1. Цели освоения дисциплины
| 1.1. | обучение основным понятиям и методам теории обыкновенных дифференциальных уравнений, являющихся одним из мощных средств для анализа явлений и процессов различной природы и разработки эффективных математических методов решения задач естествознания, техники, экономики и управления; овладение основными понятиями теории дифференциальных уравнений и методами качественного исследования и решения уравнений и систем уравнений; ознакомление студентов с начальными навыками математического моделирования |
|---|
2. Место дисциплины в структуре ООП
| Цикл (раздел) ООП: Б1.О.04 |
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
| ОПК-1 | Способен применять базовые знания в области физики и радиофизики и использовать их в профессиональной деятельности, в том числе в сфере педагогической деятельности; |
| ОПК-1.1 | Обладает базовыми знаниями, полученными в областях физики, радиофизики, а также в областях математических и естественных наук |
| ОПК-1.2 | Умеет применять и синтезировать знания из различных областей физики и радиофизики в профессиональной деятельности. |
| ОПК-1.3 | Имеет навыки выбора математических и/или физических методов решения задач профессиональной деятельности, в том числе в сфере педагогической деятельности. |
| В результате освоения дисциплины обучающийся должен | |
| 3.1. | Знать: |
|---|---|
| 3.1.1. | ОПК-1.1. обладает базовыми знаниями, полученными в областях физики, радиофизики, а также в областях математических и естественных наук. |
| 3.2. | Уметь: |
| 3.2.1. | ОПК-1.2. применять и синтезировать знания из различных областей физики и радиофизики в профессиональной деятельности. |
| 3.3. | Иметь навыки и (или) опыт деятельности (владеть): |
| 3.3.1. | ОПК-1.3. имеет навыки выбора математических и/или физических методов решения задач профессиональной деятельности, в том числе в сфере педагогической деятельности. |
4. Структура и содержание дисциплины
| Код занятия | Наименование разделов и тем | Вид занятия | Семестр | Часов | Компетенции | Литература |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Раздел 1. Уравнения первого порядка | ||||||
| 1.1. | Понятие обыкновенного дифференциального уравнения. Поле направлений. Частное и общее решения. Интегральные кривые, векторное поле, фазовые траектории. Элементарные приемы интегрирования: уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним | Лекции | 3 | 2 | Л2.1, Л1.1, Л2.2 | |
| 1.2. | Уравнения с разделяющимися переменными | Практические | 3 | 2 | Л2.1, Л1.1 | |
| 1.3. | Уравнения с разделяющимися переменными | Сам. работа | 3 | 4 | Л2.1, Л1.1 | |
| 1.4. | Однородные и квазиоднородные уравнения | Лекции | 3 | 1 | Л2.1, Л1.1 | |
| 1.5. | Однородные уравнения | Практические | 3 | 2 | Л2.1, Л1.1 | |
| 1.6. | Однородные уравнения | Сам. работа | 3 | 4 | Л2.1, Л1.1 | |
| 1.7. | Линейные уравнения первого порядка | Лекции | 3 | 1 | Л2.1, Л1.1 | |
| 1.8. | Линейные уравнения | Практические | 3 | 2 | Л2.1, Л1.1 | |
| 1.9. | Линейные уравнения | Сам. работа | 3 | 6 | Л2.1, Л1.1 | |
| 1.10. | Уравнения Бернулли и Риккати | Лекции | 3 | 1 | Л2.1, Л1.1 | |
| 1.11. | Уравнения Бернулли и Риккати | Практические | 3 | 1 | Л2.1, Л1.1 | |
| 1.12. | Уравнения Бернулли и Риккати | Сам. работа | 3 | 2 | Л2.1, Л1.1 | |
| 1.13. | Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель | Лекции | 3 | 1 | Л2.1, Л1.1 | |
| 1.14. | Уравнения в полных дифференциалах | Практические | 3 | 1 | Л2.1, Л1.1 | |
| 1.15. | Уравнения в полных дифференциалах | Сам. работа | 3 | 4 | Л2.1, Л1.1 | |
| 1.16. | Простейшие типы уравнений, не разрешенных относительно производной. Метод введения параметра. Уравнения Лагранжа и Клеро | Лекции | 3 | 2 | Л2.1, Л1.1 | |
| Раздел 2. Уравнения высших порядков | ||||||
| 2.1. | Простейшие случаи понижения порядка дифференциальных уравнений | Лекции | 3 | 1 | Л2.1, Л1.1 | |
| 2.2. | Уравнения, допускающие понижение порядка | Практические | 3 | 2 | Л2.1, Л1.1 | |
| 2.3. | Уравнения, допускающие понижение порядка | Сам. работа | 3 | 6 | Л2.1, Л1.1 | |
| 2.4. | Понижения порядка линейного дифференциального уравнения. Формула Лиувилля-Остроградского | Лекции | 3 | 1 | Л2.1, Л1.1 | |
| 2.5. | Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами | Лекции | 3 | 1 | Л2.1, Л1.1 | |
| 2.6. | Фундаментальная система решений и общее решение линейного однородного уравнения | Лекции | 3 | 1 | Л2.1, Л1.1 | |
| 2.7. | Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами | Практические | 3 | 2 | Л2.1, Л1.1 | |
| 2.8. | Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами | Сам. работа | 3 | 6 | Л2.1, Л1.1 | |
| 2.9. | Однородные уравнения Эйлера | Лекции | 3 | 1 | Л2.1, Л1.1 | |
| 2.10. | Линейные неоднородные уравнения. Метод вариации постоянных | Лекции | 3 | 1 | Л2.1, Л1.1 | |
| 2.11. | Линейные неоднородные уравнения, метод вариации постоянных | Практические | 3 | 1 | Л2.1, Л1.1 | |
| 2.12. | Линейные неоднородные уравнения, метод вариации постоянных | Сам. работа | 3 | 6 | Л2.1, Л1.1 | |
| 2.13. | Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида (квазимногочлен) | Лекции | 3 | 1 | Л2.1, Л1.1 | |
| 2.14. | Линейные неоднородные уравнения, метод неопределенных коэффициентов | Практические | 3 | 1 | Л2.1, Л1.1 | |
| 2.15. | Линейные неоднородные уравнения, метод неопределенных коэффициентов | Сам. работа | 3 | 4 | Л2.1, Л1.1 | |
| 2.16. | Краевые задачи для линейных уравнений второго порядка | Лекции | 3 | 1 | Л2.1, Л1.1 | |
| 2.17. | Краевые задачи для линейных уравнений второго порядка | Сам. работа | 3 | 2 | Л2.1, Л1.1 | |
| Раздел 3. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений | ||||||
| 3.1. | Интегрирование систем дифференциальных уравнений путем сведения к одному уравнению высокого порядка | Лекции | 3 | 1 | Л2.1, Л1.1 | |
| 3.2. | Интегрирование системы дифференциальных уравнений путем сведения к одному уравнению | Практические | 3 | 1 | Л2.1, Л1.1 | |
| 3.3. | Интегрирование системы дифференциальных уравнений путем сведения к одному уравнению | Сам. работа | 3 | 2 | Л2.1, Л1.1 | |
| 3.4. | Нахождение интегрируемых комбинаций. Первые интегралы | Лекции | 3 | 1 | Л2.1, Л1.1 | |
| 3.5. | Системы линейных однородных уравнений. Определитель Вронского | Лекции | 3 | 1 | Л2.1, Л1.1 | |
| 3.6. | Системы линейных однородных уравнений. Определитель Вронского | Сам. работа | 3 | 2 | Л2.1, Л1.1 | |
| 3.7. | Фундаментальная система решений и общее решение линейной однородной системы уравнений | Лекции | 3 | 1 | Л2.1, Л1.1 | |
| 3.8. | Линейные однородные системы с постояннми коэффициентами | Практические | 3 | 1 | Л2.1, Л1.1 | |
| 3.9. | Системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами | Сам. работа | 3 | 4 | Л2.1, Л1.1 | |
| 3.10. | Системы линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод вариации постоянных | Лекции | 3 | 1 | Л2.1, Л1.1 | |
| 3.11. | Линейные неоднородные системы. Метод вариации постоянных | Практические | 3 | 1 | Л2.1, Л1.1 | |
| 3.12. | Системы линейных неоднородных уравнений. Метод вариации постоянных | Сам. работа | 3 | 2 | Л2.1, Л1.1 | |
| 3.13. | Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения неоднородной системы уравнений с постоянными коэффициентами и правыми частями специального вида (квазимногочлены) | Сам. работа | 3 | 2 | Л2.1, Л1.1 | |
| 3.14. | Метод неопределенных коэффициентов нахождения частного решения неоднородной системы уравнений с постоянными коэффициентами | Практические | 3 | 1 | Л2.1, Л1.1 | |
| 3.15. | Метод неопределенных коэффициентов нахождения частного решения неоднородной системы уравнений с постоянными коэффициентами | Сам. работа | 3 | 2 | Л2.1, Л1.1 | |
| Раздел 4. Теория устойчивости | ||||||
| 4.1. | Устойчивость решения по Ляпунову | Лекции | 3 | 1 | Л2.1, Л1.1 | |
| 4.2. | Фазовые траектории двумерной линейной системы с постоянными коэффициентами. Особые точки: седло, узел, фокус, центр | Лекции | 3 | 1 | Л2.1, Л1.1 | |
| 4.3. | Фазовые траектории двумерной линейной системы с постоянными коэффициентами | Сам. работа | 3 | 2 | Л2.1, Л1.1 | |
| 4.4. | Численные методы решения дифференциальных уравнений | Лекции | 3 | 1 | Л2.1, Л1.1 | |
| 4.5. | Численные методы решения дифференциальных уравнений | Сам. работа | 3 | 2 | Л2.1, Л1.1 | |
| Раздел 5. Уравнения в частных производных первого порядка | ||||||
| 5.1. | Связь характеристик с решениями. Первые интегралы | Сам. работа | 3 | 1 | Л2.1, Л1.1 | |
| 5.2. | Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка | Сам. работа | 3 | 3 | Л2.1, Л1.1 | |
| Раздел 6. Экзамен | ||||||
5. Фонд оценочных средств
| 5.1. Контрольные вопросы и задания для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины |
| ОПК-1: Способен применять базовые знания в области физики и радиофизики и использовать их в профессиональной деятельности, в том числе в сфере педагогической деятельности Примеры заданий закрытого типа (Обозначения: * - знак умножения, ^ - возведение в степень; x0 - это x с индексом 0) 1. Выберите два правильных утверждения а) Обыкновенное дифференциальное уравнение содержит одну независимую переменную. б) Обыкновенное дифференциальное уравнение - это уравнение первого порядка. в) Примером обыкновенного дифференциального уравнения является уравнение гармонических колебаний. г) Примером обыкновенного дифференциального уравнения является волновое уравнение. Ответ: ав. 2. Дано уравнение y'=x+y-1. Известно, что одна из приведенных ниже функций является общим решением этого уравнения. Укажите ее. а) y=-x б) y=C*exp(x)-x в) y=C1*exp(x)-x+С2 г) y=C1*exp(x)-C2*x+С3 Ответ: б. 3. Выберите два правильных утверждения а) Методом разделения переменных решаются уравнения любых порядков. б) Для решения дифференциального уравнения первого порядка y'=f(x,y) целесообразно попытаться разделить переменные. в) В любом дифференциальном уравнении первого порядка переменные разделяются. г) Дифференциальное уравнение первого порядка общего вида F(x,y,y')=0, как правило, целесообразно попытаться разрешить относительно y'. Ответ: бг. 4. Выберите три уравнения с разделяющимися переменными. а) y'=x+y б) y'-y=1 в) y'=xy г) y'=x+1 Ответ: бвг. 5. Как ввести новую неизвестную функцию z(x), чтобы свести уравнение y'=y+x+1 к уравнению с разделяющимися переменными? (выберите один ответ) а) Только z=y+x б) Только z=y+x+1 в) Например, z=y+x или z=y+x+1 г) z=y+1 Ответ: в. 6. Выберите один правильный ответ. Дифференциальное уравнение y'=[(x+2y+1)/(2x+y+1)]^2 упрощается с помощью а) введения новой неизвестной функции z=(x+2y+1)/(2x+y+1); б) введения новой неизвестной функции z=y/x; в) введения новых переменных u=x-x0, v=y-y0, где x0, y0 - пока неизвестные константы; г) введения новой неизвестной функции z=x+2y. Ответ: в. 7. Выберите два однородных уравнения а) y'=[(x+y)/x]^2; б) y'=(x+y)^2; в) y'=[(x+y)/y]^2; г) y'=[(x+y+1)/x]^2. Ответ: ав. 8. Выберите замену неизвестной функции, с помощью которой упрощается уравнение xy'=y+x*exp(y/x). а) z=y+x б) z=y/x в) z=exp(y/x) г) z=y+x*exp(y/x) Ответ: б. 9. Выберите два линейных дифференциальных уравнения. а) y'+y*cos(x)=exp(-sin(x))*cos(x) б) x^2*y''+exp(x)*y'+5y+sin(x)=0 в) y'+y^2=0 г) y''+sin(y)=0 Ответ: аб. 9. Выберите два уравнения, которые упрощаются с помощью подстановки y=uv. а) y'+y/x=0 б) y'=1/(x+y) в) y'+y/x=1 г) y'+y/x=1/y Ответ: вг. 10. Какое из уравнений является уравнением в полных дифференциалах? а) (x+y)dx+(x-y)dy=0 б) (x+y)dx+(y-x)dy=0 в) (x-y)dx+(x+y)dy=0 г) (x+1/y)dx+(x-1/y)dy=0 Ответ: а. 11. Выберите два правильных утверждения. а) Если A(x,y)dx+B(x,y)dy в некоторой односвязной области D является полным дифференциалом, а начальная и конечная точки кривой Г, / принадлежащей области D, фиксированы, то криволинейный интеграл второго рода |A(x,y)dx+B(x,y)dy не зависит от Г. / Г / б) Любой криволинейный интеграл |A(x,y)dx+B(x,y)dy / Г не изменяется при деформации кривой Г при фиксированных начальной и конечной точках. / в) При любых дифференцируемых функциях A(x,y), B(x,y) интеграл по замкнутому контуру C |A(x,y)dx+B(x,y)dy = 0. / C г) Если в некоторой односвязной области D функции A(x,y) и B(x,y) дифференцируемы и для них выполняется условие Эйлера, то для любого замкнутого контура C в области D / |A(x,y)dx+B(x,y)dy = 0. / C Ответ: аг. 12. Дано уравнение A(x,y)dx+B(x,y)dy=0. Пусть L - интегрирующий множитель для этого уравнения. Какому дифференциальному уравнению подчиняется L в общем случае (выберите один правильный ответ)? а) Обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка б) Дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка в) Обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка Ответ: б. 13. Укажите все уравнения, которые с помощью замены t=y' с гарантией сводятся к уравнению, разрешенному относительно производной. а) Уравнение общего вида F(x,y,y')=0 б) F(x,y')=0 в) F(y,y')=0 г) y=F(x,y') д) x=F(y,y') Ответ: бвгд. 14. Метод ломаных Эйлера предназначен для (выберите правильный ответ): а) нахождения общего решения дифференциального уравнения первого порядка б) точного решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка в) приближенного решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка Ответ: в. 15. Дана задача Коши y'=f(x,y), y(x0)=y0. Выберите два правильных утверждения а) Если f(x,y) на плоскости XY непрерывна в области D, то для любой точки (x0,y0) из D существует решение задачи Коши, лежащее в D. б) Если справедливо условие а) и, кроме того, частная производная от f по y непрерывна в D, то это решение - единственное. в) Задача Коши имеет решение при любой правой части f(x,y). г) Решение задачи Коши при любой правой части является единственным. Ответ: аб. 16. Для какого дифференциального уравнения справедливо утверждение: если y1, y2 - его решения, то y1+y2 - тоже решение? а) Для любого уравнения б) Для линейного однородного уравнения в) Для линейного неоднородного уравнения г) Для любого уравнения первого порядка Ответ: б. 17. Пусть y1(x), y2(x),...,yn(x), - некоторая система функций. Укажите два верных утверждения: а) При n=2 линейная зависимость означает y=C*y1, где C - константа. б) При n=2 линейная зависимость означает y=C1*y1+С2, где C1, C2 - константы. в) Если в системе хотя бы одна пара линейно зависима, то линейно зависима вся система. г) Если в случае произвольного n функции попарно линейно независимы, то линейно независима вся система. Ответ: ав. 18. Выберите правильное утверждение относительно линейного однородного дифференциального уравнения порядка n с непрерывными коэффициентами: а) Число его линейно независимых решений равно n б) Число его линейно независимых решений меньше n в) Число его линейно независимых решений больше n г) При n > 1 любые два решения линейно зависимы Ответ: а. 19. Дано линейное однородное дифференциальное уравнение порядка n=3. Выберите правильное утверждение: а) Уравнение имеет три фундаментальных системы решений б) Существует единственная фундаментальная система решений в) Существует бесконечно много фундаментальных систем решений. Ответ: в. 20. Какое дифференциальное уравнение порядка n>1 решается с помощью подстановки y=exp(kx), где k - константа? а) линейное однородное с постоянными коэффициентами б) линейное однородное с произвольными коэффициентами в) линейное неоднородное г) любые уравнения Ответ: а. 21. Выберите правильное утверждение относительно корней характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения порядка n>1: а) Уравнение может иметь комплексные корни, кратные корни б) Корни всегда действительны в) Все корни различны Ответ: а. 22. Дано линейное однородное дифференциальное уравнение порядка n=2. Известно, что характеристическое уравнение имеет один двукратный корень k. Выберите правильное утверждение: а) Уравнение имеет только одно линейно независимое решение y=exp(kx) б) Второе решение (линейно независимое по отношению к первому решению y=exp(kx)) имеет вид y=exp(2kx) в) Второе решение можно найти, введя новую неизвестную функцию z(x) путем подстановки y=exp(kx)*z г) Второе решение существует, но метод его отыскания в математике неизвестен Ответ: в. КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ: каждое задание оценивается 1 баллом. Итоговая оценка: "отлично" - верно выполнено 85-100% заданий; "хорошо" - 70-84% заданий; "удовлетворительно" - верно выполнено 51-69% заданий: "неудовлетворительно" - верно выполнено 50% или менее 50% заданий. Примеры заданий открытого типа (Обозначения: * - знак умножения, ^ - возведение в степень; x0 - это x с индексом 0) 1. Как ввести новую неизвестную функцию z(x), чтобы свести уравнение y'=f(ax+by) к уравнению с разделяющимися переменными? Ответ: z=ax+by. 2. Как называется дифференциальное уравнение вида y'=f(y/x)? Введение какой новой неизвестной функции z(x) гарантирует возможность приведения этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными? Ответ: Однородное уравнение; z=y/x. 3. К какому типу относится уравнение y'+xy+1=0? Приведите название одного из методов его решения. Ответ: линейное неоднородное уравнение. Метод Бернулли (uv-подстановка, y=uv); метод вариации постоянной. 4. Сколько неопределенных констант содержит общее решение дифференциального уравнения порядка n? Ответ: n. 5. Сколько линейно независимых решений имеет линейное однородное дифференциальное уравнение порядка n? Ответ: n. 6. К какому типу относится уравнение y'+2y=exp(x)y^2? Как называется метод, с помощью которого его можно привести к уравнению с разделяющимися переменными? Ответ: уравнение Бернулли. Метод Бернулли (uv-подстановка, y=uv). 7. К Какому типу относится уравнение y'+2y^2=1/x^2? Как упростить это уравнение, если известно его частное решение y_ч? Ответ: уравнение Риккати. При подстановке y=z+y_ч получается уравнение Бернулли для z(x). 8. Приведите пример дифференциального уравнения в полных дифференциалах. Ответ: любое дифференциальное уравнение типа A(x,y)dx+B(x,y)dy=0, где A, B такие, что выполняется условие Эйлера (dA/dy=dB/dx, здесь производные - частные). Например, A=x+2y, B=y+2x. 9. Пусть F=A(x,y)dx+B(x,y)dy не является полным дифференциалом, а L(x,y)*F - является. Как называется функция L(x,y)? Ответ: интегрирующий множитель. 10. К какому типу относится нелинейное дифференциальное уравнение y-x*sin(y')=cos(y')? Как его свести к линейному уравнению? Ответ: уравнение Лагранжа (уравнение, линейное по у и x). Ввести t(x)=y', продифференцировать уравнение по x. Уравнение для x(t) будет линейным. 11. Как понизить порядок уравнения F(x,y',y''...)=0? Ответ: ввести новую неизвестную функцию z(x)=y'(x), вывести для нее дифференциальное уравнение. 12. Как понизить порядок уравнения F(x,y'''...)=0? Ответ: ввести новую неизвестную функцию z(x)=y'''(x), вывести для нее дифференциальное уравнение. 13. Как понизить порядок уравнения F(y,y',y''...)=0? Ответ: ввести новую неизвестную функцию z(y)=y'(x) и исключить x, выразив производные по x через производные по y. 14. Какое решение y(x) имеется среди решений любого линейного однородного дифференциального уравнения? Ответ: y(x)=0 (тождественное равенство) - "тривиальное решение". 15. Дано дифференциальное уравнение 3-го порядка для неизвестной функции y(x). Значения каких величин нужно задать в точке x=x_0, чтобы получилась задача Коши? Ответ: y(x_0), y'(x_0), y''(x_0). 16. Известно, что существуют константы a1, a2,...,an, среди которых по крайней мере одна отлична от нуля, такие, что a1*y1(x)+a2*y2(x)+...+an*yn(x)=0 при всех x. Охарактеризуйте систему функций y1,y2,...,yn. Ответ: линейно зависима. 17. Известно, что a1*y1(x)+a2*y2(x)+...+an*yn(x)=0 при всех x только при a1=a2=...=an=0. Охарактеризуйте систему функций y1,y2,...,yn. Ответ: линейно независима. 18. Дана система функций y1(x), y2(x), y3(x), y4(x). Каков порядок старших производных в определителе Вронского? Ответ: 3-й. 19. Пусть система функций y1(x), y2(x), ..., yn(x) линейно зависима. Что можно сказать об определителе Вронского W(x) этой системы? Ответ: W(x)=0 при всех x. 20. Дана система функций y1(x), y2(x), ..., yn(x). Известно, что существуют производные y^(k)(x), k=0,1,...,n-1 и что имеется такая точка x0, в которой определитель Вронского W(x0) отличен от нуля. Что можно сказать о системе функций? Ответ: линейно независима. 21. Как понизить порядок линейного однородного дифференциального уравнения, если известно частное решение y1(x)? Ответ: ввести новую неизвестную функцию z(x): y=y1(x)*z(x) или y=y1(x)*(интеграл от z(x) по dx). 22. К какому типу относится уравнение x^2*y''+x*y'+y=0? С помощью какой подстановки оно решается? Ответ: Уравнение Эйлера; y=x^k, где k - константа. 23. Дано дифференциальное уравнение p0(x)y''+p1(x)y'+p2(x)y=0, где pi(x) - многочлены. Ищем его решение в виде обобщенного степенного ряда y=x^s*(C0+C1*x+C2*x^2+...). Что нужно сделать после подстановки этого ряда в уравнение для нахождения констант s, C0, C1,...? Ответ: сгруппировать слагаемые с одинаковыми степенями и после этого коэффициенты при каждой степени приравнять нулю. КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ: каждое задание оценивается 1 баллом. Итоговая оценка: "отлично" - верно выполнено 85-100% заданий; "хорошо" - 70-84% заданий; "удовлетворительно" - верно выполнено 51-69% заданий: "неудовлетворительно" - верно выполнено 50% или менее 50% заданий. |
| 5.2. Темы письменных работ для проведения текущего контроля (эссе, рефераты, курсовые работы и др.) |
| Контрольная работа "Дифференциальные уравнения первого порядка" Контрольная работа "Дифференциальные уравнения высших порядков" |
| 5.3. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации |
| Перечень вопросов к зачету 1. Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнения типа y'=f(ax+by+d). Однородные уравнения y'=f(y/x). 2. Уравнения с правой частью в виде функции дробно-линейного аргумента. 3. Линейные уравнения. Метод Бернулли (uv-подстановка) и метод вариации постоянной. 4. Уравнение Бернулли. Уравнение Риккати. 5. Уравнения в полных дифференциалах. 6. Интегрирующий множитель для дифференциального уравнения 1-го порядка. 7. Неполные дифференциальные уравнения 1-го порядка. 8. Уравнения 1-го порядка, разрешимые относительно y или x. 9. Уравнение Лагранжа1-го порядка и уравнение Клеро. 10. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения y'=f(x,y). Примеры задач, не имеющей решения и имеющей неединственное решение. Особые точки и особые решения. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений y'=f(x,y): метод ломаных Эйлера; метод последовательных приближений. 11. Неполные дифференциальные уравнения порядка n>1 (не содержащие y или x). 12. Уравнение в точных производных. Интегрирующий множитель. (Привести примеры). 13. Уравнение порядка n>1, однородное относительно y и производных. 14. Обобщенно-однородное уравнение порядка n>1. 15. Задача Коши для уравнения порядка n>1; теорема существования и единственности ее решения. Простейшие свойства линейных однородных дифференциальных уравнений. 16. Понятие линейной зависимости функций. Определитель Вронского системы функций. Теорема об определителе Вронского линейно зависимых функций (с доказательством). Следствие теоремы. Обратная теорема. 17. Теорема о существовании фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения (с доказательством). Теорема об общем решении линейного однородного уравнения (с доказательством). 18. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (случай различных корней характеристического уравнения; случай кратных корней). 19. Однородное уравнение Эйлера. 20. Использование частного решения для понижения порядка линейного однородного дифференциального уравнения. Метод поиска частного решения уравнения с коэффициентами в виде многочленов. 21. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения. Принцип суперпозиции. Метод вариации постоянных (вывод системы уравнений). Темы задач к зачету (примеры задач имеются в электронном курсе) 1. Уравнения типа y'=f(ax+by+d). 2. Уравнения типа y'=f(y/x) (однородные). 3. Линейные уравнения. 4. Уравнения Бернулли. 5. Уравнения в полных дифференциалах. 6. Нелинейные уравнения, разрешимые относительно y'. 7. Неполные уравнения 1-го порядка. 8. Неполные уравнения порядка n>1. 9. Уравнения, однородные относительно y и производных. 10. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. 11. Линейные неоднородные уравнения. Процедура проведения зачета: студенту предлагается один или (при необходимости) несколько вопросов, допускающих краткий ответ, с целью проверки знания студентом основных терминов, понятий, теорем теории дифференциальных уравнений; знания основных типов уравнений и методов их решения. Критерии оценивания: при выставлении итоговой оценки учитываются: качество ответа на вопросы; результаты двух контрольных работ; работа студента в течение семестра. |
| Приложения |
|
Приложение 1.
ФОС_Дифф_ур-РФ-2022.docx
|
6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
| 6.1. Рекомендуемая литература | ||||
| 6.1.1. Основная литература | ||||
| Авторы | Заглавие | Издательство, год | Эл. адрес | |
| Л1.1 | Бибиков, Ю.Н. | Курс обыкновенных дифференциальных уравнений: | СПб. : Лань // ЭБС "Лань", 2011 | e.lanbook.com |
| 6.1.2. Дополнительная литература | ||||
| Авторы | Заглавие | Издательство, год | Эл. адрес | |
| Л2.1 | Бушманов С.Б., Бушманова О.П. | Дифференциальные уравнения. Методы решения, примеры и задачи.: учеб. пособие | АлтГУ, 2005 | |
| Л2.2 | Васильева А.Б., Медведев Г.Н., Тихонов Н.А. | Дифференциальные и интегральные уравнения. Вариационное исчисление в примерах и задачах: учебное пособие | М.: Физматлит // ЭБС "университетская библиотека ONLINE", 2005 | biblioclub.ru |
| 6.2. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет" | ||||
| Название | Эл. адрес | |||
| Э1 | Научно-образовательный сайт Института проблем механики РАН «EqWorld – Мир математических уравнений» | http://eqworld.ipmnet.ru/indexr.htm; http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library.htm, http://mechmath.ipmnet.ru/ | ||
| Э2 | Курс в Moodle "Дифференциальные уравнения" | portal.edu.asu.ru | ||
| 6.3. Перечень программного обеспечения | ||||
| Специального программного обеспечения не требуется. Microsoft Office 2010 (Office 2010 Professional, № 4065231 от 08.12.2010), (бессрочно); Microsoft Windows 7 (Windows 7 Professional, № 61834699 от 22.04.2013), (бессрочно); Chrome (http://www.chromium.org/chromium-os/licenses), (бессрочно); 7-Zip (http://www.7-zip.org/license.txt), (бессрочно); AcrobatReader (http://wwwimages.adobe.com/content/dam/Adobe/en/legal/servicetou/Acrobat_com_Additional_TOU-en_US-20140618_1200.pdf), (бессрочно); ASTRA LINUX SPECIAL EDITION (https://astralinux.ru/products/astra-linux-special-edition/), (бессрочно); LibreOffice (https://ru.libreoffice.org/), (бессрочно); Веб-браузер Chromium (https://www.chromium.org/Home/), (бессрочно); Антивирус Касперский (https://www.kaspersky.ru/), (до 23 июня 2024); Архиватор Ark (https://apps.kde.org/ark/), (бессрочно); Okular (https://okular.kde.org/ru/download/), (бессрочно); Редактор изображений Gimp (https://www.gimp.org/), (бессрочно) | ||||
| 6.4. Перечень информационных справочных систем | ||||
| Информационных справочных систем не требуется. | ||||
7. Материально-техническое обеспечение дисциплины
| Аудитория | Назначение | Оборудование |
|---|---|---|
| Учебная аудитория | для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), проведения практик | Стандартное оборудование (учебная мебель для обучающихся, рабочее место преподавателя, доска) |
| Учебная аудитория | для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), проведения практик | Стандартное оборудование (учебная мебель для обучающихся, рабочее место преподавателя, доска) |
| Помещение для самостоятельной работы | помещение для самостоятельной работы обучающихся | Компьютеры, ноутбуки с подключением к информационно-телекоммуникационной сети «Интернет», доступом в электронную информационно-образовательную среду АлтГУ |
8. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
| Указания общего характера Чтобы учеба не была пустой тратой времени, необходимо добиваться полной ясности по каждому вопросу. Непонятные моменты нужно отмечать и при случае спрашивать у преподавателя. К практическим занятиям нужно готовиться: просмотреть конспект лекции по теме занятия, решить задачи, если они были заданы. Так как почти все темы взаимосвязаны, даже одно пропущенное занятие сильно затрудняет изучение дальнейшего материала. Поэтому нужно посещать все занятия, а в случае пропуска разобраться в пропущенном материале до следующего занятия. При изучении предмета нужно стремиться к тому, чтобы материал складывался в целостную картину, с единым набором понятий, терминов, методов, уравнений, формул, обозначений. Единство предмета нужно учитывать и при подготовке к сдаче экзамена: при поиске (например, в Интернете) вопросов по отдельности получается, как правило, бессвязная картина. Изучая предмет, нужно прочитать, желательно – полностью, хотя бы один учебник. |