| Закреплена за кафедрой | Кафедра алгебры и математической логики |
|---|---|
| Направление подготовки | 1.1.5.. Математическая логика, алгебра, теория чисел и дискретная математика |
| Форма обучения | Очная |
| Общая трудоемкость | 3 ЗЕТ |
| Учебный план | 1_1_5 Математическая логика, алгебра, теория чисел и дискретная математика_2024 |
|
|
||||||||||||
Распределение часов по семестрам
| Курс (семестр) | 2 (3) | Итого | ||
|---|---|---|---|---|
| Недель | 15 | |||
| Вид занятий | УП | РПД | УП | РПД |
| Часы на контроль | 108 | 108 | 108 | 108 |
| Итого | 108 | 108 | 108 | 108 |
| 1.1. | Сдача кандидатского экзамена по профилю 1.1.5 Математическая логика, алгебра, теория чисел и дискретная математика |
|---|
| Цикл (раздел) ООП: 2.3 |
| ПК-3 | Способен демонстрировать знания математических и естественных наук при решении фундаментальных и прикладных задач в области алгебры и дискретной математики |
| В результате освоения дисциплины обучающийся должен | |
| 3.1. | Знать: |
|---|---|
| 3.1.1. | Знает основные теоремы математической логики и теории алгоритмов, алгебры, теории чисел, теории колец и групп |
| 3.2. | Уметь: |
| 3.2.1. | Умеет применять основные теоремы математической логики и теории алгоритмов, алгебры, теории чисел, теории колец и групп в научной работе |
| 3.3. | Иметь навыки и (или) опыт деятельности (владеть): |
| 3.3.1. | Владеет: основными методами решения задач в области математической логики и теории алгоритмов, алгебры, теории чисел, теории колец и групп |
| Код занятия | Наименование разделов и тем | Вид занятия | Семестр | Часов | Компетенции | Литература |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Раздел 1. Математическая логика и теория алгоритмов | ||||||
| 1.1. | Понятие алгоритма и его уточнения. Вычислимость по Тьюрингу, частично рекурсивные функции, рекурсивно перечислимые и рекурсивные множества. Тезис Чёрча. | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л2.1, Л1.4, Л2.3 |
| 1.2. | Универсальные вычислимые функции. Существование перечислимого неразрешимого множества. Алгоритмические проблемы | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л2.1, Л1.4, Л2.3 |
| 1.3. | Построение полугруппы с неразрешимой проблемой распознавания равенства | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л2.1, Л1.4, Л2.3 |
| 1.4. | Классы P и NP. Полиномиальная сводимость и NP-полные задачи. Теорема об NP-полноте задачи ВЫПОЛНИМОСТЬ | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л2.1, Л1.4, Л2.3 |
| 1.5. | Логика высказываний. Представимость булевых функций формулами логики высказываний. Конъюнктивные и дизъюнктивные нормальные формы | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л2.1, Л1.4, Л2.3 |
| 1.6. | Исчисление высказываний. Полнота и непротиворечивость | Экзамен | 3 | 1 | ПК-3 | Л2.1, Л1.4, Л2.3 |
| 1.7. | Логика предикатов. Приведение формул логики предикатов к предварённой нормальной форме. | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л2.1, Л1.4, Л2.3 |
| 1.8. | Исчисление предикатов. Непротиворечивость. Теорема о дедукции | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л2.1, Л1.4, Л2.3 |
| 1.9. | Полнота исчисления предикатов. Теорема Мальцева о компактности | Экзамен | 3 | 1 | ПК-3 | Л2.1, Л1.4, Л2.3 |
| 1.10. | Элементарные теории классов алгебраических систем. Категоричные в данной мощности теории. Теорема о полноте теории, не имеющей конечных моделей и категоричной в бесконечной мощности | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л2.1, Л1.4, Л2.3 |
| 1.11. | Разрешимые теории. Теория плотного линейного порядка. | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л2.1, Л1.4, Л2.3 |
| 1.12. | Формальная артифметика. Теорема о представимости вычислимых функций в формальной артифметике (без доказательства) | Экзамен | 3 | 1 | ПК-3 | Л2.1, Л1.4, Л2.3 |
| 1.13. | Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики. Теорема Тарского о невыразимости арифметической истинности в арифметике. | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л2.1, Л1.4, Л2.3 |
| 1.14. | Неразрешимость алгоритмической проблемы выводимости для арифметики и логики предикатов | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л2.1, Л1.4, Л2.3 |
| 1.15. | Аксиоматическая теория множеств. Порядковые числа, принцип трансфинитной индукции. Аксиома выбора | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л2.1, Л1.4, Л2.3 |
| Раздел 2. Алгебра | ||||||
| 2.1. | Простота группы An , n ? 5 и SO3 | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л1.3, Л2.3 |
| 2.2. | Теоремы Силова | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л1.2, Л1.3, Л2.3 |
| 2.3. | Теорема о конечно порожденных модулях над евклидовым кольцом и ее следствия для групп и линейных операторов | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л1.3, Л2.3 |
| 2.4. | Свободные группы и определяющие соотношения | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л1.3, Л2.3 |
| 2.5. | Радикал кольца. Структурная теорема о полупростых кольцах с условием минимальности | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л1.3, Л2.3 |
| 2.6. | Алгебраические расширения полей. Теорема о примитивном элементе. Поле разложения многочлена. Основная теорема теории Галуа | Экзамен | 3 | 1 | ПК-3 | Л1.3, Л2.3 |
| 2.7. | Конечные поля, их подполя и автоморфизмы | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л1.3, Л2.3 |
| 2.8. | Группа Брауэра. Теорема Фробениуса | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л1.3, Л2.3 |
| 2.9. | Алгебры Ли. Простые и разрешимые алгебры. Теорема Ли о разрешимых алгебрах. Теорема Биркгофа-Витта | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л1.3, Л2.3 |
| 2.10. | Основы теории представлений. Теорема Машке. Одномерные представления. Соотношения ортогональности | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л1.3, Л2.3 |
| 2.11. | Алгебраические системы. Свободные алгебры. Многообразие алгебр. Теорема Биркгофа | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л1.3, Л2.3 |
| 2.12. | Решетки. Дедекиндовы решетки. Теорема Стоуна о булевй алгебрах | Экзамен | 3 | 1 | ПК-3 | Л1.3, Л2.3 |
| Раздел 3. Теория чисел | ||||||
| 3.1. | Квадратичный закон взаимности | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л1.1, Л2.3 |
| 3.2. | Первообразные корни и индексы | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л1.1, Л2.3 |
| 3.3. | Неравенства Чебышева для функции ?(x) | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л1.1, Л2.3 |
| 3.4. | Дзета-функция Римана. Асимпточтический закон распределения простых чисел. | Экзамен | 3 | 1 | ПК-3 | Л1.1, Л2.3 |
| 3.5. | Характеры и L-функции. Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии. | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л1.1, Л2.3 |
| 3.6. | Тригонометрические суммы. Модуль гауссовой суммы. Полные тригонометрические суммы и число решений сравнений. | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л1.1, Л2.3 |
| 3.7. | Критерий Вейля равномерного распределения. Теорема Вейля о последовательности значений многочлена. | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л1.1, Л2.3 |
| 3.8. | Модулярная группа и модулярные функции. Теорема о строении алгебры модулярных форм. | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л1.1, Л2.3 |
| 3.9. | Представление целых чисел унимодулярными квадратичными формами. | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л1.1, Л2.3 |
| 3.10. | Приближение вещественных чисел рациональными дробями. Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел рациональными дробями. Примеры трансцендентных чисел | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л1.1, Л2.3 |
| 3.11. | Трансцендентность чисел е и пи | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л1.1, Л2.3 |
| Раздел 4. Теория колец | ||||||
| 4.1. | I. Ассоциативные кольца. Теорема плотности | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л2.2, Л1.5, Л2.3 |
| 4.2. | Нильпотентность ниль-идеалов в кольцах с условиями обрыва | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л2.2, Л1.5, Л2.3 |
| 4.3. | Максимальные подполя тел как поля расщепления | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л2.2, Л1.5, Л2.3 |
| 4.4. | Понятие Морита-эквивалентности колец. Группа Брауэра поля | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л2.2, Л1.5, Л2.3 |
| 4.5. | Теорема Нетер – Сколема | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л2.2, Л1.5, Л2.3 |
| 4.6. | Полное и классическое кольца частных. Теорема Оре. | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л2.2, Л1.5, Л2.3 |
| 4.7. | Теорема Голди | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л2.2, Л1.5, Л2.3 |
| 4.8. | Теорема Капланского о примитивных PI-алгебрах | Экзамен | 3 | 1 | ПК-3 | Л2.2, Л1.5, Л2.3 |
| 4.9. | Теорема Ширшова о высоте и ее следствия | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л2.2, Л1.5, Л2.3 |
| 4.10. | Нижний ниль-радикал: его построение, свойства | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л2.2, Л1.5, Л2.3 |
| 4.11. | Локально нильпотентный радикал, его специальность | Экзамен | 3 | 1 | ПК-3 | Л2.2, Л1.5, Л2.3 |
| 4.12. | Теорема Голода | Экзамен | 3 | 1 | ПК-3 | Л2.2, Л1.5, Л2.3 |
| 4.13. | II. Алгебры Ли Теорема Энгеля и теорема Ли о триангулируемости разрешимой алгебры Ли линейных преобразований | Экзамен | 3 | 1 | ПК-3 | Л2.2, Л1.5, Л2.3 |
| 4.14. | Полупростые алгебры Ли, критерий Картана. Формулировка теоремы о классификации простых конечномерных алгебр Ли над полем комплексных чисел. | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л2.2, Л1.5, Л2.3 |
| 4.15. | Теоремы Леви и Мальцева | Экзамен | 3 | 1 | ПК-3 | Л2.2, Л1.5, Л2.3 |
| 4.16. | Теорема Адо | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л2.2, Л1.5, Л2.3 |
| 4.17. | III. Альтернативные и йордановы алгебры Теорема о строении композиционных алгебр | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л2.2, Л1.5, Л2.3 |
| 4.18. | Простые альтернативные алгебры. Теорема Клейнфельда | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л2.2, Л1.5, Л2.3 |
| 4.19. | Алгебраические альтернативные PI-алгебры: теорема Ширшова | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л2.2, Л1.5, Л2.3 |
| 4.20. | Теорема Жевлакова о разрешимости альтернативных ниль-алгебр | Экзамен | 3 | 1 | ПК-3 | Л2.2, Л1.5, Л2.3 |
| 4.21. | Гомоморфные образы специальных йордановых алгебр. Неспециальность алгебры Алберта C(27) | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л2.2, Л1.5, Л2.3 |
| 4.22. | Локально нильпотентный радикал в йордановых алгебрах (существование) | Экзамен | 3 | 2 | ПК-3 | Л2.2, Л1.5, Л2.3 |
| 5.1. Контрольные вопросы и задания для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины |
| См. программу кандидатского экзамена |
| 5.2. Темы письменных работ для проведения текущего контроля (эссе, рефераты, курсовые работы и др.) |
| отсутствуют |
| 5.3. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации |
| См. программу кандидатского экзамена |
| 6.1. Рекомендуемая литература | ||||
| 6.1.1. Основная литература | ||||
| Авторы | Заглавие | Издательство, год | Эл. адрес | |
| Л1.1 | И.М. Виноградов | Основы теории чисел: учебник для вузов | СПб. : Лань, 2009 | e.lanbook.com |
| Л1.2 | Кострикин А.И. | Введение в алгебру. Часть 3: Основные структуры алгебры.: учеб. пособие | М.: МЦМНО, 2009 | http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=62951 |
| Л1.3 | А.И. Мальцев | Алгебраические системы: учеб. пособие | М.: Наука, 1970 | |
| Л1.4 | Мальцев А.И. | Алгоритмы и рекурсивные функции: научная литература | М.: Наука, 1986 | |
| Л1.5 | Джекобсон Н. | Строение колец: учеб. пособие | М.: Изд-во иностранной литературы, 1961 | biblioclub.ru |
| 6.1.2. Дополнительная литература | ||||
| Авторы | Заглавие | Издательство, год | Эл. адрес | |
| Л2.1 | Ершов, Ю.Л., Палютин, Е.А. | Математическая логика: учеб. пособие | М.: Наука, 1987 | |
| Л2.2 | Херстейн И. | Некоммутативные кольца: учеб. пособие | М.: Мир, 1972 | |
| Л2.3 | Винберг, Э. Б. | Курс алгебры : Учебное пособие | М.: МЦНМО, 2011 | ЭБС "Университетская библиотека online", 2015. |
| 6.2. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет" | ||||
| Название | Эл. адрес | |||
| Э1 | Университетская библиотека онлайн | www.biblioclub.ru | ||
| Э2 | электронно-библиотечная система "Лань" | http:e.lanbook.com | ||
| 6.3. Перечень программного обеспечения | ||||
| отсутствуетMicrosoft Office 2010 (Office 2010 Professional, № 4065231 от 08.12.2010), (бессрочно); Microsoft Windows 7 (Windows 7 Professional, № 61834699 от 22.04.2013), (бессрочно); Chrome (http://www.chromium.org/chromium-os/licenses), (бессрочно); 7-Zip (http://www.7-zip.org/license.txt), (бессрочно); AcrobatReader (http://wwwimages.adobe.com/content/dam/Adobe/en/legal/servicetou/Acrobat_com_Additional_TOU-en_US-20140618_1200.pdf), (бессрочно); ASTRA LINUX SPECIAL EDITION (https://astralinux.ru/products/astra-linux-special-edition/), (бессрочно); LibreOffice (https://ru.libreoffice.org/), (бессрочно); Веб-браузер Chromium (https://www.chromium.org/Home/), (бессрочно); Антивирус Касперский (https://www.kaspersky.ru/), (до 23 июня 2024); Архиватор Ark (https://apps.kde.org/ark/), (бессрочно); Okular (https://okular.kde.org/ru/download/), (бессрочно); Редактор изображений Gimp (https://www.gimp.org/), (бессрочно) | ||||
| 6.4. Перечень информационных справочных систем | ||||
| отсутствует | ||||
| Аудитория | Назначение | Оборудование |
|---|---|---|
| 408Л | лаборатория математического моделирования - учебная аудитория для проведения занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических); проведения групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации | Учебная мебель на 15 посадочных мест; рабочее место преподавателя; доска меловая 1 шт.; компьютер Depo - 10 шт., 5 шт. с мониторами LG и 5 шт. с мониторами Philips; мультимедиа-проектор Sony - 1 шт.; МФУ Canon - 1 шт.; стационарный экран: марка Digis Optima C - 1 шт. |
| В списке вопросов выделите те, которые были рассмотрены на лекции и на практиках. Обратитесь к своим записям, выделите существенное. Для более детального изучения изучите рекомендуемую литературу. Если в списке вопросов есть те, которые не рассматривались на лекции, на практических занятиях, изучите их самостоятельно. Если есть сомнения, задайте вопросы на консультации перед экзаменом. Продумайте свой ответ на экзамене, его логику. Помните, что ваш ответ украсит ссылка на источник литературы, иллюстрация практики применения теоретического знания, а также уверенность и наличие авторской аргументированной позиции как будущего субъекта профессиональной деятельности. |