МИНОБРНАУКИ РОССИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Алтайский государственный университет»

Математический анализ

рабочая программа дисциплины
Закреплена за кафедройКафедра дифференциальных уравнений
Направление подготовки10.03.01. Информационная безопасность
ПрофильБезопасность автоматизированных систем (в сфере профессиональной деятельности)
Форма обученияОчная
Общая трудоемкость10 ЗЕТ
Учебный план10_03_01_ИБ-2020
Часов по учебному плану 360
в том числе:
аудиторные занятия 144
самостоятельная работа 162
контроль 54
Виды контроля по семестрам
экзамены: 1, 2

Распределение часов по семестрам

Курс (семестр) 1 (1) 1 (2) Итого
Недель 18 19
Вид занятий УПРПДУПРПДУПРПД
Лекции 36 36 36 36 72 72
Практические 36 36 36 36 72 72
Сам. работа 81 81 81 81 162 162
Часы на контроль 27 27 27 27 54 54
Итого 180 180 180 180 360 360

Программу составил(и):
к.ф.-м.н., доцент, Устюжанова А.В.

Рецензент(ы):
д.ф.-м.н., профессор, Родионов Е.Д.

Рабочая программа дисциплины
Математический анализ

разработана в соответствии с ФГОС:
Федеральный государственный образовательный стандарт высшего образования по направлению подготовки 10.03.01 ИНФОРМАЦИОННАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ (уровень бакалавриата) (приказ Минобрнауки России от 01.12.2016 г. № 1515)

составлена на основании учебного плана:
10.03.01 Информационная безопасность
утвержденного учёным советом вуза от 30.06.2020 протокол № 6.

Рабочая программа одобрена на заседании кафедры
Кафедра дифференциальных уравнений

Протокол от 30.06.2023 г. № 7
Срок действия программы: 20232024 уч. г.

Заведующий кафедрой
д.ф.-м.н. Папин А.А., профессор кафедры дифференциальных уравнений


Визирование РПД для исполнения в очередном учебном году

Рабочая программа пересмотрена, обсуждена и одобрена для
исполнения в 2023-2024 учебном году на заседании кафедры

Кафедра дифференциальных уравнений

Протокол от 30.06.2023 г. № 7
Заведующий кафедрой д.ф.-м.н. Папин А.А., профессор кафедры дифференциальных уравнений


1. Цели освоения дисциплины

1.1.Теоретическое освоение основных разделов математического анализа, необходимых для понимания роли математики в профессиональной деятельности; формирования культуры мышления, способности к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения; освоения основных методов математического анализа, применяемых в решении профессиональных задач и научно-исследовательской деятельности.
Для достижения цели ставятся задачи:
получить представление о роли математики в профессиональной деятельности;
изучить необходимый понятийный аппарат дисциплины;
сформировать умения доказывать теоремы математического анализа;
сформировать умения решать типовые задачи основных разделов математического анализа;
получить необходимые знания из области математического анализа для дальнейшего самостоятельного освоения научно-технической информации;
получить представление о применении положений математического анализа в решении профессиональных задач.

2. Место дисциплины в структуре ООП

Цикл (раздел) ООП: Б1.Б.02

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

ОПК-2 способностью применять соответствующий математический аппарат для решения профессиональных задач
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
3.1.Знать:
3.1.1.понятия и методы математического анализа.
3.2.Уметь:
3.2.1.применять понятия и методы математического анализа при решении прикладных задач.

3.3.Иметь навыки и (или) опыт деятельности (владеть):
3.3.1.применения методов математического анализа при решении прикладных задач.

4. Структура и содержание дисциплины

Код занятия Наименование разделов и тем Вид занятия Семестр Часов Компетенции Литература
Раздел 1. Введение в математический анализ
1.1. Множества. Операции над множествами.Числовые последовательности. Предел последовательности. Арифметические свойства пределов последовательности. Лекции 1 2 ОПК-2 Л1.1, Л3.2, Л1.3, Л2.1
1.2. Операции над множествами. Метод математической индукции. Практические 1 2 ОПК-2 Л1.1, Л3.2, Л1.3, Л2.1
1.3. Предельный переход в неравенствах. Критерий Коши сушествования предела последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Число е. Лекции 1 2 ОПК-2 Л1.1, Л3.2, Л1.3, Л2.1
1.4. Числовые последовательности. Предел последовательности. Практические 1 2 ОПК-2 Л1.1, Л3.2, Л1.3, Л2.1
1.5. Операции над множествами. Предел последовательности. Сам. работа 1 16 ОПК-2 Л1.1, Л3.2, Л1.3, Л2.1
1.6. Предел функции в точке и на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства предела функции. Односторонние пределы. Пределы монотонных функций. Замечательные пределы. Лекции 1 2 ОПК-2 Л1.1, Л3.2, Л1.3, Л2.1
1.7. Предел функции. Односторонние пределы. Замечательные пределы. Практические 1 4 ОПК-2 Л1.1, Л3.2, Л1.3, Л2.1
1.8. Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывных функций. Точки разрыва, их классификация. Лекции 1 2 ОПК-2 Л1.1, Л3.2, Л1.3, Л2.1
1.9. Непрерывность функции. Точки разрыва. Практические 1 2 ОПК-2 Л1.1, Л3.2, Л1.3, Л2.1
1.10. Основные теоремы о непрерывных функциях. Сравнение функций. Символы "о" и "О". Эквивалентные функции. Лекции 1 2 ОПК-2 Л1.1, Л3.2, Л1.3, Л2.1
1.11. Различные приемы вычислений пределов функций. Практические 1 2 ОПК-2 Л1.1, Л3.2, Л1.3, Л2.1
1.12. Предел функции. Свойства предела. Замечательные пределы. Сравнение функций. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций. Непрерывность функции. Точки разрыва. Основные теоремы о непрерывных функциях. Сам. работа 1 10 ОПК-2 Л1.1, Л3.2, Л1.3, Л2.1
Раздел 2. Дифференциальное и интегральное исчисления
2.1. Производная функции, ее смысл в различных задачах. Дифференциал. Правила нахождения производной и дифференциала. Инвариантность формы дифференциала. Лекции 1 2 ОПК-2 Л1.1, Л1.3, Л2.1
2.2. Производная явной функции. Дифференциал. Геометрический смысл производной. Практические 1 2 ОПК-2 Л1.1, Л1.3, Л2.1
2.3. Производная функции. Геометрический и физический смысл производной. Дифференциал. Правила нахождения производной и дифференциала. Талица производных элементарных функций Сам. работа 1 10 ОПК-2 Л1.1, Л1.3, Л2.1
2.4. Производная сложной и обратной функций. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Производные и дифференциалы высших порядков. Лекции 1 2 ОПК-2 Л1.1, Л1.3, Л2.1
2.5. Производная сложной функции. Дифференцирование функций, заданных параметрический. Дифференцирование неявно заданных функций. Практические 1 2 ОПК-2 Л1.1, Л1.3, Л2.1
2.6. Производная сложной и обратной функции. Производные и дифференциалы высших порядков. Сам. работа 1 8 ОПК-2 Л1.1, Л1.3, Л2.1
2.7. Теорема Ферма. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применение. Лекции 1 2 ОПК-2 Л1.1, Л1.3, Л2.1
2.8. Производные и дифференциалы высших порядков. Практические 1 2 ОПК-2 Л1.1, Л1.3, Л2.1
2.9. Теорема Ферма. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применение. Сам. работа 1 6 ОПК-2 Л1.1, Л1.3, Л2.1
2.10. Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя). Формула Тейлора. Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений. Лекции 1 2 ОПК-2 Л1.1, Л1.3, Л2.1
2.11. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. Практические 1 2 ОПК-2 Л1.1, Л1.3, Л2.1
2.12. Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя). Формула Тейлора. Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений. Сам. работа 1 6 ОПК-2 Л1.1, Л1.3, Л2.1
2.13. Условия монотонности функции. Экстремумы функции, необходимое и достаточные условия. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба. Асимптоты. Общая схема исследования функции и построения ее графика Лекции 1 2 ОПК-2 Л1.1, Л1.3, Л2.1
2.14. Исследование функции и построение ее графика. Практические 1 2 ОПК-2 Л1.1, Л1.3, Л2.1
2.15. Признаки монотонности функции. Необходимое и достаточные условия существования экстремумов. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба. Асимптоты. Исследование функций и построение графиков. Сам. работа 1 8 ОПК-2 Л1.1, Л1.3, Л2.1
2.16. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Табличные интегралы. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Лекции 1 2 ОПК-2 Л1.1, Л1.3, Л2.1
2.17. Первообразная. Вычисление неопределенных интегралов. Замена переменной и интегрирование по частям. Практические 1 2 ОПК-2 Л1.1, Л1.3, Л2.1
2.18. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Табличные интегралы. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Сам. работа 1 3 ОПК-2 Л1.1, Л1.3, Л2.1
2.19. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических функций. Лекции 1 4 ОПК-2 Л1.1, Л1.3, Л2.1
2.20. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций. Практические 1 2 ОПК-2 Л1.1, Л1.3, Л2.1
2.21. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических функций. Сам. работа 1 2 ОПК-2 Л1.1, Л1.3, Л2.1
2.22. Определенный интеграл. Определение и свойства. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Формула Ньютона-Лейбница. Приложения определенного интеграла. Лекции 1 4 ОПК-2 Л1.1, Л1.3, Л2.1
2.23. Вычисление определенного интеграла. Практические 1 4 ОПК-2 Л1.1, Л1.3, Л2.1
2.24. Определенный интеграл. Определение и свойства. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Формула Ньютона-Лейбница. Приложения определенного интеграла. Сам. работа 1 6 ОПК-2 Л1.1, Л1.3, Л2.1
2.25. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченной функции, их основные свойства. Признаки сходимости несобственных интегралов. Лекции 1 2 ОПК-2 Л1.1, Л1.2, Л2.1
2.26. Несобственные интегралы. Практические 1 2 ОПК-2 Л1.1, Л1.2, Л2.1
2.27. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченной функции, их основные свойства. Признаки сходимости несобственных интегралов. Сам. работа 1 2 ОПК-2 Л1.1, Л1.2, Л2.1
Раздел 3. Числовые ряды
3.1. Числовые ряды. Сходимость и сумма рядов. Необходимое условие сходимости. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости. Лекции 1 2 ОПК-2 Л1.2, Л2.1
3.2. Сумма числового ряда. Ряды с неотрицательными членами. Практические 1 2 ОПК-2 Л1.2, Л2.1
3.3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Признак Лейбница. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Лекции 1 2 ОПК-2 Л1.2, Л2.1
3.4. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Практические 1 2 ОПК-2 Л1.2, Л2.1
3.5. Числовые ряды. Сходимость и сумма рядов. Необходимое условие сходимости. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости. Сам. работа 1 4 ОПК-2 Л1.2, Л2.1
Раздел 4. Функциональные ряды
4.1. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Разложение функций в степенные ряды. Приложение рядов. Лекции 2 2 ОПК-2 Л1.2, Л2.1
4.2. Степенные ряды. Область сходимости. Разложение функций в степенные ряды. Практические 2 2 ОПК-2 Л1.2, Л2.1
4.3. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Разложение функций в степенные ряды. Приложение рядов. Сам. работа 2 12 ОПК-2 Л1.2, Л2.1
Раздел 5. Ряды и интегралы Фурье
5.1. Периодические функции. Ортогональность тригонометрической системы. Тригонометрические ряды Фурье. Лекции 2 2 ОПК-2 Л1.2, Л2.1
5.2. Тригонометрические ряды Фурье. Практические 2 2 ОПК-2 Л1.2, Л2.1
5.3. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье. Лекции 2 2 ОПК-2 Л1.2, Л2.1
5.4. Периодические функции. Ортогональность тригонометрической системы. Тригонометрические ряды Фурье.Интеграл Фурье. Преобразование Фурье. Сам. работа 2 10 ОПК-2 Л1.2, Л2.1
Раздел 6. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
6.1. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность. Частные производные. Дифференциал, его связь с частными производными. Инвариантность формы дифференциала. Лекции 2 2 ОПК-2 Л1.3, Л2.1
6.2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Частные производные. Дифференциал первого порядка. Практические 2 4 ОПК-2 Л1.3, Л2.1
6.3. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность. Частные производные. Дифференциал, его связь с частными производными. Инвариантность формы дифференциала. Геометрический смысл частных производных и дифференциала. Сам. работа 2 8 ОПК-2 Л1.3, Л2.1
6.4. Геометрический смысл частных производных и дифференциала. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Неявные функции. Дифференцирование неявных функций. Лекции 2 2 ОПК-2 Л1.3, Л2.1
6.5. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Практические 2 2 ОПК-2 Л1.3, Л2.1
6.6. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Производная по направлению. Градиент. Лекции 2 2 ОПК-2 Л1.3, Л2.1
6.7. Экстремумы функций нескольких переменных. Дифференцирование неявных функций. Практические 2 2 ОПК-2 Л1.3, Л2.1
6.8. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Сам. работа 2 8 ОПК-2 Л1.3, Л2.1
Раздел 7. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
7.1. Двойной и n-кратный интеграл. Сведение двойного и n-кратного интеграла к повторному.Замена переменных в кратных интегралах. Полярные, цилиндрические, сферические координаты. Лекции 2 4 ОПК-2 Л1.2, Л2.3, Л2.1
7.2. Вычисление двойного и тройного интегралов. Полярные и цилиндрические координаты. Практические 2 4 ОПК-2 Л1.2, Л2.3, Л2.1
7.3. Кратные интегралы. Сведение к повторному. Замена переменной в кратных интегралах. Полярные, сферические, цилиндрические координаты. Сам. работа 2 8 ОПК-2 Л1.2, Л2.3, Л2.1
7.4. Криволинейные интегралы. Свойства и формулы для вычисления. Лекции 2 2 ОПК-2 Л1.2, Л2.3, Л2.1
7.5. Криволинейные интегралы. Практические 2 2 ОПК-2 Л1.2, Л2.3, Л2.1
7.6. Понятие поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Площадь поверхности. Поверхностные интегралы. Свойства и вычисление.Геометрические и механические приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов. Лекции 2 2 ОПК-2 Л1.2, Л2.3, Л2.1
7.7. Поверхностные интегралы. Приложения кратных, криволинейных интегралов. Практические 2 2 ОПК-2 Л1.2, Л2.3, Л2.1
7.8. Понятие поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Площадь поверхности. Поверхностные интегралы. Свойства и вычисление. Геометрические и механические приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов. Сам. работа 2 8 ОПК-2 Л1.2, Л2.3, Л2.1
Раздел 8. Элементы теории поля
8.1. Скалярное и векторное поле. Циркуляция векторного поля вдоль кривой. Поток поля через поверхность. Формула Гаусса-Остроградского. Дивергенция векторного поля. Формула Стокса. Ротор векторного поля. Потенциальные и соленоидальные поля. Лекции 2 2 ОПК-2 Л1.2, Л2.3, Л2.1
8.2. Элементы теории поля: градиент, дивергенция, ротор, производная по направлени. Практические 2 2 ОПК-2 Л1.2, Л2.3, Л2.1
8.3. Формула Гаусса-Остроградского. Дивергенция векторного поля. Формула Стокса. Ротор векторного поля. Потенциальные и соленоидальные поля. Сам. работа 2 8 ОПК-2 Л1.2, Л2.3, Л2.1
Раздел 9. Дифференциальные уравнения
9.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Изоклины. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах. Лекции 2 2 ОПК-2 Л2.2, Л3.1, Л1.3, Л1.2, Л2.1
9.2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Практические 2 2 ОПК-2 Л2.2, Л3.1, Л1.2, Л2.1
9.3. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Изоклины. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах. Сам. работа 2 5 ОПК-2 Л2.2, Л3.1, Л1.3, Л1.2, Л2.1
9.4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений. Уравнения, допускающие понижение порядка. Лекции 2 2 ОПК-2 Л2.2, Л3.1, Л1.3, Л1.2, Л2.1
9.5. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. Практические 2 2 ОПК-2 Л2.2, Л3.1, Л1.3, Л1.2, Л2.1
9.6. Линейные дифференциальные уравнения: однородные и неоднородные. Общее решение. Фундаментальная система решений. Метод Лагранжа вариации постоянных. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида. Лекции 2 2 ОПК-2 Л2.2, Л3.1, Л1.3, Л1.2, Л2.1
9.7. Понятие об устойчивости решения. Точки покоя. Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка. Лекции 2 2 ОПК-2 Л2.2, Л3.1, Л1.3, Л1.2, Л2.1
9.8. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида. Практические 2 2 ОПК-2 Л2.2, Л3.1, Л1.3, Л1.2, Л2.1
9.9. Дифференциальные уравнения в частных производных. Практические 2 2 ОПК-2 Л2.2, Л3.1, Л1.3, Л1.2, Л2.1
9.10. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения в частных производных. Сам. работа 2 6 ОПК-2 Л2.2, Л3.1, Л1.3, Л1.2, Л2.1
Раздел 10. Теория функции комплексного переменного
10.1. Функции комплексного переменного. Дифференцируемость и аналитичность. Условия Коши-Римана. Лекции 2 2 ОПК-2 Л1.3, Л1.2, Л2.1
10.2. Функции комплексного переменного. Дифференцируемость и аналитичность. Условия Коши-Римана. Практические 2 2 ОПК-2 Л1.3, Л1.2, Л2.1
10.3. Интегрирование по комплексной переменной. Интегральная формула Коши. Ряды Лорана. Понятие о вычетах. Применение вычетов к вычислению интегралов. Лекции 2 4 ОПК-2 Л1.3, Л1.2, Л2.1
10.4. Интегрирование по комплексной переменной. Интегральная формула Коши. Ряды Лорана. Понятие о вычетах. Применение вычетов к вычислению интегралов. Практические 2 4 ОПК-2 Л1.3, Л1.2, Л2.1
10.5. Функции комплексного переменного. Дифференцируемость и аналитичность. Условия Коши-Римана. Интегрирование по комплексной переменной. Интегральная формула Коши. Ряды Лорана. Понятие о вычетах. Применение вычетов к вычислению интегралов. Сам. работа 2 8 ОПК-2 Л1.3, Л1.2, Л2.1

5. Фонд оценочных средств

5.1. Контрольные вопросы и задания для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
Оценочные материалы для текущего контроля по разделам и темам дисциплины в полном объеме размещены в онлайн-курсе на образовательном портале «Цифровой университет АлтГУ» –https://portal.edu.asu.ru/course/view.php?id=591 (первый, второй семестры)..

ОЦЕНКА СФОРМИРОВАННОСТИ КОМПЕТЕНЦИИ

ОПК-2: способность применять соответствующий математический аппарат для решения профессиональных задач

ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ ЗАКРЫТОГО ТИПА - см. https://disk.yandex.ru/i/KMi8G8kCV9YB_A

ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ ОТКРЫТОГО ТИПА - см. https://disk.yandex.ru/i/-yGIMx-VIi6y9A

КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ: Каждое задание оценивается 1 баллом. Оценивание КИМ в целом: «отлично» – верно выполнено 85-100% заданий; «хорошо» – верно выполнено 70-84% заданий; «удовлетворительно» – верно выполнено 51-69% заданий; «неудовлетворительно» – верно выполнено 50% или менее 50% заданий.

5.2. Темы письменных работ для проведения текущего контроля (эссе, рефераты, курсовые работы и др.)
Не предусмотрено.
5.3. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
Промежуточная аттестация заключается в проведении в конце первого, второго семестров - экзамена, по всему изученному за семестр материала. Экзамены проводятся в устной форме по билетам. В билет входит 2 вопроса теоретического характера.

Перечень вопросов для промежуточной аттестации для 1 семестра.

1. Множества. Операции над множествами. Метод математической индукции.
2. Предел последовательности. Единственность предела последовательности.
3. Арифметические свойства пределов.
4. Предельный переход в неравенствах для последовательностей.
5. Бесконечно малая и бесконечно большая последовательности. Свойства.
6. Монотонные последовательности. Предел монотонной последовательности.
7. Подпоследовательности. Частичные пределы. Точная верхняя и точная нижняя грани последовательности.
8. Предел функции по Коши и по Гейне. Односторонние пределы функции.
9. Основные свойства предела функции (арифметические свойства, предельный переход, предел сложной функции).
10. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва.
11. Основные теоремы о непрерывных функциях.
12. Замечательные пределы.
13. Сравнение бесконечно малых величин. О-символика.
14. Таблица эквивалентных бесконечно малых величин.
15. Производная функции. Геометрический и механический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику функции.
16. Связь между дифференцируемостью и существованием производной.
17. Односторонние производные. Необходимое условие существования производной (связь с непрерывностью).
18. Основные правила дифференцирования.
19. Производные основных элементарных функций.
20. Производная сложной функции.
21. Производная обратной функции.
22. Производная функции, заданной в параметрическом виде.
23. Производная неявно заданной функции.
24. Дифференциал. Определение и свойства. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
25. Производные и дифференциалы высших порядков.
26. Экстремумы функции. Теорема Ферма
27. Теорема Ролля
28. Теорема Коши.
29. Теорема Лагранжа.
30. Правило Лопиталя.
31. Формула Тейлора.
32. Признаки монотонности функции.
33. Достаточные условия существования экстремума функции.
34. Выпуклая и вогнутая кривая. Признак выпуклости и вогнутости графика функции.
35. Точки перегиба. Необходимое и достаточное условие существования точки перегиба.
36. Асимптоты. Общая схема исследования функции и построения её графика.
37. Первообразная и неопределённый интеграл. Основные свойства.
38. Таблица интегралов.
39. Замена переменной под знаком неопределённого интеграла.
40. Интегрирование по частям.
41. Интегрирование рациональных дробей.
42. Интегрирование тригонометрических функций.
43. Интегрирование иррациональных функций.
44. Определённый интеграл. Свойства.
45. Интеграл с переменным верхним пределом. Свойства.
46. Формула Ньютона–Лейбница.
47. Замена переменной в определённом интеграле.
48. Геометрические приложения определённого интеграла.
49. Несобственный интеграл от непрерывной функции на бесконечном промежутке.
50. Несобственный интеграл от неограниченной функции на конечном промежутке.
51. Числовые ряды. Свойства сходящихся рядов. Геометрический ряд.
52. Необходимый признак сходимости ряда.
53. Признаки сравнения сходимости неотрицательных рядов.
54. Признак Даламбера, признак Коши, интегральный признак Коши–Маклорена сходимости неотрицательных рядов.
55. Гармонические ряды.
56. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
57. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
58. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.
59. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Область сходимости.

Перечень вопросов для промежуточной аттестации для 2 семестра.

1. Метрические пространства. Множества в : открытые, замкнутые, ограниченные, окрестность точки.
2. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Повторные пределы.
3. Частные производные первого порядка.
4. Геометрический смысл для случая функции двух переменных. Касательная плоскость и нормаль.
5. Дифференцируемая функция.
6. Полный дифференциал.
7. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях.
8. Дифференцирование сложной функции.
9. Частные производные высших порядков.
10. Дифференциалы высших порядков.
11. Формула Тейлора для функции двух переменных.
12. Производная неявно заданной функции.
13. Производная по направлению.
14. Градиент. Свойства.
15. Квадратичные формы. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной фор-мы.
16. Экстремумы функций нескольких переменных.
17. Необходимый признак экстремума.
18. Достаточный признак экстремума.
19. Достаточный признак экстремума для функции двух переменных.
20. Определение и свойства двойного интеграла.
21. Сведение двойного интеграла к повторному.
22. Определение и свойства тройного интеграла.
23. Сведение тройного интеграла к повторному.
24. Замена переменных в двойном интеграле. Полярные координаты при замене переменных в двойном интеграле. Якобиан перехода.
25. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические координаты при замене переменных в тройном интеграле. Якобиан перехода.
26. Замена переменных в тройном интеграле. Сферические координаты при замене переменных в тройном интеграле. Якобиан перехода.
27. Определение и свойства криволинейного интеграла 1-го рода. Формулы для вычисления.
28. Определение и свойства криволинейного интеграла 2-го рода. Формулы для вычисления.
29. Независимость криволинейного интеграла 2-ого рода от пути интегрирования.
30. Формула Грина.
31. Формула вычисления площади через криволинейный интеграл.
32. Поверхностный интеграл 1-го рода. Определение и свойства.
33. Поверхностный интеграл 2-го рода. Определение и свойства.
34. Элементы теории поля: градиент, дивергенция, ротор, циркуляция, поток.
35. Формула Стокса.
36. Формула Гаусса–Остроградского.
37. Формула вычисления объема через поверхностный интеграл.
38. Геометрические и физические приложения кратных, криволинейных, поверхностных интегралов.
39. Комплексные числа. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа.
40. Функции комплексной переменной. Предел и непрерывность.
41. Дифференцируемость функции комплексной переменной. Условия Коши–Римана.
42. Показательная функция. Свойства. Формула Эйлера.
43. Тригонометрические функции. Свойства.
44. Интегрирование функции комплексной переменной.
45. Теорема Коши. Интегральная формула Коши.
46. Понятие неопределенного интеграла.
47. Представление аналитической функции в ряд Тейлора в окрестности точки.
48. Представление аналитической функции в ряд Лорана в кольце.
49. Особые точки. Типы особых точек.
50. Вычеты.
51. Применение вычетов к вычислению интегралов.
52. Обыкновенные дифференциальные уравнения: определение, общее решение, частное решение, интегральная кривая.
53. Общий вид дифференциального уравнения первого порядка. Задача Коши.
54. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
55. Однородные уравнения первого порядка.
56. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
57. Уравнение Бернулли.
58. Метод вариации постоянной для линейного дифференциального уравнения первого порядка.
59. Дифференциальные уравнения с полным дифференциалом.
60. Дифференциальные уравнения высших порядков: общий вид, общее решение, частное решение, начальные условия, краевая задача.
61. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
62. Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка. Теорема о сумме частных решений.
63. Определение линейно независимых решений. Теорема о структуре общего решения однородного линейного уравнения второго порядка.
64. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение (3 случая).
65. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Структура общего решения.
66. Метод вариации постоянных для нахождения частных решений неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка.
67. Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Общее и частное решения.
68. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
69. Сведение системы линейных дифференциальных уравнений к дифференциальному уравнению второго порядка.
70. Периодические функции. Ортогональность тригонометрической системы.
71. Тригонометрические ряды Фурье. Нахождение коэффициентов Фурье.
72. Ряды Фурье для четных и нечетных периодических функций.
73. Ряд Фурье для функций с произвольным периодом.
74. Интеграл Фурье.
75. Преобразование Фурье. Косинус-, синус-преобразования.

КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ:
«Отлично»: студентом дан полный, в логической последовательности развернутый ответ на поставленные вопросы, где он продемонстрировал знания предмета в полном объеме учебной программы, достаточно глубоко осмысливает дисциплину, самостоятельно, и исчерпывающе отвечает на дополнительные вопросы, приводит собственные примеры по проблематике поставленного вопроса, решил предложенные практические задания без ошибок.

«Хорошо»: студентом дан развернутый ответ на поставленный вопрос, где студент демонстрирует знания, приобретенные на лекционных и семинарских занятиях, а также полученные посредством изучения обязательных учебных материалов по курсу, дает аргументированные ответы, приводит примеры, в ответе присутствует свободное владение монологической речью, логичность и последовательность ответа. Однако допускаются неточности в ответе. Решил предложенные практические задания с небольшими неточностями.

«Удовлетворительно»: студентом дан ответ, свидетельствующий в основном о знании процессов изучаемой дисциплины, отличающийся недостаточной глубиной и полнотой раскрытия темы, знанием основных вопросов теории, слабо сформированными навыками анализа явлений, процессов, недостаточным умением давать аргументированные ответы и приводить примеры, недостаточно свободным владением монологической речью, логичностью и последовательностью ответа. Допускается несколько ошибок в содержании ответа и решении практических заданий.

«Неудовлетворительно»: студентом дан ответ, который содержит ряд серьезных неточностей, обнаруживающий незнание процессов изучаемой предметной области, отличающийся неглубоким раскрытием темы, незнанием основных вопросов теории, неумением давать аргументированные ответы. Выводы поверхностны. Решение практических заданий не выполнено. Студент не способен ответить на вопросы даже при дополнительных наводящих вопросах преподавателя.


Приложения
Приложение 1.   ФОС_МА_ИБ.doc

6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

6.1. Рекомендуемая литература
6.1.1. Основная литература
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л1.1 Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа в 3 т. Том 1: учебник для бакалавров М.: Юрайт, 2019 biblio-online.ru
Л1.2 Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. В 2-х частях. Часть 2: учебник СПб. : Лань, 2021 e.lanbook.com
Л1.3 Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. В 2-х частях. часть 1: учебник СПб.: Лань, 2022 e.lanbook.com
6.1.2. Дополнительная литература
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л2.1 Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа : учебное пособие СПб.: Лань, 2017 // ЭБС "Лань" e.lanbook.com
Л2.2 Демидович Б. П., Моденов В. П. Дифференциальные уравнения: учеб. пособие СПБ.: Лань, 2021 e.lanbook.com
Л2.3 Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа в 3 т. Том 2 в 2 книгах. Книга 2 : учебник М.: Юрайт, 2017 // ЭБС "Юрайт" biblio-online.ru
6.1.3. Дополнительные источники
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л3.1 Устюжанова А.В. Математический анализ. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие АлтГУ, 2015 // ЭБС АлтГУ elibrary.asu.ru
Л3.2 Устюжанова А.В. Математический анализ. Предел и непрерывность: Учебно-методическое пособие АлтГУ, 2016 // ЭБС АлтГУ elibrary.asu.ru
6.2. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет"
Название Эл. адрес
Э1 ЭБС "Лань" https://e.lanbook.com/
Э2 ЭБС "Университетская библиотека on-line" https://biblioclub.ru/
Э3 https://www.biblio-online.ru/
Э4 Образовательный курс Математический анализ на платформе MOODLE portal.edu.asu.ru
Э5 Образовательный курс Математический анализ на платформе MOODLE portal.edu.asu.ru
Э6 Образовательный курс Математический анализ на платформе MOODLE portal.edu.asu.ru
6.3. Перечень программного обеспечения
Microsoft Office, Microsoft Windows, 7-Zip, AcrobatReader
Microsoft Office 2010 (Office 2010 Professional, № 4065231 от 08.12.2010), (бессрочно);
Microsoft Windows 7 (Windows 7 Professional, № 61834699 от 22.04.2013), (бессрочно);
Chrome (http://www.chromium.org/chromium-os/licenses), (бессрочно); 7-Zip (http://www.7-zip.org/license.txt), (бессрочно);
AcrobatReader (http://wwwimages.adobe.com/content/dam/Adobe/en/legal/servicetou/Acrobat_com_Additional_TOU-en_US-20140618_1200.pdf), (бессрочно);
ASTRA LINUX SPECIAL EDITION (https://astralinux.ru/products/astra-linux-special-edition/), (бессрочно);
LibreOffice (https://ru.libreoffice.org/), (бессрочно);
Веб-браузер Chromium (https://www.chromium.org/Home/), (бессрочно);
Антивирус Касперский (https://www.kaspersky.ru/), (до 23 июня 2024);
Архиватор Ark (https://apps.kde.org/ark/), (бессрочно);
Okular (https://okular.kde.org/ru/download/), (бессрочно);
Редактор изображений Gimp (https://www.gimp.org/), (бессрочно)
6.4. Перечень информационных справочных систем
Сайт библиотеки АлтГУ: www.lib.asu.ru;
электронно-библиотечная система издательства «Лань»: www.e.lanbook.com;
электронно-библиотечная система «Университетская библиотека online»: www.biblioclub.ru;
свободная энциклопедия «Википедия»: http://ru.wikipedia.org
единый образовательный портал http://portal.edu.asu.ru/course/index.php?categoryid=96

7. Материально-техническое обеспечение дисциплины

Аудитория Назначение Оборудование
Учебная аудитория для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), проведения практик Стандартное оборудование (учебная мебель для обучающихся, рабочее место преподавателя, доска)
Учебная аудитория для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), проведения практик Стандартное оборудование (учебная мебель для обучающихся, рабочее место преподавателя, доска)
Помещение для самостоятельной работы помещение для самостоятельной работы обучающихся Компьютеры, ноутбуки с подключением к информационно-телекоммуникационной сети «Интернет», доступом в электронную информационно-образовательную среду АлтГУ

8. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

1. Для успешного освоения содержания дисциплины необходимо посещать лекции, принимать активное участие в работе на практическом занятии, а также выполнять задания, предлагаемые преподавателем для самостоятельного изучения.
2. Лекция.
- На лекцию приходите не опаздывая.
- На лекционных занятиях необходимо конспектировать изучаемый материал.
- Для систематизации лекционного материала, который будет полезен при подготовке к итоговому контролю знаний, записывайте на каждой лекции тему, вопросы для изучения, рекомендуемую литературу.
- В каждом вопросе выделяйте главное, обязательно запишите ключевые моменты (определение, факты, законы, правила и т.д.), подчеркните их.
- Если по содержанию материала возникают вопросы, запишите их и задайте по окончании лекции или на практическом занятии.
- Перед следующей лекцией обязательно прочитайте предыдущую, чтобы актуализировать знания и осознанно приступить к освоению нового содержания.
3. Практическое занятие – это форма работы, где студенты максимально активно участвуют в обсуждении темы и решении практических задач.
- Для подготовки к практическому занятию необходимо взять план практического занятия у преподавателя.
- Самостоятельную подготовку к практическому занятию необходимо начинать с изучения понятийного аппарата темы. Рекомендуем использовать справочную литературу, целесообразно создать и вести свой словарь терминов.
- На практическое занятие выносится обсуждение и решение практических задач. Важно просматривать и разбирать лекционный материал для того, чтобы применить его при решении практических задач.
- В процессе изучения темы анализируйте несколько источников. Используйте периодическую печать - специальные журналы.
- Полезным будет работа с электронными учебниками и учебными пособиями в Internet-библиотеках. Зарегистрируйтесь в них: университетская библиотека Онлайн (http://www.biblioclub.ru/) и электронно-библиотечная система «Лань» (http://e.lanbook.com/).
- Принимайте участие в дискуссиях, так как они развивают ваши навыки коммуникативного общения.
- Если к практическим занятиям предлагаются задания, продумайте план их выполнения или решения при подготовке к практическому занятию.
- При возникновении трудностей в процессе подготовки взаимодействуйте с преподавателем, консультируйтесь по самостоятельному изучению темы.
4. Самостоятельная работа.
- При изучении дисциплины не все вопросы рассматриваются подробно на лекциях и практических занятиях, часть вопросов рекомендуется преподавателем для самостоятельного более глубокого изучения с использованием дополнительной литературы.
- Поиск ответов на вопросы и выполнение заданий для самостоятельной работы позволит вам расширить и углубить свои знания по курсу, применить теоретические знания в решении задач практического содержания, закрепить изученное ранее.
- Эти задания следует выполнять постепенно, планомерно, следуя порядку изучения тем курса.
- При возникновении вопросов обратитесь к преподавателю в день консультаций на кафедру.
- Выполнив их, проанализируйте качество их выполнения. Это поможет вам развивать умения самоконтроля и оценочные компетенции.
5. Итоговый контроль.
- Для подготовки к экзамену возьмите перечень примерных вопросов и заданий у преподавателя.
- В списке вопросов выделите те, которые были рассмотрены на лекции, практических занятиях. Обратитесь к своим записям, выделите существенное. Для более детального изучения изучите рекомендуемую литературу.
- Если в списке вопросов есть те, которые рассматривались на лекции, практическом занятии частично и не достаточно подробно, изучите их более углубленно сампстоятельно с помощью рекомендуемой учебной литературы. Если есть сомнения, задайте вопросы на консультации перед экзаменом.
- Продумайте свой ответ на экзамене, его логику. Помните, что ваш ответ украсит ссылка на источник литературы, иллюстрация практики применения теоретического знания, а также уверенность и наличие авторской аргументированной позиции как будущего субъекта профессиональной деятельности.