МИНОБРНАУКИ РОССИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Алтайский государственный университет»

Теория колец

рабочая программа дисциплины
Закреплена за кафедройКафедра алгебры и математической логики
Направление подготовки02.04.01. Математика и компьютерные науки
ПрофильАлгебра и дискретная математика
Форма обученияОчная
Общая трудоемкость4 ЗЕТ
Учебный план02_04_01_Математика и компьютерные науки_АиДМ-2023
Часов по учебному плану 144
в том числе:
аудиторные занятия 42
самостоятельная работа 102
Виды контроля по семестрам
зачеты: 2

Распределение часов по семестрам

Курс (семестр) 1 (2) Итого
Недель 22
Вид занятий УПРПДУПРПД
Лекции 24 24 24 24
Практические 18 18 18 18
Сам. работа 102 102 102 102
Итого 144 144 144 144

Программу составил(и):
к.ф.м.н., доцент, Петров Е.П.

Рецензент(ы):
к.ф.м.н., доцент, Журавлев Е.В.

Рабочая программа дисциплины
Теория колец

разработана в соответствии с ФГОС:
Федеральный государственный образовательный стандарт высшего образования - магистратура по направлению подготовки 02.04.01 Математика и компьютерные науки (приказ Минобрнауки России от 23.08.2017 г. № 810)

составлена на основании учебного плана:
02.04.01 Математика и компьютерные науки
утвержденного учёным советом вуза от 26.06.2023 протокол № 4.

Рабочая программа одобрена на заседании кафедры
Кафедра алгебры и математической логики

Протокол от 31.08.2023 г. № 6
Срок действия программы: 2023-2024 уч. г.

Заведующий кафедрой
профессор, д.ф.-м.н. Будкин А.И.


Визирование РПД для исполнения в очередном учебном году

Рабочая программа пересмотрена, обсуждена и одобрена для
исполнения в 2023-2024 учебном году на заседании кафедры

Кафедра алгебры и математической логики

Протокол от 31.08.2023 г. № 6
Заведующий кафедрой профессор, д.ф.-м.н. Будкин А.И.


1. Цели освоения дисциплины

1.1.Цель – изложить основы современной (некоммутативной) теории ассоциативных колец, включающей такие важные разделы как радикалы Джекобсона, Бэра, Левицкого, теоремы плотности, строения артиновых колец, ниль-колец, удовлетворящих тождествам или условиям обрыва цепей однородных идеалов, теории алгебр с тождествами.
Задачи:
1. изложить основные понятия теории колец и модулей; конструкции фактор-кольца, прямых произведений, теоремы о гомоморфизмах, строение неприводимых модулей, леммы Шура, радикал Джекобсона, его различные характеризации, вычисление Радикала Джекобсона для колец Rn, R[x], R , C(G), теорема плотности и ее следствия; строение конечных полей, теорему Джекобсона о коммутативности потентных колец;
2. изложить строение артиновых колец;
3. изложить строение колец без нильпотентных элементов (теорему Андрунакиевича-Рябухина);
4. изложить теоремы Нагата-Хигмана и Кегеля; верхний ниль-радикал, строение полупростых колец. Примеры;
5. изложить теорию радикала Левицкого и нижнего ниль-радикала, теоремы Бэра и А.М. Бабича. Примеры Е.И. Зельманова и Голода-Шафаревича;
6. изложить строение ниль-колец с условиями обрыва цепей односторонних идеалов (теорема Шону и ее следствия); строение ниль-колец с тождествами; строение алгебраических алгебр с тождествами (теорема Капланского), теорема А.И. Ширшова о высоте;
7. многообразия колец.

2. Место дисциплины в структуре ООП

Цикл (раздел) ООП: Б1.О.03

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

ОПК-1Способен находить, формулировать и решать актуальные и значимые проблемы прикладной и компьютерной математики
ОПК-1.1 Знает современные методы решения классических проблем прикладной и компьютерной математики.
ОПК-1.2 Умеет формулировать концептуальную постановку проблемы исследования.
ОПК-1.3 Имеет навыки поиска актуальных задач в выбранной области алгебры и дискретной математики.
ПК-2Способен планировать свою научно-исследовательскую деятельность (НИД) и выбирать адекватные методы решения научно-исследовательских задач в области алгебры и дискретной математики.
ПК-2.1 Составляет общий план исследования и детальные планы отдельных стадий НИД.
ПК-2.2 Умеет проводить расчетно-теоретические и экспериментальные оценки методов и методик решения поставленных задач с учетом временных затрат, вычислительных и материальных ресурсов для осуществления НИД.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
3.1.Знать:
3.1.1.ОПК-1.1. Знает современные методы решения классических проблем прикладной и компьютерной математики.
ПК-2.1. Составляет общий план исследования и детальные планы отдельных стадий НИД.
3.2.Уметь:
3.2.1.ОПК-1.2. Умеет формулировать концептуальную постановку проблемы исследования.
ПК-2.2. Умеет проводить расчетно-теоретические и экспериментальные оценки методов и методик решения поставленных задач с учетом временных затрат, вычислительных и материальных ресурсов для осуществления НИД
3.3.Иметь навыки и (или) опыт деятельности (владеть):
3.3.1.ОПК-1.3. Владеть методами решения задач прикладной и компьютерной математики.

4. Структура и содержание дисциплины

Код занятия Наименование разделов и тем Вид занятия Семестр Часов Компетенции Литература
Раздел 1. Основные понятия теории колец и модулей
1.1. Основные понятия теории колец и модулей, конструкции фактор-кольца, подпрямых произведений, теоремы о гомоморфизмах. Примеры. Лекции 2 1 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л3.1, Л1.2
1.2. Основные понятия теории колец и модулей, конструкции фактор-кольца, подпрямых произведений, теоремы о гомоморфизмах. Примеры. Практические 2 1 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л3.1, Л1.2
1.3. Строение неприводимых модулей. Лекции 2 2 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л3.1, Л1.2
1.4. Строение неприводимых модулей. Практические 2 1 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л3.1, Л1.2
1.5. Лемма Шура Лекции 2 2 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л3.1, Л1.2
1.6. Лемма Шура Практические 2 1 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л3.1, Л1.2
1.7. Различные характеризации радикала Джекобсона, радикал Джекобсона R , R[x], R#, C (G), к.п. алгебры над счетным полем Лекции 2 1 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л3.1, Л1.2
1.8. Различные характеризации радикала Джекобсона, радикал Джекобсона R , R[x], R#, C (G), к.п. алгебры над счетным полем Практические 2 1 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л3.1, Л1.2
1.9. Теорема плотности и ее применение для доказательства теорем коммутативности Лекции 2 2 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л3.1, Л1.2
1.10. Теорема плотности и ее применение для доказательства теорем коммутативности Практические 2 1 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л3.1, Л1.2
1.11. Теорема Веддерберна о конечных телах, многочлены над телами Лекции 2 2 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л3.1, Л1.2
1.12. Теорема Веддерберна о конечных телах, многочлены над телами Практические 2 1 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л3.1, Л1.2
1.13. Теорема Джекобсона о коммутативности колец с условием x = xn Лекции 2 1 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л3.1, Л1.2
1.14. Основные понятия теории колец и модулей Сам. работа 2 12 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л3.1, Л1.2
Раздел 2. Артиновы кольца
2.1. Строение артиновых колец Лекции 2 1 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л3.1, Л1.2
2.2. Строение артиновых колец Практические 2 1 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л3.1, Л1.2
2.3. Строение колец без нильпотентных элементов. Теорема Андрунакиевича-Рябухина Лекции 2 2 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л3.1, Л1.2
2.4. Строение колец без нильпотентных элементов. Теорема Андрунакиевича-Рябухина Практические 2 1 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л3.1, Л1.2
2.5. артиновы кольца Сам. работа 2 16 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л3.1, Л1.2
Раздел 3. Ниль-радикалы
3.1. Теорема Нагаты-Хигмана, теорема Кегеля (R= A + B). Верхний ниль-радикал, строение полупростых колец Лекции 2 2 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л3.1, Л1.2
3.2. Теорема Нагаты-Хигмана, теорема Кегеля (R= A + B). Верхний ниль-радикал, строение полупростых колец Практические 2 1 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л3.1, Л1.2
3.3. Радикал Левицкого, теорема Бабича, нижний ниль-радикал, строение полупервичных колец Лекции 2 2 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л3.1, Л1.2
3.4. Радикал Левицкого, теорема Бабича, нижний ниль-радикал, строение полупервичных колец Практические 2 2 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л3.1, Л1.2
3.5. Примеры Е.И. Зельманова, Голода-Шафаревича, проблема Бернсайда для к.п. периодических групп (ее решение) Лекции 2 1 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л3.1, Л1.2
3.6. Примеры Е.И. Зельманова, Голода-Шафаревича, проблема Бернсайда для к.п. периодических групп (ее решение) Практические 2 1 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л3.1, Л1.2
Раздел 4. Ниль-кольца
4.1. Ниль-кольца с условиями обрыва цепей односторонних идеалов Лекции 2 1 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л3.1, Л1.2
4.2. Ниль-кольца с условиями обрыва цепей односторонних идеалов Практические 2 1 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л3.1, Л1.2
4.3. Строение ниль-колец, удовлетворяющих тождествам Лекции 2 1 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л3.1, Л1.2
4.4. Строение ниль-колец, удовлетворяющих тождествам Практические 2 1 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л3.1, Л1.2
Раздел 5. Кольца с тождествами
5.1. Проблема Куроша. Строение алгебраических алгебр с тождествами Лекции 2 1 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л3.1, Л1.2
5.2. Проблема Куроша. Строение алгебраических алгебр с тождествами Практические 2 1 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л3.1, Л1.2
5.3. Теорема Ширшова о высоте Лекции 2 1 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л3.1, Л1.2
5.4. Кольца с тождествами Сам. работа 2 12 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л3.1, Л1.2
Раздел 6. Многообразия колец
6.1. Теорема Биркгофа, теорема Тарского Практические 2 1 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л3.1, Л1.2
6.2. Базисы тождеств конечных полей, колец матриц над полями Практические 2 1 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л3.1, Л1.2
6.3. Базисы тождеств конечных полей, колец матриц над полями Сам. работа 2 28 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л3.1, Л1.2
6.4. Теорема Биркгофа, теорема Тарского Сам. работа 2 34 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л3.1, Л1.2
6.5. Почти коммутативные многообразия колец Лекции 2 1 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л3.1, Л1.2
6.6. Почти коммутативные многообразия колец Практические 2 1 ПК-2.1, ПК-2.2, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3 Л1.1, Л2.2, Л2.1, Л3.1, Л1.2

5. Фонд оценочных средств

5.1. Контрольные вопросы и задания для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
Оценочные материалы для текущего контроля по разделам и темам дисциплины в полном объеме размещены в онлайн-курсе на образовательном портале «Цифровой университет АлтГУ» – https://portal.edu.asu.ru/enrol/index.php?id=6721.

ОЦЕНКА СФОРМИРОВАННОСТИ КОМПЕТЕНЦИИ ОПК-1
Способен находить, формулировать и решать актуальные и значимые проблемы прикладной и компьютерной математики

ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ ЗАКРЫТОГО ТИПА

1. Какие из следующих множеств образуют кольцо:
1) множество {0};
2) множество N натуральных чисел;
3) множество целых неотрицательных чисел;
4) множество целых неположительных чисел;
5) множество Z целых чисел;
6) множество 2Z четных чисел;
7) множество nZ целых чисел, кратных заданному числу n;
8) множество Q рациональных чисел;
9) множество иррациональных чисел;
10) множество R вещественных чисел;
11) множество C комплексных чисел;
12) множество Z[i] целых гауссовы чисел, т. е. комплексных чисел с целыми действительной и мнимой частями;
13) множество комплексных чисел с рациональными действительной и мнимой частями?
ОТВЕТ: 1), 5), 6), 7), 8), 10), 11), 12), 13).

2. Какие из следующих множеств образуют поле:
1) множество {0};
2) множество N натуральных чисел;
3) множество целых неотрицательных чисел;
4) множество целых неположительных чисел;
5) множество Z целых чисел;
6) множество 2Z четных чисел;
7) множество nZ целых чисел, кратных заданному числу n;
8) множество Q рациональных чисел;
9) множество иррациональных чисел;
10) множество R вещественных чисел;
11) множество C комплексных чисел;
12) множество Z[i] целых гауссовы чисел, т. е. комплексных чисел с целыми действительной и мнимой частями;
13) множество комплексных чисел с рациональными действительной и мнимой частями?
ОТВЕТ: 8), 10), 11), 13).

3. Какие из следующих множеств являются кольцами и не содержат 1:
1) множество {0};
2) множество N натуральных чисел;
3) множество целых неотрицательных чисел;
4) множество целых неположительных чисел;
5) множество Z целых чисел;
6) множество 2Z четных чисел;
7) множество nZ целых чисел, кратных заданному числу n;
8) множество Q рациональных чисел;
9) множество иррациональных чисел;
10) множество R вещественных чисел;
11) множество C комплексных чисел;
12) множество Z[i] целых гауссовы чисел, т. е. комплексных чисел с целыми действительной и мнимой частями;
13) множество комплексных чисел с рациональными действительной и мнимой частями?
ОТВЕТ: 1), 6), 7).

4. Какие из следующих множеств являются ассоциативными/неассоциативными коммутативными/некоммутативными кольцами:
1) множество векторов геометрического пространства относительно операции сложения и векторного умножения;
2) множество K[x] многочленов над кольцом K, если в качестве операций выбраны обычное сложение и умножение многочленов;
3) множество K[x] многочленов над кольцом K, если в качестве операции сложения выбрано обычное сложение многочленов, а в качестве операции умножения -суперпозиция;
4) множество Kn столбцов высоты n с элементами из кольца K, если в качестве операций выбраны покомпонентные сложение и умножение;
5) множество Kn×n квадратных матриц порядка n с элементами из кольца K относительно обычных операций сложения и умножения матриц;
6) множество Kn×n, если в качестве операции сложения выбрано обычное сложение матриц, а в качестве операции умножения - коммутатор [A, B] = AB − BA;
7) множество Kn×n, если в качестве операции сложения выбрано обычное сложение матриц, а в качестве операции умножения - произведение Йордана A∗B = ½ (AB+BA).
ОТВЕТ: 1) Неассоциативное кольцо (кольцо Ли). 2) Кольцо (коммутативное, если K коммутативно). 3) В общем случае кольцом не является, так как не имеет место дистрибутивность a(b + c) = ab + ac (но справедливо, что (a + b)c = ac + bc). 4) Кольцо (коммутативное, если K коммутативно). 5) Кольцо (в общем случае некоммутативное, даже если K - коммутативное). 6) Кольцо Ли (в общем случае неассоциативное). 7) Коммутативное кольцо, в общем случае неассоциативное.


5. Алгебра кватернионов над полем вещественных чисел это:
1) поле;
2) некоммутативное тело;
3) кольцо без деления.
ОТВЕТ: 2).

6. Все квадратичные расширения поля R изоморфны полю C.
1) да;
2) нет.
ОТВЕТ: да.

7. Поле Q обладает бесконечным множеством попарно неизоморфных квадратичных расширений.
1) да;
2) нет.
ОТВЕТ: да.

8. Поле частных кольца Z изоморфно полю Q.
1) да;
2) нет.
ОТВЕТ: да.


9. Множество нильпотентных элементов коммутативного кольца образует идеал.
1) да;
2) нет.
ОТВЕТ: да.

10. Какие из следующих множеств являются подгруппами аддитивной группы, подкольцами или идеалами указанных ниже колец:
1) N в кольце Z;
2) nZ в кольце Z, где n—целое;
3) Z[i] в поле C;
4) Z в кольце Z[i];
5) множество чисел вида a + ai, где a ∈ Z, в кольце Z[i];
6) (1 + i)Z в кольце Z[i];
7) Z[x] в кольце R[x];
8) nZ[x] в кольце Z[x], где n—целое;
9) f(x)F[x] в кольце F[x], где F —поле, f(x) ∈ F[x]?
ОТВЕТ: 1) Не является подгруппой аддитивной группы. 2) Идеал.
3) Подкольцо, но не идеал. 4) Подкольцо, но не идеал. 5) Подгруппа аддитивной группы, но не подкольцо. 6) Идеал. 7) Подкольцо, но не идеал. 8) Идеал. 9) Идеал.

11. Если идеал кольца содержит обратимый элемент, то он совпадает со всем
кольцом.
1) да;
2) нет.
ОТВЕТ: да.

12. Кольцо с ненулевым умножением и без собственных односторонних идеалов
является телом.
1) да;
2) нет.
ОТВЕТ: да.

13. Коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля называется целостным кольцом, или областью целостности. Какие из следующих колец являются целостными:
1) поле F;
2) кольцо целых чисел Z;
3) кольцо nZ;
4) кольцо многочленов K[x] над любым целостным кольцом K;
5) кольцо многочленов от многих переменных K[x1, . . . , xn], если K —целостное кольцо;
6) кольцо вычетов Zn;
7) кольцо многочленов над полем F, не содержащих линейных членов?
ОТВЕТ: 1) Целостное кольцо. 2) Целостное кольцо. 3) Целостное тогда и только тогда, когда n = ±1. 4) Целостное кольцо. 5) Целостное кольцо (вытекает из предыдущего). 6) Целостное тогда и только тогда, когда n—простое. 7) Не является целостным кольцом.

14. В кольце могут быть две единицы.
1) да;
2) нет.
ОТВЕТ: нет.

15. При гомоморфизме колец ноль может не переходить в ноль.
1) да;
2) нет.
ОТВЕТ: нет.

КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ: Каждое задание оценивается 1 баллом. Оценивание КИМ теоретического характера в целом:
• «зачтено» – верно выполнено более 50% заданий; «не зачтено» – верно выполнено 50% и менее 50% заданий;
• «отлично» – верно выполнено 85-100% заданий; «хорошо» – верно выполнено 70-84% заданий; «удовлетворительно» – верно выполнено 51-69% заданий; «неудовлетворительно» – верно выполнено 50% или менее 50% заданий.


ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ ОТКРЫТОГО ТИПА

1. Верно ли, что любое числовое поле содержит Q.
ОТВЕТ: да.

2. Верно ли, что кольца Z и nZ при n ≥ 2 не изоморфны.
ОТВЕТ: да.

3. Поля Q и R изоморфны?
ОТВЕТ: нет.

4. Поля R и C не изоморфны?
ОТВЕТ: да.

5. Верно ли, что при любом изоморфизме числовых полей подполе Q отображается тождественно, следовательно, поле Q обладает только тождественным автоморфизмом?
ОТВЕТ: да.

6. Верно ли, что поле R обладает только тождественным автоморфизмом?
ОТВЕТ: да.

7. Какие автоморфизмы поля комплексных чисел C переводят действительные числа снова в действительные.
ОТВЕТ: Два автоморфизма: тождественный и переводящий каждое число в сопряженное.

8. Какие из следующих множеств образуют кольцо, а какие поле:
1) множество чисел вида {a + b√2, где a, b—целые};
2) множество чисел {a + b√2, где a, b—рациональные};
ОТВЕТ: 1) Кольцо, но не поле. 2) Поле.

9. Изоморфны ли поля {a + b√2 : a, b ∈ Q} и {a + b√3 : a, b ∈ Q}?
ОТВЕТ: Не изоморфны.

10. Пересечение идеалов не является идеалом.
ОТВЕТ: нет.

11. Сумма идеалов – снова идеал.
ОТВЕТ: да.

12. Верно ли, что радикал Джекобсона артинова кольца нильпотентен?
ОТВЕТ: да.

13. Может ли радикал Джекобсона некоторого кольца не быть нильпотентным?
ОТВЕТ: да.

14. В кольце с 1 элемент (1 + a), где а – квазирегулярный – необратим.
ОТВЕТ: нет.

15. Кольцо матриц над полем – просто.
ОТВЕТ: да.

16. Верно ли, что, если M – неприводимый R-модуль, то кольцо эндоморфизмов M над R – тело?
ОТВЕТ: да.

17. Если кольцо не содеpжит ненулевых ниль-идеалов и содержит единицу, то кольцо многочленов R[t] является полупpостым кольцом.
ОТВЕТ: да.

18. Пусть R – примитивное (справа) кольцо, M – точный неприводимый R-модуль и D - кольцо эндоморфизмов M над R. Тогда R – плотное кольцо линейных преобразований в кольце эндоморфизмов M над D.
ОТВЕТ: да.

19. Конечное тело не всегда является полем.
ОТВЕТ: нет.

20. Верно ли, что, если R – правое артиново кольцо, R / J(R) – прямая сумма матричных колец над телами.
ОТВЕТ: да.


КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ОТКРЫТЫХ ВОПРОСОВ.
«Отлично» (зачтено): Ответ полный, развернутый. Вопрос точно и исчерпывающе передан, терминология сохранена, студент превосходно владеет основной и дополнительной литературой, ошибок нет.
«Хорошо» (зачтено): Ответ полный, хотя краток, терминологически правильный, нет существенных недочетов. Студент хорошо владеет пройденным программным материалом; владеет основной литературой, суждения правильны.
«Удовлетворительно» (зачтено): Ответ неполный. В терминологии имеются недостатки. Студент владеет программным материалом, но имеются недочеты. Суждения фрагментарны.
«Неудовлетворительно» (не зачтено): Не использована специальная терминология. Ответ в сущности неверен. Переданы лишь отдельные фрагменты соответствующего материала вопроса. Ответ не соответствует вопросу или вовсе не дан.

ОЦЕНКА СФОРМИРОВАННОСТИ КОМПЕТЕНЦИИ ПК-2
Способен планировать свою научно-исследовательскую деятельность (НИД) и выбирать адекватные методы решения научно-исследовательских задач в области алгебры и дискретной математики.

ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ ЗАКРЫТОГО ТИПА

1. Какие из следующих множеств образуют кольцо:
1) множество {0};
2) множество N натуральных чисел;
3) множество целых неотрицательных чисел;
4) множество целых неположительных чисел;
5) множество Z целых чисел;
6) множество 2Z четных чисел;
7) множество nZ целых чисел, кратных заданному числу n;
8) множество Q рациональных чисел;
9) множество иррациональных чисел;
10) множество R вещественных чисел;
11) множество C комплексных чисел;
12) множество Z[i] целых гауссовы чисел, т. е. комплексных чисел с целыми действительной и мнимой частями;
13) множество комплексных чисел с рациональными действительной и мнимой частями?
ОТВЕТ: 1), 5), 6), 7), 8), 10), 11), 12), 13).

2. Какие из следующих множеств образуют поле:
1) множество {0};
2) множество N натуральных чисел;
3) множество целых неотрицательных чисел;
4) множество целых неположительных чисел;
5) множество Z целых чисел;
6) множество 2Z четных чисел;
7) множество nZ целых чисел, кратных заданному числу n;
8) множество Q рациональных чисел;
9) множество иррациональных чисел;
10) множество R вещественных чисел;
11) множество C комплексных чисел;
12) множество Z[i] целых гауссовы чисел, т. е. комплексных чисел с целыми действительной и мнимой частями;
13) множество комплексных чисел с рациональными действительной и мнимой частями?
ОТВЕТ: 8), 10), 11), 13).

3. Какие из следующих множеств являются кольцами и не содержат 1:
1) множество {0};
2) множество N натуральных чисел;
3) множество целых неотрицательных чисел;
4) множество целых неположительных чисел;
5) множество Z целых чисел;
6) множество 2Z четных чисел;
7) множество nZ целых чисел, кратных заданному числу n;
8) множество Q рациональных чисел;
9) множество иррациональных чисел;
10) множество R вещественных чисел;
11) множество C комплексных чисел;
12) множество Z[i] целых гауссовы чисел, т. е. комплексных чисел с целыми действительной и мнимой частями;
13) множество комплексных чисел с рациональными действительной и мнимой частями?
ОТВЕТ: 1), 6), 7).

4. Какие из следующих множеств являются ассоциативными/неассоциативными коммутативными/некоммутативными кольцами:
1) множество векторов геометрического пространства относительно операции сложения и векторного умножения;
2) множество K[x] многочленов над кольцом K, если в качестве операций выбраны обычное сложение и умножение многочленов;
3) множество K[x] многочленов над кольцом K, если в качестве операции сложения выбрано обычное сложение многочленов, а в качестве операции умножения -суперпозиция;
4) множество Kn столбцов высоты n с элементами из кольца K, если в качестве операций выбраны покомпонентные сложение и умножение;
5) множество Kn×n квадратных матриц порядка n с элементами из кольца K относительно обычных операций сложения и умножения матриц;
6) множество Kn×n, если в качестве операции сложения выбрано обычное сложение матриц, а в качестве операции умножения - коммутатор [A, B] = AB − BA;
7) множество Kn×n, если в качестве операции сложения выбрано обычное сложение матриц, а в качестве операции умножения - произведение Йордана A∗B = ½ (AB+BA).
ОТВЕТ: 1) Неассоциативное кольцо (кольцо Ли). 2) Кольцо (коммутативное, если K коммутативно). 3) В общем случае кольцом не является, так как не имеет место дистрибутивность a(b + c) = ab + ac (но справедливо, что (a + b)c = ac + bc). 4) Кольцо (коммутативное, если K коммутативно). 5) Кольцо (в общем случае некоммутативное, даже если K - коммутативное). 6) Кольцо Ли (в общем случае неассоциативное). 7) Коммутативное кольцо, в общем случае неассоциативное.


5. Алгебра кватернионов над полем вещественных чисел это:
1) поле;
2) некоммутативное тело;
3) кольцо без деления.
ОТВЕТ: 2).

6. Все квадратичные расширения поля R изоморфны полю C.
1) да;
2) нет.
ОТВЕТ: да.

7. Поле Q обладает бесконечным множеством попарно неизоморфных квадратичных расширений.
1) да;
2) нет.
ОТВЕТ: да.

8. Поле частных кольца Z изоморфно полю Q.
1) да;
2) нет.
ОТВЕТ: да.


9. Множество нильпотентных элементов коммутативного кольца образует идеал.
1) да;
2) нет.
ОТВЕТ: да.

10. Какие из следующих множеств являются подгруппами аддитивной группы, подкольцами или идеалами указанных ниже колец:
1) N в кольце Z;
2) nZ в кольце Z, где n—целое;
3) Z[i] в поле C;
4) Z в кольце Z[i];
5) множество чисел вида a + ai, где a ∈ Z, в кольце Z[i];
6) (1 + i)Z в кольце Z[i];
7) Z[x] в кольце R[x];
8) nZ[x] в кольце Z[x], где n—целое;
9) f(x)F[x] в кольце F[x], где F —поле, f(x) ∈ F[x]?
ОТВЕТ: 1) Не является подгруппой аддитивной группы. 2) Идеал.
3) Подкольцо, но не идеал. 4) Подкольцо, но не идеал. 5) Подгруппа аддитивной группы, но не подкольцо. 6) Идеал. 7) Подкольцо, но не идеал. 8) Идеал. 9) Идеал.

11. Если идеал кольца содержит обратимый элемент, то он совпадает со всем
кольцом.
1) да;
2) нет.
ОТВЕТ: да.

12. Кольцо с ненулевым умножением и без собственных односторонних идеалов
является телом.
1) да;
2) нет.
ОТВЕТ: да.

13. Коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля называется целостным кольцом, или областью целостности. Какие из следующих колец являются целостными:
1) поле F;
2) кольцо целых чисел Z;
3) кольцо nZ;
4) кольцо многочленов K[x] над любым целостным кольцом K;
5) кольцо многочленов от многих переменных K[x1, . . . , xn], если K —целостное кольцо;
6) кольцо вычетов Zn;
7) кольцо многочленов над полем F, не содержащих линейных членов?
ОТВЕТ: 1) Целостное кольцо. 2) Целостное кольцо. 3) Целостное тогда и только тогда, когда n = ±1. 4) Целостное кольцо. 5) Целостное кольцо (вытекает из предыдущего). 6) Целостное тогда и только тогда, когда n—простое. 7) Не является целостным кольцом.

14. В кольце могут быть две единицы.
1) да;
2) нет.
ОТВЕТ: нет.

15. При гомоморфизме колец ноль может не переходить в ноль.
1) да;
2) нет.
ОТВЕТ: нет.

КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ: Каждое задание оценивается 1 баллом. Оценивание КИМ теоретического характера в целом:
• «зачтено» – верно выполнено более 50% заданий; «не зачтено» – верно выполнено 50% и менее 50% заданий;
• «отлично» – верно выполнено 85-100% заданий; «хорошо» – верно выполнено 70-84% заданий; «удовлетворительно» – верно выполнено 51-69% заданий; «неудовлетворительно» – верно выполнено 50% или менее 50% заданий.


ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ ОТКРЫТОГО ТИПА

1. Верно ли, что любое числовое поле содержит Q.
ОТВЕТ: да.

2. Верно ли, что кольца Z и nZ при n ≥ 2 не изоморфны.
ОТВЕТ: да.

3. Поля Q и R изоморфны?
ОТВЕТ: нет.

4. Поля R и C не изоморфны?
ОТВЕТ: да.

5. Верно ли, что при любом изоморфизме числовых полей подполе Q отображается тождественно, следовательно, поле Q обладает только тождественным автоморфизмом?
ОТВЕТ: да.

6. Верно ли, что поле R обладает только тождественным автоморфизмом?
ОТВЕТ: да.

7. Какие автоморфизмы поля комплексных чисел C переводят действительные числа снова в действительные.
ОТВЕТ: Два автоморфизма: тождественный и переводящий каждое число в сопряженное.

8. Какие из следующих множеств образуют кольцо, а какие поле:
1) множество чисел вида {a + b√2, где a, b—целые};
2) множество чисел {a + b√2, где a, b—рациональные};
ОТВЕТ: 1) Кольцо, но не поле. 2) Поле.

9. Изоморфны ли поля {a + b√2 : a, b ∈ Q} и {a + b√3 : a, b ∈ Q}?
ОТВЕТ: Не изоморфны.

10. Пересечение идеалов не является идеалом.
ОТВЕТ: нет.

11. Сумма идеалов – снова идеал.
ОТВЕТ: да.

12. Верно ли, что радикал Джекобсона артинова кольца нильпотентен?
ОТВЕТ: да.

13. Может ли радикал Джекобсона некоторого кольца не быть нильпотентным?
ОТВЕТ: да.

14. В кольце с 1 элемент (1 + a), где а – квазирегулярный – необратим.
ОТВЕТ: нет.

15. Кольцо матриц над полем – просто.
ОТВЕТ: да.

16. Верно ли, что, если M – неприводимый R-модуль, то кольцо эндоморфизмов M над R – тело?
ОТВЕТ: да.

17. Если кольцо не содеpжит ненулевых ниль-идеалов и содержит единицу, то кольцо многочленов R[t] является полупpостым кольцом.
ОТВЕТ: да.

18. Пусть R – примитивное (справа) кольцо, M – точный неприводимый R-модуль и D - кольцо эндоморфизмов M над R. Тогда R – плотное кольцо линейных преобразований в кольце эндоморфизмов M над D.
ОТВЕТ: да.

19. Конечное тело не всегда является полем.
ОТВЕТ: нет.

20. Верно ли, что, если R – правое артиново кольцо, R / J(R) – прямая сумма матричных колец над телами.
ОТВЕТ: да.


КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ОТКРЫТЫХ ВОПРОСОВ.
«Отлично» (зачтено): Ответ полный, развернутый. Вопрос точно и исчерпывающе передан, терминология сохранена, студент превосходно владеет основной и дополнительной литературой, ошибок нет.
«Хорошо» (зачтено): Ответ полный, хотя краток, терминологически правильный, нет существенных недочетов. Студент хорошо владеет пройденным программным материалом; владеет основной литературой, суждения правильны.
«Удовлетворительно» (зачтено): Ответ неполный. В терминологии имеются недостатки. Студент владеет программным материалом, но имеются недочеты. Суждения фрагментарны.
«Неудовлетворительно» (не зачтено): Не использована специальная терминология. Ответ в сущности неверен. Переданы лишь отдельные фрагменты соответствующего материала вопроса. Ответ не соответствует вопросу или вовсе не дан.
5.2. Темы письменных работ для проведения текущего контроля (эссе, рефераты, курсовые работы и др.)
Не предусмотрено.

5.3. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
Промежуточная аттестация заключается в проведении в конце семестра зачета (для обучающихся, не получивших зачет по результатам текущей успеваемости) по всему изученному курсу. Зачет проводится в устной форме по билетам. В билет входит 2 вопроса: 1 вопрос теоретического характера и 1 вопрос практико-ориентированного характера.

ВОПРОСЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ХАРАКТЕРА

1. Определение кольца, модуля, фактор кольца, прямой суммы колец.

2. Теоремы о гомоморфизмах колец и модулей.

3. Строение неприводимых модулей. Доказать, что:
1) если M – неприводимый R-модуль, то M = R/I, где I – некоторый максимальный модулярный правый идеал R;
2) пусть I – максимальный модулярный правый идеал R. Тогда M = R/I – неприводимый модуль.

4. Лемма Шура: если M – неприводимый R-модуль, то кольцо эндоморфизмов M над R – тело.

4. Различные характеризации радикала Джекобсона, радикал Джекобсона конечного кольца, конечномерной алгебры над полем.

5. Радикалы Джекобсона кольца с присоединенной единицей, групповой алгебры над полем комплексных чисел, к.п. алгебры над несчетным полем.

6. Теорема Амицура: если кольцо не содеpжит ненулевых ниль-идеалов и содержит единицу, то кольцо многочленов R[t] является полупpостым кольцом.

7. Теорема плотности Джекобсона-Шевалле:
Пусть R – примитивное (справа) кольцо, M – точный неприводимый R-модуль и D - кольцо эндоморфизмов M над R. Тогда R – плотное кольцо линейных преобразований в кольце эндоморфизмов M над D.

8. Доказать, что если R – примитивное кольцо, то существует тело D такое, что, либо R изоморфно полному кольцу матриц над D, либо для любого натурального числа m кольцо матриц над D является гомоморфным образом некоторого подкольца кольца R.

8. Теорема Веддерберна: конечное тело является полем

9. Теорема Джекобсона.
Пусть R – кольцо, в котором для любого элемента x ∈ существует целое число n ≥ 2 такое, что x = x^n. Тогда R – коммутативное кольцо.

10. Строение артиновых колец. Доказать, что если R – правое артиново кольцо, то J(R) – нильпотентный идеал и R / J(R) – прямая сумма матричных колец над телами.

ВОПРОСЫ ПРАКТИКО-ОРИЕНТИРОВАННОГО ХАРАКТЕРА

1. Доказать, что все квадратичные расширения поля R изоморфны полю C.

2. Доказать, что:
1) если в кольце нашлись левая и правая единицы, то они совпадают и других единиц нет;
2) если у элемента x есть единственный правый обратный, то x обратим.

3. Найти центр тела кватернионов H. Проверить, что поле комплексных чисел C не содержится в центре тела кватернионов.

4. Доказать, что:
1) делитель нуля является необратимым элементом кольца;
2) элемент в конечном кольце необратим тогда и только тогда, когда он является делителем нуля или нулем.

5. Доказать, что в конечное кольцо без делителей нуля содержит единицу и все его ненулевые элементы обратимы.

6. Доказать, что в кольце с единицей и без делителей нуля каждый элемент, имеющий односторонний обратный, является обратимым.

7. Доказать, что в конечном кольце с единицей:
1) каждый элемент, имеющий односторонний обратный, обратим;
2) всякий левый делитель нуля является правым делителем нуля.

8. Пусть R – кольцо с единицей, x, y ∈ R. Доказать, что:
1) если произведения xy и yx обратимы, то элементы x и y также обратимы;
2) если R без делителей нуля и произведение xy обратимо, то x и y обратимы.

9. Пусть x – нильпотентный элемент коммутативного кольца R. Доказать, что:
2) ax нильпотентный для любого a ∈ R;
3) 1 + x обратим в R;
4) u + x обратим для любого обратимого элемента u.

10. Доказать, что:
1) множество нильпотентных элементов коммутативного кольца образует идеал.
2) пересечение идеалов кольца является идеалом;
3) если идеал кольца содержит обратимый элемент, то он совпадает со всем кольцом.

11. Найти все идеалы кольца верхне-треугольных целочисленных матриц второго порядка.

12. Доказать, что коммутативное кольцо с единицей (отличной от нуля), не имеющее идеалов, отличных от нуля и всего кольца, является полем. Существенно ли для этого утверждения наличие единицы?

13. Доказать, что кольцо с ненулевым умножением и без собственных односторонних идеалов является телом.


КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ:
«Отлично» (зачтено): студентом дан полный, в логической последовательности развернутый ответ на поставленные вопросы, где он продемонстрировал знания предмета в полном объеме учебной программы, достаточно глубоко осмысливает дисциплину, самостоятельно, и исчерпывающе отвечает на дополнительные вопросы, приводит собственные примеры по проблематике поставленного вопроса, решил предложенные практические задания без ошибок.
«Хорошо» (зачтено): студентом дан развернутый ответ на поставленный вопрос, где студент демонстрирует знания, приобретенные на лекционных и семинарских занятиях, а также полученные посредством изучения обязательных учебных материалов по курсу, дает аргументированные ответы, приводит примеры, в ответе присутствует свободное владение монологической речью, логичность и последовательность ответа. Однако допускаются неточности в ответе. Решил предложенные практические задания с небольшими неточностями.
«Удовлетворительно» (зачтено): студентом дан ответ, свидетельствующий в основном о знании процессов изучаемой дисциплины, отличающийся недостаточной глубиной и полнотой раскрытия темы, знанием основных вопросов теории, слабо сформированными навыками анализа явлений, процессов, недостаточным умением давать аргументированные ответы и приводить примеры, недостаточно свободным владением монологической речью, логичностью и последовательностью ответа. Допускается несколько ошибок в содержании ответа и решении практических заданий.
«Неудовлетворительно» (не зачтено): студентом дан ответ, который содержит ряд серьезных неточностей, обнаруживающий незнание процессов изучаемой предметной области, отличающийся неглубоким раскрытием темы, незнанием основных вопросов теории, неумением давать аргументированные ответы. Выводы поверхностны. Решение практических заданий не выполнено. Студент не способен ответить на вопросы даже при дополнительных наводящих вопросах преподавателя.

6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

6.1. Рекомендуемая литература
6.1.1. Основная литература
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л1.1 М.И. Каргаполов, Мерзляков Ю.И. Основы теории групп: учеб. пособие СПб.: Лань, // ЭБС «Лань», 2009 http://e.lanbook.com/book/177
Л1.2 Ю. Н. Мальцев, Е. В. Журавлев Лекции по теории ассоциативных колец: учеб. пособие Изд-во АлтГУ, 2015 elibrary.asu.ru
6.1.2. Дополнительная литература
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л2.1 Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 3: Основные структуры алгебры.: учеб. пособие М.: МЦМНО, 2009 http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=62951
Л2.2 А.Г. Курош Теория групп: учеб. пособие СПб.: Лань, 2005
6.1.3. Дополнительные источники
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л3.1 Ю. Н. Мальцев, Е. П. Петров Лекции по теории колец и модулей: учеб. пособие Барнаул : Изд-во АГУ, 2000
6.2. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет"
Название Эл. адрес
Э1 Сайт библиотеки АлтГУ: www.lib.asu.ru;
Э2 электронно-библиотечная система издательства «Лань»: www.e.lanbook.com;
Э3 электронно-библиотечная система "Университетская библиотека online": www.biblioclub.ru;
Э4 Теория колец portal.edu.asu.ru
6.3. Перечень программного обеспечения
1. Microsoft Office 2010 (Office 2010 Professional, № 4065231 от 08.12.2010), (бессрочно);
2. Microsoft Windows 7 (Windows 7 Professional, № 61834699 от 22.04.2013), (бессрочно);
3. Chrome (http://www.chromium.org/chromium-os/licenses ), (бессрочно);
4. 7-Zip (http://www.7-zip.org/license.txt ), (бессрочно);
5. AcrobatReader (http://wwwimages.adobe.com/content/dam/Adobe/en/legal/servicetou/Acrobat_com_Additional_TOU-en_US-20140618_1200.pdf), (бессрочно);
6. ASTRA LINUX SPECIAL EDITION (https://astralinux.ru/products/astra-linux-special-edition/), (бессрочно);
7. LibreOffice (https://ru.libreoffice.org/), (бессрочно);
8. Веб-браузер Chromium (https://www.chromium.org/Home/), (бессрочно);
9. Антивирус Касперский (https://www.kaspersky.ru/), (до 23 июня 2024);
10. Архиватор Ark (https://apps.kde.org/ark/), (бессрочно);
11. Okular (https://okular.kde.org/ru/download/), (бессрочно);
12. Редактор изображений Gimp (https://www.gimp.org/), (бессрочно)

6.4. Перечень информационных справочных систем
1. http://www.lib.asu.ru - Научная библиотека Алтайского государственного университета;
2. http://www.biblioclub.ru - электронно-библиотечная система издательства «Лань»;
3. http://exponenta.ru - Образовательный математический сайт
4. http://www.biblioclub.ru - электронно-библиотечная система "Университетская библиотека online";
5. База данных литературы информационно-методического кабинета факультета социологии АлтГУ "ФОЛИАНТ"

7. Материально-техническое обеспечение дисциплины

Аудитория Назначение Оборудование
Учебная аудитория для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), проведения практик Стандартное оборудование (учебная мебель для обучающихся, рабочее место преподавателя, доска)
Помещение для самостоятельной работы помещение для самостоятельной работы обучающихся Компьютеры, ноутбуки с подключением к информационно-телекоммуникационной сети «Интернет», доступом в электронную информационно-образовательную среду АлтГУ

8. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

1. Для успешного освоения содержания дисциплины необходимо посещать лекции, принимать активное участие в работе на семинаре, практическом занятии, а также выполнять задания, предлагаемые преподавателем для самостоятельного изучения.
2. Лекция.
-На лекцию приходите не опаздывая, так как это неэтично.
- На лекционных занятиях необходимо конспектировать изучаемый материал.
- Для систематизации лекционного материала, который будет полезен при подготовке к итоговому контролю знаний, записывайте на каждой лекции тему, вопросы для изучения, рекомендуемую литературу.
- В каждом вопросе выделяйте главное, обязательно запишите ключевые моменты (определение, факты, законы, правила и т.д.), подчеркните их.
- Если по содержанию материала возникают вопросы, не нужно выкрикивать, запишите их и задайте по окончании лекции или на семинарском занятии.
- Перед следующей лекцией обязательно прочитайте предыдущую, чтобы актуализировать знания и осознанно приступить к освоению нового содержания.
3.Семинарское (практическое) занятие – это форма работы, где студенты максимально активно участвуют в обсуждении темы.
- Для подготовки к семинару необходимо взять план семинарского занятия (у преподавателя).
- Самостоятельную подготовку к семинарскому занятию необходимо начинать с изучения понятийного аппарата темы. Рекомендуем использовать справочную литературу (словари, справочники, энциклопедии), целесообразно создать и вести свой словарь терминов.
- На семинар выносится обсуждение не одного вопроса, поэтому важно просматривать и изучать все вопросы семинара, но один из вопросов исследовать наиболее глубоко, с использованием дополнительных источников (в том числе тех, которые вы нашли самостоятельно). Не нужно пересказывать лекцию.
- Важно запомнить, что любой источник должен нести достоверную информацию, особенно это относится к Internet-ресурсам. При использовании Internet - ресурсов в процессе подготовки не нужно их автоматически «скачивать», они должны быть проанализированы. Не нужно «скачивать» готовые рефераты, так как их однообразие преподаватель сразу выявляет, кроме того, они могут быть сомнительного качества.
- В процессе изучения темы анализируйте несколько источников. Используйте периодическую печать - специальные журналы.
- Полезным будет работа с электронными учебниками и учебными пособиями в Internet-библиотеках. Зарегистрируйтесь в них: университетская библиотека Онлайн (http://www.biblioclub.ru/) и электронно-библиотечная система «Лань» (http://e.lanbook.com/).
- В процессе подготовки и построения ответов при выступлении не просто пересказывайте текст учебника, но и выражайте свою личностно-профессиональную оценку прочитанного.
- Если к семинарским занятиям предлагаются задания практического характера, продумайте план их выполнения или решения при подготовке к семинару.
- При возникновении трудностей в процессе подготовки взаимодействуйте с преподавателем, консультируйтесь по самостоятельному изучению темы.
4. Самостоятельная работа.
- При изучении дисциплины не все вопросы рассматриваются на лекциях и семинарских занятиях, часть вопросов рекомендуется преподавателем для самостоятельного изучения.
- Поиск ответов на вопросы и выполнение заданий для самостоятельной работы позволит вам расширить и углубить свои знания по курсу, применить теоретические знания в решении задач практического содержания, закрепить изученное ранее.
- Эти задания следует выполнять не «наскоком», а постепенно, планомерно, следуя порядку изучения тем курса.
- При возникновении вопросов обратитесь к преподавателю в день консультаций на кафедру.
- Выполнив их, проанализируйте качество их выполнения. Это поможет вам развивать умения самоконтроля и оценочные компетенции.
5. Итоговый контроль.
- Для подготовки к зачету/экзамену возьмите перечень примерных вопросов у преподавателя.
- В списке вопросов выделите те, которые были рассмотрены на лекции, семинарских занятиях. Обратитесь к своим записям, выделите существенное. Для более детального изучения изучите рекомендуемую литературу.
- Если в списке вопросов есть те, которые не рассматривались на лекции, семинарском занятии, изучите их самостоятельно. Если есть сомнения, задайте вопросы на консультации перед экзаменом.
- Продумайте свой ответ на экзамене, его логику. Помните, что ваш ответ украсит ссылка на источник литературы, иллюстрация практики применения теоретического знания, а также уверенность и наличие авторской аргументированной позиции как будущего субъекта профессиональной деятельности.