Численные методы и математическое моделирование - Рабочая программа дисциплины - 03.03.03. Радиофизика - Направления подготовки

Закреплена за кафедрой	Кафедра радиофизики и теоретической физики
Направление подготовки	03.03.03. Радиофизика
Профиль	Компьютерная электроника и телекоммуникации
Форма обучения	Очная
Общая трудоемкость	4 ЗЕТ
Учебный план	03_03_03_Радиофизика_КЭТ-2023

Курс (семестр)	3 (5)	Итого
Недель	16
Вид занятий	УП	РПД	УП	РПД
Лекции	20	20	20	20
Лабораторные	36	36	36	36
Сам. работа	88	88	88	88
Итого	144	144	144	144

1. Цели освоения дисциплины

1.1.	выработка у студентов навыков алгоритмического программирования и навыков работы с компьютером; освоение алгоритмического программирования; знакомство с возможностями использования компьютера для решения прикладных задач; освоение основных методов и средств применения современных информационных технологий для решения типовых задач информационного обеспечения.

1.1.

выработка у студентов навыков алгоритмического программирования и навыков работы с компьютером;
освоение алгоритмического программирования;
знакомство с возможностями использования компьютера для решения прикладных задач;
освоение основных методов и средств применения современных информационных технологий для решения типовых задач информационного обеспечения.

2. Место дисциплины в структуре ООП

Цикл (раздел) ООП: Б1.О.1.04

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

ОПК-1	Способен применять базовые знания в области физики и радиофизики и использовать их в профессиональной деятельности, в том числе в сфере педагогической деятельности;
ОПК-1.1	Обладает базовыми знаниями, полученными в областях физики, радиофизики, а также в областях математических и естественных наук
ОПК-1.2	Умеет применять и синтезировать знания из различных областей физики и радиофизики в профессиональной деятельности.
ОПК-1.3	Имеет навыки выбора математических и/или физических методов решения задач профессиональной деятельности, в том числе в сфере педагогической деятельности.
ОПК-3	Способен понимать принципы работы современных информационных технологий и использовать их для решения задач профессиональной деятельности.
ОПК-3.1	Владеет методами использования информационных технологий и программных средств при решении задач профессиональной деятельности.
ОПК-3.2	Знает принципы работы современных информационных технологий.
ОПК-3.3	Владеет основными навыками применения информационных систем и программных средств для решения задач профессиональной деятельности.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
3.1.	Знать:
3.1.1.	ОПК-1.1. Обладает базовыми знаниями, полученными в областях физики, радиофизики, а также в областях математических и естественных наук. ОПК-3.2. Знает принципы работы современных информационных технологий.
3.2.	Уметь:
3.2.1.	ОПК-1.2. Умеет применять и синтезировать знания из различных областей физики и радиофизики в профессиональной деятельности.
3.3.	Иметь навыки и (или) опыт деятельности (владеть):
3.3.1.	ОПК-1.3. Имеет навыки выбора математических и/или физических методов решения задач профессиональной деятельности, в том числе в сфере педагогической деятельности. ОПК-3.1. Владеет методами использования информационных тех-нологий и программных средств при решении задач профессио-нальной деятельности. ОПК-3.3. Владеет основными навыками применения информаци-онных систем и программных средств для решения задач профес-сиональной деятельности.

4. Структура и содержание дисциплины

Код занятия	Наименование разделов и тем	Вид занятия	Семестр	Часов	Компетенции	Литература
Раздел 1. Машинная арифметика и ошибки вычислений
1.1.	Особенности машинной арифметики. Машинное представление чисел. Машинные константы. Ошибки в научных вычислениях. Плохо обусловленные задачи.	Лекции	5	2	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3	Л3.1, Л1.3, Л1.2, Л2.1
1.2.	Машинная арифметика и ошибки вычислений	Лабораторные	5	2	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3	Л1.1, Л3.1, Л1.3, Л1.2, Л2.1
1.3.	Машинная арифметика и ошибки вычислений	Сам. работа	5	10		Л1.1, Л3.1, Л1.3, Л1.2, Л2.1
Раздел 2. Решение системы линейных алгебраических уравнений
2.1.	СЛАУ. Методы Зейделя, Крамера, обратных матриц, и др. Типы матриц. Нормы векторов и матриц. Контроль точности. Метод Гаусса. LU-факторизация. Близкие к нулю главные элементы. Вектор ошибки и невязка. Число обусловленности. Подпрограмма SGEFS.	Лекции	5	2	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3	Л3.1, Л1.3, Л2.1
2.2.	Решение системы линейных алгебраических уравнений.	Лабораторные	5	4	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3	Л1.1, Л3.1, Л1.3, Л2.1
2.3.	Решение систем уравнений.	Сам. работа	5	8	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3	Л1.1, Л3.1, Л1.3, Л2.1
Раздел 3. Интерполяция
3.1.	Задача интерполяции. Базисные функции. Полиномиальная интерполяция. Степенной базис. Базис Лагранжа. Кусочная интерполяция. Кусочно-кубическая интерполяция. Пакет PCHIP.	Лекции	5	2	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3	Л3.1, Л1.3, Л2.1
3.2.	Интерполяция	Лабораторные	5	8	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3	Л1.1, Л3.1, Л1.3, Л2.1
3.3.	Интерполяция	Сам. работа	5	14	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3	Л1.1, Л3.1, Л1.3, Л2.1
Раздел 4. Численные квадратуры
4.1.	Задача интегрирования. Элементарные квадратурные формулы. Двухточечное правило Гаусса. Метод Гаусса-Кронрода. Автоматические и адаптивные алгоритмы. Интегрирование по бесконечным отрезкам. Многомерные интегралы. Подпрограммы численного интегрирования.	Лекции	5	2	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3	Л3.1, Л1.3, Л2.1
4.2.	Численные квадратуры.	Лабораторные	5	2	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3	Л1.1, Л3.1, Л1.3, Л2.1
4.3.	Численные квадратуры.	Сам. работа	5	8	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3	Л1.1, Л3.1, Л1.3, Л2.1
Раздел 5. Аппроксимация данных (метод наименьших квадратов)
5.1.	Задача аппроксимации. Метод наименьших квадратов. Процедура исследования данных. Нормальные уравнения. Ортогональные факторизации. Преобразование Хаусхолдера. Подпрограмма SQRLS.	Лекции	5	2	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3	Л3.1, Л1.3, Л2.1
5.2.	Аппроксимация данных (метод наименьших квадратов)	Лабораторные	5	6	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3	Л3.1, Л1.3, Л2.1
5.3.	Аппроксимация данных (метод наименьших квадратов)	Сам. работа	5	10	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3	Л3.1, Л1.3, Л2.1
Раздел 6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем
6.1.	Определение и свойства дифференциальных уравнений. Решение ОДУ Уравнения высокого порядка и системы уравнений. Устойчивые и неустойчивые уравнения. Исследование устойчивости. Жесткие уравнения. Явные и неявные методы. Метод Эйлера, метод трапеций. Многошаговые методы. Многозначные методы.	Лекции	5	2	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3	Л3.1, Л1.3, Л2.1
6.2.	Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.	Лабораторные	5	10	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3	Л1.1, Л3.1, Л1.3, Л2.1
6.3.	Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем	Сам. работа	5	19	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3	Л1.1, Л3.1, Л1.3, Л2.1
Раздел 7. Оптимизация и нелинейный метод наименьших квадратов
7.1.	Постановка задачи. Одномерная оптимизация. Метод Ньютона. Унимодальные функции. Методы Фибоначчи и золотого сечения. Многомерная оптимизация. Метод наискорейшего спуска. Метод Нелдера-Мида. Программы поиска минимума.	Лекции	5	2	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3	Л3.1, Л1.3, Л2.1
7.2.	Оптимизация и нелинейный метод наименьших квадратов	Лабораторные	5	4	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3	Л1.1, Л3.1, Л1.3, Л2.1
7.3.	Оптимизация и нелинейный метод наименьших квадратов	Сам. работа	5	6	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3	Л1.1, Л3.1, Л1.3, Л2.1
Раздел 8. Методы Монте-Карло
8.1.	Понятие случайности. Методы Монте-Карло. Определение. Случайные числа. Равномерное и нормальное распределение. Генераторы случайных чисел. Моделирование случайных величин с произвольным распределением. Использование случайных чисел в математике и физике.	Лекции	5	2	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3	Л3.1, Л1.3, Л2.1
8.2.	Методы Монте-Карло	Сам. работа	5	4	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3	Л3.1, Л1.3, Л2.1
Раздел 9. Аппроксимация данных тригонометрическими функциями и быстрое преобразование Фурье
9.1.	Аппроксимация периодических данных. Постановка задачи. Интегральное и дискретное преобразование Фурье. Ряд Фурье. Мощность и энергия. Частичная сумма. Частичный ряд Фурье. Комплексное представление. Двумерные преобразования. Свертка и корреляция.	Лекции	5	2	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3	Л3.1, Л1.3, Л2.1
9.2.	Аппроксимация данных тригонометрическими функциями и быстрое преобразование Фурье	Сам. работа	5	4	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3	Л3.1, Л1.3, Л2.1
Раздел 10. Решение дифференциальных уравнений в частных производных Файл
10.1.	Определение. Отличие от ОДУ. Уравнения математической физики. Уравнение колебания струны. Уравнение теплопроводности. Уравнение переноса. Уравнение диффузии. Уравнение Гельмгольца. Явные и неявные схемы. Математическая библиотека SLATEC.	Лекции	5	2	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3	Л3.1, Л1.3, Л2.1
10.2.	Решение дифференциальных уравнений в частных производных Файл	Сам. работа	5	5	ОПК-3.1, ОПК-3.2, ОПК-3.3, ОПК-1.1, ОПК-1.2, ОПК-1.3	Л3.1, Л1.3, Л2.1

5. Фонд оценочных средств

5.1. Контрольные вопросы и задания для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины

Оценочные материалы для текущего контроля по разделам и темам дисциплины в полном объеме размещены в онлайн-курсе на образовательном портале "Цифровой университет АлтГУ" - https://portal.edu.asu.ru/course/view.php?id=103

Оценка сформированности компетенции ОПК-1 Способен применять базовые знания в области физики и радиофизики и использовать их в профессиональной деятельности, в том числе в сфере педагогической деятельности.

ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ ЗАКРЫТОГО ТИПА.

Вопрос 1. Как в теории решения СЛАУ называется представление матрицы A в произведение более простых матриц, т.е. A=PLU?
Выберите один ответ:

а) Метод Зейделя.

б) PLU-факторизация.

в) QR-факторизация.

г) LU-факторизация.

ОТВЕТ: г)

Вопрос 2. Как в численных методах называют число x, измеряющее общую длину элементов вектора? Обозначение ||x||.
Выберите один ответ:

а) Вектор невязки.

б) Вектор ошибки.

в) Норма вектора.

г) Проекция вектора.

ОТВЕТ: в)

Вопрос 3. Пусть для каждого xi имеются табличные значения (yi,di), где di обозначает производную в точке xi. Требуется найти вычисляемую функцию f(x), которая удовлетворяет условиям f(xi)=yi и f′(xi)=di.

Как называется такая функция?
Выберите один ответ:

а) Интерполянт Лагранжа.

б) Эрмитов интерполянт.

в) Интерполянт Чебышева.

г) Сплайн-интерполянт.

ОТВЕТ: б)

Вопрос 4. Теория полиномиальной интерполяции основана на знаменитой теореме.

Если f - произвольная непрерывная на конечном замкнутом интервале [a,b] функция, то для любого ε>0 найдется такой полином pn(x) степени n=n(ε), что

maxx∈[a,b]|f(x)−pn(x)|<ε.

Чье имя носит эта теорема?
Выберите один ответ:

а) Гийом Франсуа Лопиталь

б) Жан Лерон Д’Аламбер.

в) Иоганн Карл Фридрих Гаусс.

г) Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс.

ОТВЕТ: г)

Вопрос 5. Как называется квадратурное правило, в котором площадь под кривой f(x) (x∈[a,b]) приближается площадью под отрезком прямой, проходящей параллельно оси OX через среднюю точку отрезка [a,b]?
Выберите один ответ:

а) Правило Гаусса.

б) Правило трапеций.

в) Правило Симпсона.

г) Правило прямоугольников.

ОТВЕТ: г)

Вопрос 6. К какому квадратурному правилу мы придем, если проинтегрировать интерполяционный полином Лагранжа pn−1(x), проходящий через точки (xi,f(xi)),i=1,…,n?
Выберите один ответ:

а) Правило Лагера.

б) Правило th.

в) Правило Ньютона-Котеса.

г) Правило Гаусса.

ОТВЕТ: в)

Вопрос 7. Как в задачах аппроксимации называется процедура умножения на матрицу P, такую что PTP=I.

Выберите один ответ:

а) Преобразование Гаусса.

б) Преобразование Фурье.

в) Ортогональное преобразование.

г) Нормировка матрицы.

ОТВЕТ: в)

Вопрос 8. Рассмотрим алгоритм решения нелинейного уравнения.

1) Если (b−a)<ε1, то стоп.
2) Положить m=(a+b)/2 средняя точка интервала [a,b].
3) Вычислить f(m). Если |f(m)|<ε2, то стоп.
4) Если f(a)⋅f(m)<0, то b=m иначе a=m.
5) Перейти к п. 1.

Как называется метод в основе этого алгоритма?
Выберите один ответ:

а) Метод простой итерации.

б) Метод дихотомии.

в) Метод секущих.

г) Метод Ньютона.

ОТВЕТ: б)

Вопрос 9. При фиксированном t угол наклона касательных к кривым из семейства решений ОДУ изменяется как функция y.

Для уравнения

dy/dt=f(t,y)

это изменение определяется величиной fy=∂f/∂y.

Число fy называется якобианом уравнения и обозначается J.

К какому типу относится уравнение, если J<0?
Выберите один ответ:

а) Жесткое.

б) Устойчивое.

в) Нежесткое.

г) Неустойчивое.

ОТВЕТ: б)

Вопрос 10. Устойчивость систем дифференциальных уравнений связана с собственными значениями матрицы Якоби J, т.е. с такими числами λi, для которых

det(J−λiI)=0.

При каком условии система уравнений будет абсолютно неустойчивой?
Выберите один ответ:

а) Ровно половина чисел λi>0, а оставшаяся половина <0.

б) Все λi=0.

в) Все λi<0.

г) Все λi>0.

ОТВЕТ: г)

ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ ОТКРЫТОГО ТИПА.

Вопрос 1. Закончите утверждение.

Метод Гаусса является устойчивым алгоритмом, и, вычисляемое им решение, по всей вероятности, не уступает в точности решениям, получаемым с помощью любого другого алгоритма, если ...

ОТВЕТ: Множители не превосходят по абсолютной величине 1.

Вопрос 2. Если матрица обладает свойствами
1) Определитель равен 0.
2) Существует ненулевой вектор z такой, что Az=0.
3) Строки линейно зависимы.
4) Не имеющая обратной.
то как называется такая матрица?

ОТВЕТ: Вырожденная матрица.

Вопрос 3. Закончите утверждение.

При решении системы линейных уравнений относительная погрешность решения пропорциональна относительным погрешностям матрицы коэффициентов системы и ее правой части, причем константа пропорциональности равна ...

ОТВЕТ: Числу обусловленности матрицы.

Вопрос 4. Пусть есть набор точек (xi,yi),i=1,…,n. Требуется найти функцию f(x), такую что f(xi)=yi.

Как называется эта задача?

ОТВЕТ: Интерполяция.

Вопрос 5. В чем заключается замена базиса в задачах интерполяции?

ОТВЕТ: Замена базисных функций на другой набор независимых функций, которые являются линейными комбинациями исходных.

Вопрос 6. Как называется кусочно-кубический интерполянт с двумя непрерывными производными?

ОТВЕТ: Кубический сплайн.

Вопрос 7. Какую характеристику квадратурного правила можно ввести, если известно, что его остаток Rn равен нулю для любого полинома степени d, но не равен нулю для некоторого полинома степени d+1?
Выберите один ответ:

ОТВЕТ: Алгебраическая степень точности d.

Вопрос 8. Какова главная причина отказа от использования метода нормальных уравнений для поиска коэффициентов аппроксимационной модели?

ОТВЕТ: Вырожденность матрицы коэффициентов.

Вопрос 9. При фиксированном t угол наклона касательных к кривым из семейства решений изменяется как функция y.

Для уравнения

dy/dt=f(t,y)

это изменение определяется величиной fy=∂f/∂y.

Число fy называется якобианом уравнения и обозначается J.

К какому типу относится уравнение, если J>0?

ОТВЕТ: Неустойчивое.

Вопрос 10. Дайте определение жесткой задачи в теории решения ОДУ численными методами.

ОТВЕТ: Дифференциальная задача, моделирующая физический процесс, компоненты которого обладают несоизмеримыми характерными временами, или же процесс, характерное время которого намного меньше отрезка интегрирования.

Оценка сформированности компетенции ОПК-3 Способен понимать принципы работы современных информационных технологий и использовать их для решения задач профессиональной деятельности.

ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ ЗАКРЫТОГО ТИПА.

Вопрос 1. Как в машинной арифметике называется явление, при котором результат вычисления арифметической операции оказывается меньше чем наименьшее число с плавающей точкой, которое имеет нетривиальное двоичное представление?

Выберите один ответ:

а) Потеря точности.

б) Исчезновение порядка.

в) Катастрофическая потеря верных знаков.

г) Переполнение.

ОТВЕТ: б)

Вопрос 2. Как в машинной арифметике называется явление, при котором результат вычисления арифметической операции оказывается больше чем наибольшее число с плавающей точкой, которое имеет нетривиальное двоичное представление?
Выберите один ответ:

а) Катастрофическая потеря верных знаков.

б) Переполнение.

в) Исчезновение порядка.

г) Потеря точности.

ОТВЕТ: б)

Вопрос 3. Как в теории программирования называется программа, проверяющая приемлемость входных аргументов и выдающая сообщение об ошибке при получении некорректных данных?
Выберите один ответ:

а) Рекурсивная программа.

б) Робастная программа.

в) Рекреационная программа.

г) Рекуррентная программа.

ОТВЕТ: б)

Вопрос 4. Как называется программа, которая без каких-либо изменений работает на разных компьютерах и в разных операционных системах, выдавая при этом одинаковые результаты?
Выберите один ответ:

а) Универсальная программа.

б) Робастная программа.

в) Переносимая программа.

г) Портируемый код.

ОТВЕТ: в)

Вопрос 5. Какие из перечисленных свойств являются причиной непереносимости кода?
Выберите один или несколько ответов:

а) Различие в диалектах языка.

б) Различие в регистре при программировании кода.

в) Различие в диапазоне представимых чисел.

г) Различие в используемых программах для редактирования.

ОТВЕТ: а), в)

Вопрос 6. Как называется вычислительная задача, ничтожно малые изменения коэффициентов которой способны привести к большим изменениям ее решения?
Выберите один ответ:

а) Плохо обусловленная или сверхчувствительная.

б) Катастрофическая.

в) Вырожденная.

г) Некорректно поставленная.

ОТВЕТ: а)

Вопрос 7. В стандарте IEEE Floating point Standard (1985) для вещественных чисел с плавающей точкой введено обозначение

x=a⋅10^b

Как называется число a?
Выберите один ответ:

а) Мантиса.

б) База.

в) Основание.

г) Показатель.

ОТВЕТ: а)

Вопрос 8. Рассмотрим программу для вычисления экспоненты через разложение в ряд Тейлора

program taylor
real :: x, sum=0.0, term=1.0
integer :: i = 1
write(*,*) "Input x:"
read(*,*) x
do while (term > 0.0)
sum = sum + term
term = term*x/i
i=i+1
end do
write(*,*)"e^x=",sum,exp(x)
end program taylor

Какие проблемы возникнут при работе программы?
Выберите один ответ:

а) Для положительных x произойдет катастрофическая потеря верных знаков.

б) Для отрицательных x произойдет катастрофическая потеря верных знаков.

в) Для положительных x произойдет исчезновение порядка.

г) Для отрицательных x произойдет исчезновение порядка.

ОТВЕТ: б)

Вопрос 9. В стандарте IEEE Floating point Standard (1985) для вещественных чисел с плавающей точкой введено обозначение

x=a⋅10^b

Как называется представление числа, удовлетворяющее условию 1.0<=a<10.0?
Выберите один ответ:

а) Нормализованное представление.

б) Нормированное представление.

в) Нормировочное представление.

г) Нормальное представление.

ОТВЕТ: а)

Вопрос 10. Выберите верное неравенство.
Выберите один ответ:

а) εмаш<UFL<OFL<0

б) 0<εмаш<UFL<OFL

в) 0<UFL<εмаш<OFL

г) OFL<0<εмаш<UFL<OFL

ОТВЕТ: в)

ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ ОТКРЫТОГО ТИПА.

Вопрос 1. Ниже прифеден фрагмент кода по вычислению Евклидовой нормы вектора. Какие проблемы возникнут при работе данной функции, если компоненты вектора a(i) окажутся слишком большими числами для нетривиального машинного представления?

real function snorm(n,a)
real, dimension (1:n) :: a
integer :: n, i
snorm = 0.0
do i = 1, n
snorm = snorm + a(i)**2
end do
snorm = sqrt(snorm)
return
end function snorm

ОТВЕТ: Произойдет ошибка машинной арифметики, называемая переполнением.

Вопрос 2. Ниже прифеден фрагмент кода по вычислению Евклидовой нормы вектора. Какие проблемы возникнут при работе данной функции, если компоненты вектора a(i) окажутся слишком малыми числами для нетривиального машинного представления?

real function snorm(n,a)
real, dimension (1:n) :: a
integer :: n, i
snorm = 0.0
do i = 1, n
snorm = snorm + a(i)**2
end do
snorm = sqrt(snorm)
return
end function snorm

ОТВЕТ: Произойдет ошибка машинной арифметики, называемая исчезновением порядка.

Вопрос 3. Дайте определение константе машинный эпсилон.

ОТВЕТ: Наименьшее число с плавающей точкой, которое при сложении с 1.0 дает число большее чем 1.0

Вопрос 4. Какое число в машинной арифметике обозначают аббревиатурой OFL?

ОТВЕТ: Наибольшее число с плавающей точкой.

Вопрос 5. В стандарте IEEE Floating point Standard (1985) для вещественных чисел с плавающей точкой введено обозначение

x=a⋅10^b

Как называется число b?

ОТВЕТ: Показатель.

Вопрос 6. Каким свойством при решении численными методами обладают плохо обусловленные или сверхчувствительные задачи?

ОТВЕТ: Ничтожно малые изменения коэффициентов задачи способны привести к большим изменениям ее решения.

Вопрос 7. Программисту предстоити написать программу для вычисления значения производной функции через разностное отношение.

При малом h

f′(x)≈(f(x+h)−f(x))/h.

Как ему избежать проблем при написании кода?

ОТВЕТ: Корректно сформулировать требование на величину h.

Вопрос 8. Как называется вектор e=x−x∗, где x - точное решение системы Ax=b, x∗ - вычисленное решение.
Выберите один ответ:

а) Вектор ошибки.

б) Вектор невязки.

в) Норма вектора.

г) Единичный вектор.

ОТВЕТ: б)

Вопрос 9. Дайте определение невязки в случае решения СЛАУ.

ОТВЕТ: Количественная мера несоответствия между правыми и левыми частями уравнений системы при подстановке в них вычисленного решения.

Вопрос 10. Как в теории решения СЛАУ называется квадратная матрица A, если ее определитель равен нулю?

ОТВЕТ: Вырожденная матрица.

КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ОТКРЫТЫХ ВОПРОСОВ.
"Отлично" (зачтено): Ответ полный, развернутый. Вопрос точно и исчерпывающе передан, терминология сохранена, студент превосходно владеет основной и дополнительной литературой, ошибок нет.
"Хорошо" (зачтено): Ответ полный, хотя краток, терминологически правильный, нет существенных недочетов. Студент хорошо владеет пройденным программным материалом, владеет основной литературой, суждения правильны.
"Удовлетворительно" (зачтено): Ответ неполный. В терминологии имеются недостатки. Студент владеет программным материалом, но имеются недочеты.

5.2. Темы письменных работ для проведения текущего контроля (эссе, рефераты, курсовые работы и др.)

Не предусмотрены.

5.3. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации

Промежуточная аттестация заключается в проведении в конце семестра зачета с оценкой (для обучающихся, не получивших зачет по результатам текущей успеваемости) по всему изученному курсу. Зачет с оценкой проводится в устной и письменной форме по билетам. В билет входит 2 вопроса теоретического характера.

ВОПРОСЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ХАРАКТЕРА
1. Место численных методов в решении научных и исследовательских задач. Машинная арифметика. Ошибки.
2. Место численных методов в решении научных и исследовательских задач. Машинное представление чисел. Ошибки.
3. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Преимущества и недостатки основных методов (метод Крамера, метод обратных матриц, метод Зейделя). Контроль ошибок. Метод Гаусса и проблемы его реализации.
4. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Контроль ошибок. LU-факторизация.
5. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Проблемы реализации метода Гаусса. Вектор ошибки и невязка. Число обусловленности матрицы.
6. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Нормы векторов и матриц. Число обусловленности матрицы и его интерпретация.
7. Задача интерполяции. Связь задачи интерполяции с задачей решения систем линейных алгебраических уравнений. Интерполяция и аппроксимация. Полиномиальная интерполяция и проблемы ее реализации.
8. Задача интерполяции. Связь задачи интерполяции с задачей решения систем линейных алгебраических уравнений. Степенной базис. Базис Лагранжа. Кусочно-кубическая интерполяция.
9. Вычисление определенного интеграла. Связь численного интегрирования с задачей интерполяции. Элементарные квадратурные формулы.
10. Вычисление определенного интеграла. Связь численного интегрирования с задачей интерполяции. Правило Ньютона-Котеса. Двухточечное правило Гаусса.
11. Вычисление определенного интеграла. Связь численного интегрирования с задачей интерполяции. Метод Гаусса-Кронрода. Автоматические и адаптивные алгоритмы.
12. Вычисление интеграла по бесконечным отрезкам. Усечение отрезка. Замена переменной. Формула Гаусса-Лагера. Правило th.
13. Аппроксимация данных. Постановка задачи. Интерполяция и аппроксимация. Метод наименьших квадратов. Аппроксимация с весами.
14. Аппроксимация данных. Метод наименьших квадратов. Шкалированные невязки. Использование нормальных уравнений.
15. Аппроксимация данных. Метод наименьших квадратов. Ортогональные факторизации. QR-факторизация.
16. Аппроксимация данных. Метод наименьших квадратов. Проблемы приведения матрицы коэффициентов к треугольному виду. Преобразование Хаусхолдера.
17. Нелинейные уравнения. Связь с задачей решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод дихотомии. Метод Ньютона. Метод секущих.
18. Нелинейные уравнения. Связь с задачей решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Мюллера. Системы нелинейных уравнений.
19. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Отличие задач решения ОДУ и вычисления определенных интегралов. Уравнения высокого порядка и системы уравнений. Метод Эйлера.
20. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Устойчивые и неустойчивые уравнения. Собственные значения и матрица Якоби. Жесткие задачи.
21. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Явный и неявный метод Эйлера. Метод трапеций.
22. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Многошаговые методы. Общая разностная схема. Методы Адамса, Гира, Рунге-Кутты 4-го порядка. Многозначные методы.
23. Решение задач оптимизации. Связь решения задачи оптимизации с решением нелинейных уравнений. Одномерная оптимизация. Метод Ньютона и проблемы его реализации.
24. Решение задач оптимизации. Связь решения задачи оптимизации с решением нелинейных уравнений. Одномерная оптимизация. Унимодальные функции. Метод Фибоначчи. Метод золотого сечения.
25. Решение задач оптимизации. Многомерная оптимизация. Метод Ньютона. Метод наискорейшего спуска.
26. Численные методы Монте-Карло. Случайные числа. Равномерное и нормальное распределение. Использование случайных величин для вычисления определенного интеграла.
27. Численные методы Монте-Карло. Случайные числа. Генераторы случайных чисел (конгруэнтный целочисленный генератор Лемера, генератор Фибоначчи).
28. Численные методы Монте-Карло. Моделирование случайных величин: дискретные случайные величины, метод обратных функций, метод Неймана, обобщенный метод отказов, метод суперпозиции.

Критерии оценивания. Для получения оценки «удовлетворительно» достаточно ответить на один из вопросов. Для получения оценки «хорошо» достаточно ответить на один вопрос и частично на второй. Оценка «отлично» ставится за ответ на оба вопроса.

6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

6.1. Рекомендуемая литература
6.1.1. Основная литература
	Авторы	Заглавие	Издательство, год	Эл. адрес
Л1.1	А. Маркус	Современный Fortran на практике: учебник	ДМК Пресс, 2015 // ЭБС "Лань", 2016	e.lanbook.com
Л1.2	Рацеев С. М.	Программирование на языке Си: Учебное пособие для вузов	Издательство "Лань", 2023	e.lanbook.com
Л1.3	Е.В. Крахоткина	Численные методы в научных расчетах: учебное пособие	Ставрополь : СКФУ, 2015 // ЭБС "Университетская библиотека online"	biblioclub.ru
6.1.2. Дополнительная литература
	Авторы	Заглавие	Издательство, год	Эл. адрес
Л2.1	Слабнов, В. Д	Численные методы: учебник для вузов	Издательство "Лань", 2022	e.lanbook.com
6.1.3. Дополнительные источники
	Авторы	Заглавие	Издательство, год	Эл. адрес
Л3.1	Н.В. Волков	Программирование: учебное пособие	Изд-во АлтГУ, 2014 // ЭБС АлтГУ, 2016	elibrary.asu.ru
6.2. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет"
	Название		Эл. адрес
Э1	Электронная библиотечная система Алтайского государственного университета		elibrary.asu.ru
Э2	Электронно-библиотечная система издательства «Лань»		e.lanbook.com
Э3	Электронно-библиотечная система «Университетская библиотека онлайн»		biblioclub.ru
Э4	Национальный Открытый Университет «ИНТУИТ»		www.intuit.ru
Э5	Курс на Едином образовательном портале АлтГУ		portal.edu.asu.ru
6.3. Перечень программного обеспечения
gfortran - компилятор языка программирования Fortran (Лицензия: Стандартная общественная лицензия GNU (GENERAL PUBLIC LICENSE) https://www.gnu.org/licenses/gpl-3.0.ru.html), gcc - компилятор языков программирования C, C++ (Лицензия: Стандартная общественная лицензия GNU (GENERAL PUBLIC LICENSE) https://www.gnu.org/licenses/gpl-3.0.ru.html), Geany - среда разработки (Лицензия: Стандартная общественная лицензия GNU (GENERAL PUBLIC LICENSE) https://www.gnu.org/licenses/gpl-3.0.ru.html). Microsoft Office 2010 (Office 2010 Professional, № 4065231 от 08.12.2010), (бессрочно); Microsoft Windows 7 (Windows 7 Professional, № 61834699 от 22.04.2013), (бессрочно); Chrome (http://www.chromium.org/chromium-os/licenses), (бессрочно); 7-Zip (http://www.7-zip.org/license.txt), (бессрочно); AcrobatReader (http://wwwimages.adobe.com/content/dam/Adobe/en/legal/servicetou/Acrobat_com_Additional_TOU-en_US-20140618_1200.pdf), (бессрочно); ASTRA LINUX SPECIAL EDITION (https://astralinux.ru/products/astra-linux-special-edition/), (бессрочно); LibreOffice (https://ru.libreoffice.org/), (бессрочно); Веб-браузер Chromium (https://www.chromium.org/Home/), (бессрочно); Антивирус Касперский (https://www.kaspersky.ru/), (до 23 июня 2024); Архиватор Ark (https://apps.kde.org/ark/), (бессрочно); Okular (https://okular.kde.org/ru/download/), (бессрочно); Редактор изображений Gimp (https://www.gimp.org/), (бессрочно)
6.4. Перечень информационных справочных систем
GSL (GNU Scientific Library) - библиотека функций по численным методам (Лицензия: Стандартная общественная лицензия GNU (GENERAL PUBLIC LICENSE) https://www.gnu.org/licenses/gpl-3.0.ru.html).

7. Материально-техническое обеспечение дисциплины

Аудитория	Назначение	Оборудование
Учебная аудитория	для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), проведения практик	Стандартное оборудование (учебная мебель для обучающихся, рабочее место преподавателя, доска)
Помещение для самостоятельной работы	помещение для самостоятельной работы обучающихся	Компьютеры, ноутбуки с подключением к информационно-телекоммуникационной сети «Интернет», доступом в электронную информационно-образовательную среду АлтГУ
308К	лаборатория компьютерных технологий - учебная аудитория для проведения занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических); проведения групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации	Учебная мебель на 15 посадочных мест; рабочее место преподавателя; доска маркерная; компьютеры Aquarius STd MS_SC140, монитор BENQ 17'' (5шт.), компьютеры Парус 945 MSI, монитор LG 17'' (5 шт.) Fast Ethernet Swich Allied Telesyn 1; методические рекомендации по выполнению лабораторных работ по курсам "Алгоритмы и языки программирования", "Численные методы и математическое моделирование", "Вычислительная физика", "Компьютерная радиофизика".
001вК	склад экспериментальной мастерской - помещение для хранения и профилактического обслуживания учебного оборудования	Акустический прибор 01021; виброизмеритель 00032; вольтметр Q1202 Э-500; вольтметр универсальный В7-34А; камера ВФУ -1; компьютер Турбо 86М; масспектрометр МРС -1; осциллограф ЕО -213- 2 ед.; осциллограф С1-91; осциллограф С7-19; программатор С-815; самописец 02060 – 2 ед.; стабилизатор 3218; терц-октавный фильтр 01023; шкаф вытяжной; шумомер 00026; анализатор АС-817; блок 23 Г-51; блок питания "Статрон" – 2 ед.; блок питания Ф 5075; вакуумный агрегат; весы; вольтметр VM -70; вольтметр В7-15; вольтметр В7-16; вольтметр ВУ-15; генератор Г-5-6А; генератор Г4-76А; генератор Г4-79; генератор Г5-48; датчик колебаний КВ -11/01; датчик колебаний КР -45/01; делитель Ф5093; измеритель ИМП -2; измеритель параметров Л2-12; интерферометр ИТ 51-30; источник "Агат" – 3 ед.; источник питания; источник питания 3222; источник питания ЭСВ -4; лабораторная установка для настройки газовых лазеров; лазер ЛГИ -21; М-кальк-р МК-44; М-калькул-р "Электроника"; магазин сопротивления Р4075; магазин сопротивления Р4077; микроскоп МБС -9; модулятор МДЕ; монохроматор СДМС -97; мост переменного тока Р5066; набор цветных стекол; насос вакумный; насос вакуумный ВН-01; осциллограф С1-31; осциллограф С1-67; осциллограф С1-70; осциллограф С1-81; осциллоскоп ЕО -174В – 2 ед.; пентакта L-100; пирометр "Промень"; пистонфон 05001; преобразователь В9-1; прибор УЗДН -2Т; скамья оптическая СО 1м; спектограф ДФС -452; спектограф ИСП -51; стабилизатор 1202; стабилизатор 3217 – 4 ед.; стабилизатор 3218; стабилизатор 3222 – 3 ед.; станок токарный ТВ-4; усилитель мощности ЛВ -103 – 4 ед.; усилитель У5-9; центрифуга ВЛ-15; частотомер Ч3-54А; шкаф металлический; эл.двигатель; электродинамический калибратор 11032

8. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

При выполнении лабораторных работ по каждой из тем рекомендуется разобрать задачу, определить место в алгоритме, в котором требуется использование библиотченых подпрограмм. К зачету принимаются только те лабораторные работы, которые дают исчерпывающий ответ на поставленную задачу (отчет, графики, ответы на контрольные вопросы).