о свободных колебаниях круглой мембраны. 23. Модифицированные цилиндрические функции In(x), Kn(x), их поведение при x>>1 и 0<x<<1. 24. Уравнения гипергеометрического типа. Вывод условия существования полиномиального решения. Формула Родрига. Полиномы Лежандра, их основные свойства. Разложение кулоновского потенциала по мультиполям. 25. Приведение уравнений Лежандра, Лагерра и Эрмита к самосопряженной форме. Задачи Штурма - Лиувилля с естественными условиями на границах для этих уравнений. Их собственные функции и собственные значения. Ортогональность собственных функций. Разложение произвольных функций в ряд по полиномам Лежандра, Лагерра и Эрмита. 26. Решение внутренней задачи Дирихле с азимутально-симметричным граничным условием на сфере. 27. Присоединенные функции Лежандра и сферические функции. 28. Решение внутренней задачи Дирихле с граничным условием на сфере при отсутствии азимутальной симметрии. Примеры задач к экзамену 1. Однородный стержень длины l расположен горизонтально. Конец стержня x=0 свободен, а конец x=l закреплен. Стержень находился в равновесии. В начальный момент точкам стержня сообщили скорости cos(пи x/2l). Найдите закон движения точек стержня U(x,t). 2. Имеется однородный стержень длины l. Конец x = 0 стержня поддерживается при нулевой температуре, а конец x=l теплоизолирован. Начальное распределение температуры T(x,0)=sin(пи x/2l). Найдите температуру T(x,t). 3. Дано уравнение Uxx + 2Uxy + Uyy = 0. Определите тип уравнения, приведите к канонической форме и найдите общее решение U(x,y). |
| Приложения |
|
Приложение 1.
ФОС_Лин_и_нелин-2020.doc
|
6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
| 6.1. Рекомендуемая литература | ||||
| 6.1.1. Основная литература | ||||
| Авторы | Заглавие | Издательство, год | Эл. адрес | |
| Л1.1 | Владимиров В.С., Жаринов В.В. | Уравнения математической физики: учебник | М.: Физматлит // ЭБС "Университетская библиотека ONLINE", 2017, 2000 | https: //biblioclub.ru/index.php?page=book&id=68126 |
| Л1.2 | Карчевский М.М. | Лекции по уравнениям математической физики: учебное пособие | СПб.: Лань // ЭБС "Лань", 2017, 2016 | e.lanbook.com |
| Л1.3 | Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. | Сборник задач по математической физике: | М.: ФИЗМАТЛИТ // ЭБС "Университетская библиотека ONLINE", 2017, 2004 | biblioclub.ru |
| 6.1.2. Дополнительная литература | ||||
| Авторы | Заглавие | Издательство, год | Эл. адрес | |
| Л2.1 | А.Г. Свешников, А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов | Лекции по математической физике: учеб. пособие для вузов | М.: Изд-во МГУ, 2004 | |
| Л2.2 | А.Н. Тихонов, А.А.Самарский | Уравнения математической физики: учеб. для вузов | М.: Изд-во МГУ, 2004 | |
| Л2.3 | Комаров С.А., Щербинин В.В. | Методы математической физики: Учебное пособие | Изд-во АлтГУ, 2013 | |
| Л2.4 | Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц | Теоретическая физика. Т.8 : Электродинамика сплошных сред: учеб. пособие для вузов | М. : Наука, 1982 | |
| Л2.5 | Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. | Сборник задач по математической физике: | М.: Наука, 1972 | |
| Л2.6 | Захаров Е.В., Дмитриева И.В., Орлик С.И. | Уравнения математической физики: учебник | М.: Академия, 2010 | |
| 6.2. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет" | ||||
| Название | Эл. адрес | |||
| Э1 | Научно-образовательный сайт Института проблем механики РАН «EqWorld – Мир математических уравнений». | http://eqworld.ipmnet.ru/indexr.htm http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library.htm http://mechmath.ipmnet.ru/ | ||
| Э2 | Электронная библиотека механико-математического факультета МГУ (возможно только чтение; число страниц каждой книги, прочитанных за день, ограничено; для получения доступа к достаточному числу страниц нужно зарегистрироваться на сайте). | lib.mexmat.ru | ||
| Э3 | Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики [Электронный ресурс] // URL: http://lib.mexmat.ru/books/2783 (дата обращения 27.03.2011). | |||
| Э4 | Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике [Электронный ресурс] // URL: http://lib.mexmat.ru/books/2693 (дата обращения 27.03.2011). | |||
| Э5 | Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике [Электронный ресурс] // URL: http://lib.mexmat.ru/books/27255 (дата обращения 27.03.2011). | |||
| Э6 | Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции [Электронный ресурс] // URL: http://lib.mexmat.ru/books/12767 (дата обращения 27.03.2011). | |||
| Э7 | Бицадзе А.В. Уравнения математической физики [Электронный ресурс] // URL: http://lib.mexmat.ru/books/7134 (дата обращения 27.03.2011). | |||
| Э8 | Владимиров В.С. Уравнения математической физики [Электронный ресурс] // URL: http://lib.mexmat.ru/books/2791 (дата обращения 27.03.2011). | |||
| Э9 | Годунов С.К. Уравнения математической физики [Электронный ресурс] // URL: http://lib.mexmat.ru/books/43675 (дата обращения 27.03.2011). | |||
| Э10 | Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики [Электронный ресурс] // URL: http://lib.mexmat.ru/books/1975 (дата обращения 27.03.2011). | |||
| Э11 | Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики [Электронный ресурс] // URL: http://lib.mexmat.ru/books/2051 (дата обращения 27.03.2011). | |||
| Э12 | Соболев С.Л. Уравнения математической физики [Электронный ресурс] // URL: http://lib.mexmat.ru/books/2775 (дата обращения 27.03.2011). | |||
| Э13 | Электронно-библиотечная система издательства «Лань». Доступ для чтения - из сети университета. В частности, есть учебник Н.Н. Лебедева «Специальные функции и их приложения» (издание 2010 г.). | e.lanbook.com | ||
| Э14 | Курс в Moodle "Линейные и нелинейные уравнения физики" | portal.edu.asu.ru | ||
| 6.3. Перечень программного обеспечения | ||||
| Специального программного обеспечения не требуется.Microsoft Office 2010 (Office 2010 Professional, № 4065231 от 08.12.2010), (бессрочно); Microsoft Windows 7 (Windows 7 Professional, № 61834699 от 22.04.2013), (бессрочно); Chrome (http://www.chromium.org/chromium-os/licenses), (бессрочно); 7-Zip (http://www.7-zip.org/license.txt), (бессрочно); AcrobatReader (http://wwwimages.adobe.com/content/dam/Adobe/en/legal/servicetou/Acrobat_com_Additional_TOU-en_US-20140618_1200.pdf), (бессрочно); ASTRA LINUX SPECIAL EDITION (https://astralinux.ru/products/astra-linux-special-edition/), (бессрочно); LibreOffice (https://ru.libreoffice.org/), (бессрочно); Веб-браузер Chromium (https://www.chromium.org/Home/), (бессрочно); Антивирус Касперский (https://www.kaspersky.ru/), (до 23 июня 2024); Архиватор Ark (https://apps.kde.org/ark/), (бессрочно); Okular (https://okular.kde.org/ru/download/), (бессрочно); Редактор изображений Gimp (https://www.gimp.org/), (бессрочно) | ||||
| 6.4. Перечень информационных справочных систем | ||||
| Информационных справочных систем не требуется. | ||||
7. Материально-техническое обеспечение дисциплины
| Аудитория | Назначение | Оборудование |
|---|---|---|
| Учебная аудитория | для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), проведения практик | Стандартное оборудование (учебная мебель для обучающихся, рабочее место преподавателя, доска) |
| Учебная аудитория | для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), проведения практик | Стандартное оборудование (учебная мебель для обучающихся, рабочее место преподавателя, доска) |
| Помещение для самостоятельной работы | помещение для самостоятельной работы обучающихся | Компьютеры, ноутбуки с подключением к информационно-телекоммуникационной сети «Интернет», доступом в электронную информационно-образовательную среду АлтГУ |
8. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
| Указания общего характера Чтобы учеба не была пустой тратой времени, необходимо добиваться полной ясности по каждому вопросу. Непонятные моменты нужно отмечать и при случае спрашивать у преподавателя. К практическим занятиям нужно готовиться: просмотреть конспект лекции по теме занятия, решить задачи, если они были заданы. Так как почти все темы взаимосвязаны, даже одно пропущенное занятие сильно затрудняет изучение дальнейшего материала. Поэтому нужно посещать все занятия, а в случае пропуска разобраться в пропущенном материале до следующего занятия. При изучении предмета нужно стремиться к тому, чтобы материал складывался в целостную картину, с единым набором понятий, терминов, методов, уравнений, формул, обозначений. Единство предмета нужно учитывать и при подготовке к сдаче экзамена: при поиске (например, в Интернете) вопросов по отдельности получается, как правило, бессвязная картина. Изучая предмет, нужно прочитать, желательно – полностью, хотя бы один учебник. |