| Закреплена за кафедрой | Кафедра алгебры и математической логики |
|---|---|
| Направление подготовки | 02.04.01. Математика и компьютерные науки |
| Профиль | Алгебра и дискретная математика |
| Форма обучения | Очная |
| Общая трудоемкость | 4 ЗЕТ |
| Учебный план | 02_04_01_Математика и компьютерные науки_АиДМ-2023 |
|
|
||||||||||||||
Распределение часов по семестрам
| Курс (семестр) | 2 (3) | Итого | ||
|---|---|---|---|---|
| Недель | 15 | |||
| Вид занятий | УП | РПД | УП | РПД |
| Лекции | 16 | 16 | 16 | 16 |
| Практические | 26 | 26 | 26 | 26 |
| Сам. работа | 75 | 75 | 75 | 75 |
| Часы на контроль | 27 | 27 | 27 | 27 |
| Итого | 144 | 144 | 144 | 144 |
Визирование РПД для исполнения в очередном учебном году
Рабочая программа пересмотрена, обсуждена и одобрена для
исполнения в 2023-2024 учебном году на заседании
кафедры
Кафедра алгебры и математической логики
Протокол от 31.08.2022 г. № 12
Заведующий кафедрой профессор, д.ф.-м.н. Будкин А.И.
| 1.1. | Цель преподавания дисциплины. Подготовка педагогов и научных работников, обладающих высокой алгебраической культурой, готовых и умеющих применять теорию колец в обучении, в научных исследованиях и при решении прикладных задач, активно участвующих в процессе образования и науки. Задачи изучения дисциплины. 1. Дать студентам основы знаний по теории многообразий колец. 2. Научить применять изложенный материал в научных исследованиях. 3. Подготовить к восприятию новых научных фактов и гипотез в теории колец. 4. Подготовить будущих преподавателей к использованию полученных знаний в процессе образования. |
|---|
| Цикл (раздел) ООП: Б1.О.03 |
| ОПК-2 | Способен создавать и исследовать новые математические модели в естественных науках, совершенствовать и разрабатывать концепции, теории и методы |
| ОПК-2.1 | Знает основные этапы создания и исследования математических моделей в алгебре и дискретной математике. |
| ОПК-2.2 | Умеет создавать и исследовать математическую модель на основе имеющейся качественной информации об объекте исследования. |
| ОПК-2.3 | Владеет навыками разработки основных концепций исследования созданной математической модели в конкретной области профессиональной деятельности. |
| ПК-2 | Способен планировать свою научно-исследовательскую деятельность (НИД) и выбирать адекватные методы решения научно-исследовательских задач в области алгебры и дискретной математики. |
| ПК-2.1 | Составляет общий план исследования и детальные планы отдельных стадий НИД. |
| ПК-2.2 | Умеет проводить расчетно-теоретические и экспериментальные оценки методов и методик решения поставленных задач с учетом временных затрат, вычислительных и материальных ресурсов для осуществления НИД. |
| В результате освоения дисциплины обучающийся должен | |
| 3.1. | Знать: |
|---|---|
| 3.1.1. | ПК-2.1. Составляет общий план исследования и детальные планы отдельных стадий НИД
. ОПК-2.1. Знает основные этапы создания и исследования математических моделей в алгебре и дискретной математике. |
| 3.2. | Уметь: |
| 3.2.1. | ОПК-2.2. Умеет создавать и исследовать математическую модель на основе имеющейся качественной информации об объекте исследования. ПК-2.2. Умеет проводить расчетно-теоретические и экспериментальные оценки методов и методик решения поставленных задач с учетом временных затрат, вычислительных и материальных ресурсов для осуществления НИД. |
| 3.3. | Иметь навыки и (или) опыт деятельности (владеть): |
| 3.3.1. | ПК-2.3. Умеет проводить расчетно-теоретические и экспериментальные оценки методов и методик решения поставленных задач с учетом временных затрат, вычислительных и материальных ресурсов для осуществления НИД. ОПК-2.3. Владеет навыками разработки основных концепций исследования созданной математической модели в конкретной области профессиональной деятельности. |
| Код занятия | Наименование разделов и тем | Вид занятия | Семестр | Часов | Компетенции | Литература |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Раздел 1. Основные понятия о многообразиях колец | ||||||
| 1.1. | Теорема Биркгофа | Лекции | 3 | 1 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-2.1, ОПК-2.2, ОПК-2.3 | Л1.1, Л2.1 |
| 1.2. | Операции на многообразиях, атомы, решетка подмногообразий, примеры (А.Тарский, Ю.М.Рябухин, Р.С. Флоря, И.Б.Гаврилов). | Лекции | 3 | 1 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-2.1, ОПК-2.2, ОПК-2.3 | Л1.1, Л2.1 |
| 1.3. | Теорема Биркгофа, теорема Тарского | Практические | 3 | 2 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-2.1, ОПК-2.2, ОПК-2.3 | Л1.1, Л2.1 |
| 1.4. | Линеаризация тождеств, примеры | Лекции | 3 | 1 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-2.1, ОПК-2.2, ОПК-2.3 | Л1.1, Л2.1 |
| 1.5. | Линеаризация тождеств, решение задач | Практические | 3 | 2 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-2.1, ОПК-2.2, ОПК-2.3 | Л1.1, Л2.1 |
| 1.6. | База Шпехта. Шпехтовость многообразия ассоциативных алгебр. Теоремы Латышева, Кемера | Лекции | 3 | 2 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-2.1, ОПК-2.2, ОПК-2.3 | Л1.1, Л2.1 |
| 1.7. | База Шпехта. | Практические | 3 | 2 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-2.1, ОПК-2.2, ОПК-2.3 | Л1.1, Л2.1 |
| 1.8. | О Т-идеалах, содержащих тождество степени не выше трех | Лекции | 3 | 1 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-2.1, ОПК-2.2, ОПК-2.3 | Л1.1, Л2.1 |
| 1.9. | О Т-идеалах, содержащих тождество степени не выше трех | Практические | 3 | 2 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-2.1, ОПК-2.2, ОПК-2.3 | Л1.1, Л2.1 |
| 1.10. | Группоид многообразия ассоциативных алгебр | Лекции | 3 | 1 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-2.1, ОПК-2.2, ОПК-2.3 | Л1.1, Л2.1 |
| 1.11. | Основные понятия о многообразиях колец | Сам. работа | 3 | 40 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-2.1, ОПК-2.2, ОПК-2.3 | Л1.1, Л2.1 |
| Раздел 2. Строение PI – алгебр | ||||||
| 2.1. | Строение примитивных PI – алгебр | Лекции | 3 | 1 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-2.1, ОПК-2.2, ОПК-2.3 | Л2.1 |
| 2.2. | Строение примитивных PI – алгебр | Практические | 3 | 4 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-2.1, ОПК-2.2, ОПК-2.3 | Л2.1 |
| 2.3. | Строение первичных PI – алгебр | Лекции | 3 | 1 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-2.1, ОПК-2.2, ОПК-2.3 | Л2.1 |
| 2.4. | Строение первичных PI – алгебр | Практические | 3 | 4 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-2.1, ОПК-2.2, ОПК-2.3 | Л2.1 |
| 2.5. | Многочлен Размыслова | Лекции | 3 | 1 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-2.1, ОПК-2.2, ОПК-2.3 | Л2.1 |
| 2.6. | Многочлен Размыслова | Практические | 3 | 2 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-2.1, ОПК-2.2, ОПК-2.3 | Л2.1 |
| 2.7. | Ниль- подкольца PI – колец | Лекции | 3 | 1 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-2.1, ОПК-2.2, ОПК-2.3 | Л2.1 |
| 2.8. | Ниль- подкольца PI – колец | Практические | 3 | 2 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-2.1, ОПК-2.2, ОПК-2.3 | Л2.1 |
| 2.9. | Теорема Веддербарна о конечных телах. Теоремы Джекобсона о коммутативности колец | Лекции | 3 | 2 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-2.1, ОПК-2.2, ОПК-2.3 | Л2.1 |
| 2.10. | Базисы тождеств конечных полей, колец матриц над полями | Практические | 3 | 2 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-2.1, ОПК-2.2, ОПК-2.3 | Л2.1 |
| 2.11. | Теорема И.В. Львова. Теорема Херстейна | Лекции | 3 | 2 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-2.1, ОПК-2.2, ОПК-2.3 | Л2.1 |
| 2.12. | Теорема И.В. Львова. Теорема Херстейна | Практические | 3 | 2 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-2.1, ОПК-2.2, ОПК-2.3 | Л2.1 |
| 2.13. | Почти коммутативные многообразия колец | Лекции | 3 | 1 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-2.1, ОПК-2.2, ОПК-2.3 | Л2.1 |
| 2.14. | Почти коммутативные многообразия колец | Практические | 3 | 2 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-2.1, ОПК-2.2, ОПК-2.3 | Л2.1 |
| 2.15. | Строение PI – алгебр | Сам. работа | 3 | 35 | ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-2.1, ОПК-2.2, ОПК-2.3 | Л2.1 |
| 5.1. Контрольные вопросы и задания для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины |
| Оценочные материалы для текущего контроля по разделам и темам дисциплины в полном объеме размещены в онлайн-курсе на образовательном портале «Цифровой университет АлтГУ» – https://portal.edu.asu.ru/course/view.php?id=8050. ОЦЕНКА СФОРМИРОВАННОСТИ КОМПЕТЕНЦИИ ОПК-2 Способен создавать и исследовать новые математические модели в естественных науках, совершенствовать и разрабатывать концепции, теории и методы ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ ЗАКРЫТОГО ТИПА 1. Многочлен f(x_1, . . . , x_d) ∈ Φ⟨X⟩ называется тождеством алгебры R, если: 1) для любых элементов a_1, a_2, . . . , a_d ∈ R выполняется f(a1, a2, . . . , ad) = 0. 2) существуют элементы a_1, a_2, . . . , a_d ∈ R такие, что выполняется f(a1, a2, . . . , ad) = 0. ОТВЕТ: 1). 2. Алгебра R, удовлетворяющая тождеству f = 0, где f – ненулевой многочлен из свободной алгебры Φ⟨X⟩, называется алгеброй … 1) с определяющим соотношением; 2) с тождественным соотношением. ОТВЕТ: 2). 3. Абстрактный класс колец является многообразием колец тогда и только тогда, когда … 1) он замкнут относительно взятия подколец, гомоморфных образов и тензорных произведений; 2) он замкнут относительно взятия подколец, гомоморфных образов и прямых произведений; 3) он замкнут относительно взятия подколец и прямых произведений. ОТВЕТ: 2). 4. Алгебра матриц M_2 (F) над полем удовлетворяет тождеству: 1) [[x, y]^4, z] = 0; 2) [[x, y]^2, z] = 0; 3) [[x, y], z] = 0. ОТВЕТ: 2). 5. Пусть K – коммутативная Φ-алгебра. Тогда алгебра матриц M_n (K) удовлетворяет тождеству: 1) S_n (x_1, x_2, . . . , x_2n) = 0; 2) S_4n (x_1, x_2, . . . , x_2n) = 0; 3) S_2n (x_1, x_2, . . . , x_2n) = 0. ОТВЕТ: 3). 6. Идеал тождеств алгебры M_n (F), char F = 0, … 1) не является конечнопорожденным (как T-идеал). 2) является конечнопорожденным (как T-идеал). ОТВЕТ: 2). 7. Если char F > 0, то вопрос о конечной порожденности произвольного T-идеала решается … 1) положительно; 2) отрицательно; 3) не имеет решения. ОТВЕТ: 2). 8. Пусть G1 – бесконечно порожденная алгебра Грассмана (с единицей) над полем характеристики нуль. Тогда … 1) T(G1) = {[x, y, z], [x^2,y]}^T; 2) T(G1) = {[x, y, zt]}^T; 3) T(G1) = {[x, y, z]}^T. ОТВЕТ: 3). 9. Пусть F – поле характеристики нуль и A_n – подалгебра верхних треугольных матриц в алгебре матриц M_n (F). Тогда … 1) T(A_n) = {[x_1, x_2] . . . [x_(n−1), x_(n)]}^T; 2) T(A_n) = {[x_1, x_2] . . . [x_(2n−1), x_(2n)]}^T; 3) T(A_n) = {[x_1, x_2] . . . [x_(4n−1), x_(4n)]}^T. ОТВЕТ: 2). 10. Пусть R – примитивная F-алгебра, удовлетворяющая тождеству степени d. Тогда R – простая алгебра … 1) бесконечномерная над своим центром; 2) конечномерная над своим центром Z и размерность R над центром превышает [d/2]^2; 3) конечномерная над своим центром Z и размерность R над центром не превышает [d/2]^2. ОТВЕТ: 3). 11. Всякая PI-алгебра R удовлетворяет тождеству вида … 1) (S_2n (x_1, . . . , x_2n))^m = 0; 2) S_4n (x_1, . . . , x_4n) = 0; 3) S_2n (x_1, . . . , x_2n) = 0. ОТВЕТ: 1). 12. Многочлен f называется центральным (многочленом Капланского) для алгебры R, если … 1) [f(x_1, . . . , x_d), y] = 0 – определяющее соотношение в алгебре R; 2) f(x_1, . . . , x_d) = 0 – тождество в алгебре R; 3) [f(x_1, . . . , x_d), y] = 0 – тождество в алгебре R. ОТВЕТ: 3). 13. Для алгебры M_n (F) существует центральный многочлен степени … 1) n^2. 1) n^4. 1) 2n. ОТВЕТ: 1). 14. Пусть Q – идеал тождеств полупервичной PI-алгебры R. Тогда приведенно свободная алгебра F ⟨X⟩ /Q является … 1) простой; 2) полупростой; 3) нильпотентной. ОТВЕТ: 2). 15. Пусть R – ниль-алгебра над полем F, удовлетворяющая тождеству. Тогда алгебра R … 1) локально нильпотентная алгебра; 1) нильпотентная алгебра. ОТВЕТ: 1). КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ: Каждое задание оценивается 1 баллом. Оценивание КИМ теоретического характера в целом: • «зачтено» – верно выполнено более 50% заданий; «не зачтено» – верно выполнено 50% и менее 50% заданий; • «отлично» – верно выполнено 85-100% заданий; «хорошо» – верно выполнено 70-84% заданий; «удовлетворительно» – верно выполнено 51-69% заданий; «неудовлетворительно» – верно выполнено 50% или менее 50% заданий. ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ ОТКРЫТОГО ТИПА 1. Группоид подмногообразий многообразия ассоциативных колец удовлетворяет условию модулярности. ОТВЕТ: да. 2. Группоид подмногообразий многообразия ассоциативных колец удовлетворяет условию дистрибутивности. ОТВЕТ: нет. 3. Группоид подмногообразий многообразия ассоциативных колец ассоциативен. ОТВЕТ: нет. 4. Группоид подмногообразий многообразия ассоциативных колец некоммутативен. ОТВЕТ: да. 5. Верно ли, что конечномерная алгебра над полем является PI-алгеброй? ОТВЕТ: да. 6. Алгебра Грассмана G^1 не удовлетворяет тождеству [[x, y], z] = 0. ОТВЕТ: нет. 7. Алгебра матриц над полем M_n (F) не удовлетворяет полилинейному тождеству степени меньшей 2n. ОТВЕТ: да. 8. Пусть Φ-алгебра R удовлетворяет полилинейному тождеству f(x_1, . . . , x_d) = 0 и K – произвольная коммутативная Φ-алгебра. Тогда тензорное произведение R ⊗ K над Φ тоже удовлетворяет тождеству f(x_1, . . . , x_d) = 0. ОТВЕТ: да. 9. Каждый ненулевой T-идеал F ⟨X⟩ содержит ненулевой полилинейный многочлен. ОТВЕТ: да. 10. Если F – бесконечное поле и I – T-идеал F ⟨X⟩, то I не порождается однородными многочленами. ОТВЕТ: нет. 11. Если F – поле характеристики нуль и I – T-идеал F ⟨X⟩, то I порождается полилинейными многочленами. ОТВЕТ: да. 12. Пусть F – поле характеристики нуль. Тогда T(M_n (F)) ⊆ ({[x, y]}^T)^n. ОТВЕТ: да. 13. Пусть R – PI-алгебра нечетной степени d. Тогда алгебра R содержит ненулевой нильпотентный идеал. ОТВЕТ: нет. 14. Существует ли центральный многочлен для алгебры M_n (F)? ОТВЕТ: да. 15. Приведенно свободная алгебра F ⟨X⟩ /M_n содержит делители нуля. ОТВЕТ: нет. 16. Пусть Q – T-идеал свободной алгебры F ⟨X⟩. Тогда радикал Джекобсона J(F ⟨X⟩ /Q) является ниль-идеалом в F ⟨X⟩ /Q. ОТВЕТ: да. 17. Пусть Q – T-идеал F ⟨X⟩. Приведенно свободная алгебра F ⟨X⟩ /Q является полупростой тогда и только тогда, когда Q = M_n для некоторого числа n ≥ 1. ОТВЕТ: да. 18. Пусть алгебра R удовлетворяет тождеству x^n = 0. Тогда R не является локально нильпотентной алгеброй. ОТВЕТ: нет. 19. Пусть R – конечно порожденная алгебра над полем F характеристики нуль, удовлетворяющая тождеству. Тогда радикал Джекобсона J(R) не является суммой нильпотентных идеалов R. ОТВЕТ: нет. 20. Идеал тождеств произвольного конечного ассоциативного кольца является конечно порожденным. ОТВЕТ: да. КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ОТКРЫТЫХ ВОПРОСОВ. «Отлично» (зачтено): Ответ полный, развернутый. Вопрос точно и исчерпывающе передан, терминология сохранена, студент превосходно владеет основной и дополнительной литературой, ошибок нет. «Хорошо» (зачтено): Ответ полный, хотя краток, терминологически правильный, нет существенных недочетов. Студент хорошо владеет пройденным программным материалом; владеет основной литературой, суждения правильны. «Удовлетворительно» (зачтено): Ответ неполный. В терминологии имеются недостатки. Студент владеет программным материалом, но имеются недочеты. Суждения фрагментарны. «Неудовлетворительно» (не зачтено): Не использована специальная терминология. Ответ в сущности неверен. Переданы лишь отдельные фрагменты соответствующего материала вопроса. Ответ не соответствует вопросу или вовсе не дан. ОЦЕНКА СФОРМИРОВАННОСТИ КОМПЕТЕНЦИИ ПК-2 Способен планировать свою научно-исследовательскую деятельность (НИД) и выбирать адекватные методы решения научно-исследовательских задач в области алгебры и дискретной математики. ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ ЗАКРЫТОГО ТИПА 1. Многочлен f(x_1, . . . , x_d) ∈ Φ⟨X⟩ называется тождеством алгебры R, если: 1) для любых элементов a_1, a_2, . . . , a_d ∈ R выполняется f(a1, a2, . . . , ad) = 0. 2) существуют элементы a_1, a_2, . . . , a_d ∈ R такие, что выполняется f(a1, a2, . . . , ad) = 0. ОТВЕТ: 1). 2. Алгебра R, удовлетворяющая тождеству f = 0, где f – ненулевой многочлен из свободной алгебры Φ⟨X⟩, называется алгеброй … 1) с определяющим соотношением; 2) с тождественным соотношением. ОТВЕТ: 2). 3. Абстрактный класс колец является многообразием колец тогда и только тогда, когда … 1) он замкнут относительно взятия подколец, гомоморфных образов и тензорных произведений; 2) он замкнут относительно взятия подколец, гомоморфных образов и прямых произведений; 3) он замкнут относительно взятия подколец и прямых произведений. ОТВЕТ: 2). 4. Алгебра матриц M_2 (F) над полем удовлетворяет тождеству: 1) [[x, y]^4, z] = 0; 2) [[x, y]^2, z] = 0; 3) [[x, y], z] = 0. ОТВЕТ: 2). 5. Пусть K – коммутативная Φ-алгебра. Тогда алгебра матриц M_n (K) удовлетворяет тождеству: 1) S_n (x_1, x_2, . . . , x_2n) = 0; 2) S_4n (x_1, x_2, . . . , x_2n) = 0; 3) S_2n (x_1, x_2, . . . , x_2n) = 0. ОТВЕТ: 3). 6. Идеал тождеств алгебры M_n (F), char F = 0, … 1) не является конечнопорожденным (как T-идеал). 2) является конечнопорожденным (как T-идеал). ОТВЕТ: 2). 7. Если char F > 0, то вопрос о конечной порожденности произвольного T-идеала решается … 1) положительно; 2) отрицательно; 3) не имеет решения. ОТВЕТ: 2). 8. Пусть G1 – бесконечно порожденная алгебра Грассмана (с единицей) над полем характеристики нуль. Тогда … 1) T(G1) = {[x, y, z], [x^2,y]}^T; 2) T(G1) = {[x, y, zt]}^T; 3) T(G1) = {[x, y, z]}^T. ОТВЕТ: 3). 9. Пусть F – поле характеристики нуль и A_n – подалгебра верхних треугольных матриц в алгебре матриц M_n (F). Тогда … 1) T(A_n) = {[x_1, x_2] . . . [x_(n−1), x_(n)]}^T; 2) T(A_n) = {[x_1, x_2] . . . [x_(2n−1), x_(2n)]}^T; 3) T(A_n) = {[x_1, x_2] . . . [x_(4n−1), x_(4n)]}^T. ОТВЕТ: 2). 10. Пусть R – примитивная F-алгебра, удовлетворяющая тождеству степени d. Тогда R – простая алгебра … 1) бесконечномерная над своим центром; 2) конечномерная над своим центром Z и размерность R над центром превышает [d/2]^2; 3) конечномерная над своим центром Z и размерность R над центром не превышает [d/2]^2. ОТВЕТ: 3). 11. Всякая PI-алгебра R удовлетворяет тождеству вида … 1) (S_2n (x_1, . . . , x_2n))^m = 0; 2) S_4n (x_1, . . . , x_4n) = 0; 3) S_2n (x_1, . . . , x_2n) = 0. ОТВЕТ: 1). 12. Многочлен f называется центральным (многочленом Капланского) для алгебры R, если … 1) [f(x_1, . . . , x_d), y] = 0 – определяющее соотношение в алгебре R; 2) f(x_1, . . . , x_d) = 0 – тождество в алгебре R; 3) [f(x_1, . . . , x_d), y] = 0 – тождество в алгебре R. ОТВЕТ: 3). 13. Для алгебры M_n (F) существует центральный многочлен степени … 1) n^2. 1) n^4. 1) 2n. ОТВЕТ: 1). 14. Пусть Q – идеал тождеств полупервичной PI-алгебры R. Тогда приведенно свободная алгебра F ⟨X⟩ /Q является … 1) простой; 2) полупростой; 3) нильпотентной. ОТВЕТ: 2). 15. Пусть R – ниль-алгебра над полем F, удовлетворяющая тождеству. Тогда алгебра R … 1) локально нильпотентная алгебра; 1) нильпотентная алгебра. ОТВЕТ: 1). КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ: Каждое задание оценивается 1 баллом. Оценивание КИМ теоретического характера в целом: • «зачтено» – верно выполнено более 50% заданий; «не зачтено» – верно выполнено 50% и менее 50% заданий; • «отлично» – верно выполнено 85-100% заданий; «хорошо» – верно выполнено 70-84% заданий; «удовлетворительно» – верно выполнено 51-69% заданий; «неудовлетворительно» – верно выполнено 50% или менее 50% заданий. ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ ОТКРЫТОГО ТИПА 1. Группоид подмногообразий многообразия ассоциативных колец удовлетворяет условию модулярности. ОТВЕТ: да. 2. Группоид подмногообразий многообразия ассоциативных колец удовлетворяет условию дистрибутивности. ОТВЕТ: нет. 3. Группоид подмногообразий многообразия ассоциативных колец ассоциативен. ОТВЕТ: нет. 4. Группоид подмногообразий многообразия ассоциативных колец некоммутативен. ОТВЕТ: да. 5. Верно ли, что конечномерная алгебра над полем является PI-алгеброй? ОТВЕТ: да. 6. Алгебра Грассмана G^1 не удовлетворяет тождеству [[x, y], z] = 0. ОТВЕТ: нет. 7. Алгебра матриц над полем M_n (F) не удовлетворяет полилинейному тождеству степени меньшей 2n. ОТВЕТ: да. 8. Пусть Φ-алгебра R удовлетворяет полилинейному тождеству f(x_1, . . . , x_d) = 0 и K – произвольная коммутативная Φ-алгебра. Тогда тензорное произведение R ⊗ K над Φ тоже удовлетворяет тождеству f(x_1, . . . , x_d) = 0. ОТВЕТ: да. 9. Каждый ненулевой T-идеал F ⟨X⟩ содержит ненулевой полилинейный многочлен. ОТВЕТ: да. 10. Если F – бесконечное поле и I – T-идеал F ⟨X⟩, то I не порождается однородными многочленами. ОТВЕТ: нет. 11. Если F – поле характеристики нуль и I – T-идеал F ⟨X⟩, то I порождается полилинейными многочленами. ОТВЕТ: да. 12. Пусть F – поле характеристики нуль. Тогда T(M_n (F)) ⊆ ({[x, y]}^T)^n. ОТВЕТ: да. 13. Пусть R – PI-алгебра нечетной степени d. Тогда алгебра R содержит ненулевой нильпотентный идеал. ОТВЕТ: нет. 14. Существует ли центральный многочлен для алгебры M_n (F)? ОТВЕТ: да. 15. Приведенно свободная алгебра F ⟨X⟩ /M_n содержит делители нуля. ОТВЕТ: нет. 16. Пусть Q – T-идеал свободной алгебры F ⟨X⟩. Тогда радикал Джекобсона J(F ⟨X⟩ /Q) является ниль-идеалом в F ⟨X⟩ /Q. ОТВЕТ: да. 17. Пусть Q – T-идеал F ⟨X⟩. Приведенно свободная алгебра F ⟨X⟩ /Q является полупростой тогда и только тогда, когда Q = M_n для некоторого числа n ≥ 1. ОТВЕТ: да. 18. Пусть алгебра R удовлетворяет тождеству x^n = 0. Тогда R не является локально нильпотентной алгеброй. ОТВЕТ: нет. 19. Пусть R – конечно порожденная алгебра над полем F характеристики нуль, удовлетворяющая тождеству. Тогда радикал Джекобсона J(R) не является суммой нильпотентных идеалов R. ОТВЕТ: нет. 20. Идеал тождеств произвольного конечного ассоциативного кольца является конечно порожденным. ОТВЕТ: да. КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ОТКРЫТЫХ ВОПРОСОВ. «Отлично» (зачтено): Ответ полный, развернутый. Вопрос точно и исчерпывающе передан, терминология сохранена, студент превосходно владеет основной и дополнительной литературой, ошибок нет. «Хорошо» (зачтено): Ответ полный, хотя краток, терминологически правильный, нет существенных недочетов. Студент хорошо владеет пройденным программным материалом; владеет основной литературой, суждения правильны. «Удовлетворительно» (зачтено): Ответ неполный. В терминологии имеются недостатки. Студент владеет программным материалом, но имеются недочеты. Суждения фрагментарны. «Неудовлетворительно» (не зачтено): Не использована специальная терминология. Ответ в сущности неверен. Переданы лишь отдельные фрагменты соответствующего материала вопроса. Ответ не соответствует вопросу или вовсе не дан. |
| 5.2. Темы письменных работ для проведения текущего контроля (эссе, рефераты, курсовые работы и др.) |
| Не предусмотрено. |
| 5.3. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации |
| Промежуточная аттестация заключается в проведении в конце семестра зачета (для обучающихся, не получивших зачет по результатам текущей успеваемости) по всему изученному курсу. Зачет проводится в устной форме по билетам. В билет входит 2 вопроса: 1 вопрос теоретического характера и 1 вопрос практико-ориентированного характера. ВОПРОСЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ХАРАКТЕРА 1. Теорема Биркгофа 2. Операции на многообразиях, атомы, решетка подмногообразий, примеры (А.Тарский, Ю.М.Рябухин, Р.С. Флоря, И.Б.Гаврилов). 3. Линеаризация тождеств, примеры 4. База Шпехта. Шпехтовость многообразия ассоциативных алгебр. Теоремы Латышева, Кемера 5. О Т-идеалах, содержащих тождество степени не выше трех 6. Группоид многообразия ассоциативных алгебр. Основные понятия о многообразиях колец 7. Строение примитивных PI – алгебр 8. Строение первичных PI – алгебр 9. Многочлен Размыслова 10. Ниль- подкольца PI – колец 11. Теорема Веддербарна о конечных телах. 12. Теоремы Джекобсона о коммутативности колец 13. Базисы тождеств конечных полей, колец матриц над полями 14. Теорема И.В. Львова. Теорема Херстейна 15. Почти коммутативные многообразия колец 16. Строение PI – алгебр ВОПРОСЫ ПРАКТИКО-ОРИЕНТИРОВАННОГО ХАРАКТЕРА 1) Докажите, что M_2 (GF(q)) удовлетворяет тождеству (x – x^q)(x – x^(q^2)) = 0. 2) Пусть R – простое кольцо, удовлетворяющее тождеству x = x^3. Докажите, что R изоморфно либо GF(2), либо GF(3). 3) Докажите, что каждая ниль-подалгебра A алгебры M_n (F), где F – поле, является нильпотентной индекса не превосходящего числа n. 4) Пусть R – алгебра с единицей. Докажите, что: 1. если M_n (R) удовлетворяет тождеству S_2n (x_1, . . . , x_n) = 0, то R – коммутативная алгебра; 2. если M_n (R) удовлетворяет тождеству S_(n+1) (xy^n, xy^(n−1), . . . , xy, x) = 0, то R – коммутативная алгебра. 5) Пусть F – поле характеристики нуль. Докажите, что T (M_(n+1) (F)) ⊆ T(M_n (F)) · T(M_1 (F)), где n = 1, 2, . . .. 6) Пусть R – PI-алгебра. Докажите, что R удовлетворяет тождеству от двух переменных. 7) Пусть R – регулярная алгебра над полем F. Докажите, что для любого элемента a ∈ R существует элемент b ∈ R такой, что aba = a и bab = b. 8) Пусть F – поле характеристики нуль и M_n – идеал тождеств (в свободной ассоциативной алгебре F ⟨x1, x2, . . .⟩) алгебры M_n (F). Докажите, что при n ≥ 2 M_n не порождается (как T-идеал) многочленом S_2n (x_1, . . . , x_2n). 9) Пусть R = A+B, где A, B – подкольца кольца R, удовлетворяющие тождеству x^2 = 0. Докажите, что R удовлетворяет тождеству x^8 = 0. 10) Пусть R = L_1 + L_2, где L_1, L_2 – левые идеалы кольца R, удовлетворяющие тождеству x^n = 0. Докажите, что R удовлетворяет тождеству x^N = 0 для некоторого числа N ≥ 1. 11) Пусть R = A + B, где A, B – подкольца кольца R, A^m = (0) и B удовлетворяет тождеству x^n = 0. Докажите, что R удовлетворяет некоторому тождеству вида x^N = 0, где N – натуральное число. 12) Пусть R = A + B, где A, B – подкольца R такие, что A^2 = (0), B^m = (0). Докажите, что R^(m(m+1)) = (0). 13) Докажите, что x^2 = x^8 и [(x + x^2)^3, y] = 0 – тождества в кольце M_2 (GF(2)). 14) Докажите, что: 1. x^2 = x^26 – тождество в M_2 (GF(3)); 2. x^3 = x^87 – тождество в M_3 (GF(2)); 3. x^3 = x^315 – тождество в M_3 (GF(3)). 15) Пусть I – левый идеал кольца R, удовлетворяющий тождеству x^2 = 0. Докажите, что двусторонний идеал IR удовлетворяет тождеству x^3 = 0. 16) Пусть R = F ⟨a, b⟩ – 2-порожденная алгебра над полем F, удовлетворяющая полилинейному тождеству степени три. Докажите, что если a^n = b^n = 0, то R^(4n−3) = (0). 17) Пусть R – кольцо, удовлетворяющее тождеству x = x^14. Докажите, что R удовлетворяет тождеству x = x^2. 18) Докажите, что кольцо R удовлетворяет тождеству x = x^20 тогда и только тогда, когда R удовлетворяет тождеству x = x^2. 19) Пусть R – конечное кольцо с единицей. Докажите, что единица – единственный обратимый элемент в R тогда и только тогда, когда R удовлетворяет тождеству x^2 = x. 20) Докажите, что в кольце Z_105 выполнено тождество (x + y)^49 = x^49 + y^49. КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ: «Отлично» (зачтено): студентом дан полный, в логической последовательности развернутый ответ на поставленные вопросы, где он продемонстрировал знания предмета в полном объеме учебной программы, достаточно глубоко осмысливает дисциплину, самостоятельно, и исчерпывающе отвечает на дополнительные вопросы, приводит собственные примеры по проблематике поставленного вопроса, решил предложенные практические задания без ошибок. «Хорошо» (зачтено): студентом дан развернутый ответ на поставленный вопрос, где студент демонстрирует знания, приобретенные на лекционных и семинарских занятиях, а также полученные посредством изучения обязательных учебных материалов по курсу, дает аргументированные ответы, приводит примеры, в ответе присутствует свободное владение монологической речью, логичность и последовательность ответа. Однако допускаются неточности в ответе. Решил предложенные практические задания с небольшими неточностями. «Удовлетворительно» (зачтено): студентом дан ответ, свидетельствующий в основном о знании процессов изучаемой дисциплины, отличающийся недостаточной глубиной и полнотой раскрытия темы, знанием основных вопросов теории, слабо сформированными навыками анализа явлений, процессов, недостаточным умением давать аргументированные ответы и приводить примеры, недостаточно свободным владением монологической речью, логичностью и последовательностью ответа. Допускается несколько ошибок в содержании ответа и решении практических заданий. «Неудовлетворительно» (не зачтено): студентом дан ответ, который содержит ряд серьезных неточностей, обнаруживающий незнание процессов изучаемой предметной области, отличающийся неглубоким раскрытием темы, незнанием основных вопросов теории, неумением давать аргументированные ответы. Выводы поверхностны. Решение практических заданий не выполнено. Студент не способен ответить на вопросы даже при дополнительных наводящих вопросах преподавателя. |
| 6.1. Рекомендуемая литература | ||||
| 6.1.1. Основная литература | ||||
| Авторы | Заглавие | Издательство, год | Эл. адрес | |
| Л1.1 | А. Г. Курош | Лекции по общей алгебре: учебник | СПб. : Лань, 2007 | |
| 6.1.2. Дополнительная литература | ||||
| Авторы | Заглавие | Издательство, год | Эл. адрес | |
| Л2.1 | Ю. Н. Мальцев, Е. В. Журавлев | Лекции по теории ассоциативных колец: учеб. пособие | Изд-во АлтГУ, 2015 | elibrary.asu.ru |
| 6.2. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет" | ||||
| Название | Эл. адрес | |||
| Э1 | Сайт библиотеки АлтГУ; | www.lib.asu.ru | ||
| Э2 | электронно-библиотечная система издательства «Лань»; | www.e.lanbook.com | ||
| Э3 | электронно-библиотечная система "Университетская библиотека online"; | www.biblioclub.ru | ||
| Э4 | Многообразия колец | portal.edu.asu.ru | ||
| 6.3. Перечень программного обеспечения | ||||
| 1. Microsoft Office 2010 (Office 2010 Professional, № 4065231 от 08.12.2010), (бессрочно); 2. Microsoft Windows 7 (Windows 7 Professional, № 61834699 от 22.04.2013), (бессрочно); 3. Chrome (http://www.chromium.org/chromium-os/licenses ), (бессрочно); 4. 7-Zip (http://www.7-zip.org/license.txt ), (бессрочно); 5. AcrobatReader (http://wwwimages.adobe.com/content/dam/Adobe/en/legal/servicetou/Acrobat_com_Additional_TOU-en_US-20140618_1200.pdf), (бессрочно); 6. ASTRA LINUX SPECIAL EDITION (https://astralinux.ru/products/astra-linux-special-edition/), (бессрочно); 7. LibreOffice (https://ru.libreoffice.org/), (бессрочно); 8. Веб-браузер Chromium (https://www.chromium.org/Home/), (бессрочно); 9. Антивирус Касперский (https://www.kaspersky.ru/), (до 23 июня 2024); 10. Архиватор Ark (https://apps.kde.org/ark/), (бессрочно); 11. Okular (https://okular.kde.org/ru/download/), (бессрочно); 12. Редактор изображений Gimp (https://www.gimp.org/), (бессрочно) | ||||
| 6.4. Перечень информационных справочных систем | ||||
| 1. http://www.lib.asu.ru - Научная библиотека Алтайского государственного университета; 2. http://www.biblioclub.ru - электронно-библиотечная система издательства «Лань»; 3. http://exponenta.ru - Образовательный математический сайт 4. http://www.biblioclub.ru - электронно-библиотечная система "Университетская библиотека online"; 5. База данных литературы информационно-методического кабинета факультета социологии АлтГУ "ФОЛИАНТ" | ||||
| Аудитория | Назначение | Оборудование |
|---|---|---|
| Учебная аудитория | для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), проведения практик | Стандартное оборудование (учебная мебель для обучающихся, рабочее место преподавателя, доска) |
| Помещение для самостоятельной работы | помещение для самостоятельной работы обучающихся | Компьютеры, ноутбуки с подключением к информационно-телекоммуникационной сети «Интернет», доступом в электронную информационно-образовательную среду АлтГУ |
| 1. Для успешного освоения содержания дисциплины необходимо посещать лекции, принимать активное участие в работе на семинаре, практическом занятии, а также выполнять задания, предлагаемые преподавателем для самостоятельного изучения. 2. Лекция. -На лекцию приходите не опаздывая, так как это неэтично. - На лекционных занятиях необходимо конспектировать изучаемый материал. - Для систематизации лекционного материала, который будет полезен при подготовке к итоговому контролю знаний, записывайте на каждой лекции тему, вопросы для изучения, рекомендуемую литературу. - В каждом вопросе выделяйте главное, обязательно запишите ключевые моменты (определение, факты, законы, правила и т.д.), подчеркните их. - Если по содержанию материала возникают вопросы, не нужно выкрикивать, запишите их и задайте по окончании лекции или на семинарском занятии. - Перед следующей лекцией обязательно прочитайте предыдущую, чтобы актуализировать знания и осознанно приступить к освоению нового содержания. 3.Семинарское (практическое) занятие – это форма работы, где студенты максимально активно участвуют в обсуждении темы. - Для подготовки к семинару необходимо взять план семинарского занятия (у преподавателя). - Самостоятельную подготовку к семинарскому занятию необходимо начинать с изучения понятийного аппарата темы. Рекомендуем использовать справочную литературу (словари, справочники, энциклопедии), целесообразно создать и вести свой словарь терминов. - На семинар выносится обсуждение не одного вопроса, поэтому важно просматривать и изучать все вопросы семинара, но один из вопросов исследовать наиболее глубоко, с использованием дополнительных источников (в том числе тех, которые вы нашли самостоятельно). Не нужно пересказывать лекцию. - Важно запомнить, что любой источник должен нести достоверную информацию, особенно это относится к Internet-ресурсам. При использовании Internet - ресурсов в процессе подготовки не нужно их автоматически «скачивать», они должны быть проанализированы. Не нужно «скачивать» готовые рефераты, так как их однообразие преподаватель сразу выявляет, кроме того, они могут быть сомнительного качества. - В процессе изучения темы анализируйте несколько источников. Используйте периодическую печать - специальные журналы. - Полезным будет работа с электронными учебниками и учебными пособиями в Internet-библиотеках. Зарегистрируйтесь в них: университетская библиотека Онлайн (http://www.biblioclub.ru/) и электронно-библиотечная система «Лань» (http://e.lanbook.com/). - В процессе подготовки и построения ответов при выступлении не просто пересказывайте текст учебника, но и выражайте свою личностно-профессиональную оценку прочитанного. - Если к семинарским занятиям предлагаются задания практического характера, продумайте план их выполнения или решения при подготовке к семинару. - При возникновении трудностей в процессе подготовки взаимодействуйте с преподавателем, консультируйтесь по самостоятельному изучению темы. 4. Самостоятельная работа. - При изучении дисциплины не все вопросы рассматриваются на лекциях и семинарских занятиях, часть вопросов рекомендуется преподавателем для самостоятельного изучения. - Поиск ответов на вопросы и выполнение заданий для самостоятельной работы позволит вам расширить и углубить свои знания по курсу, применить теоретические знания в решении задач практического содержания, закрепить изученное ранее. - Эти задания следует выполнять не «наскоком», а постепенно, планомерно, следуя порядку изучения тем курса. - При возникновении вопросов обратитесь к преподавателю в день консультаций на кафедру. - Выполнив их, проанализируйте качество их выполнения. Это поможет вам развивать умения самоконтроля и оценочные компетенции. 5. Итоговый контроль. - Для подготовки к зачету/экзамену возьмите перечень примерных вопросов у преподавателя. - В списке вопросов выделите те, которые были рассмотрены на лекции, семинарских занятиях. Обратитесь к своим записям, выделите существенное. Для более детального изучения изучите рекомендуемую литературу. - Если в списке вопросов есть те, которые не рассматривались на лекции, семинарском занятии, изучите их самостоятельно. Если есть сомнения, задайте вопросы на консультации перед экзаменом. - Продумайте свой ответ на экзамене, его логику. Помните, что ваш ответ украсит ссылка на источник литературы, иллюстрация практики применения теоретического знания, а также уверенность и наличие авторской аргументированной позиции как будущего субъекта профессиональной деятельности. |