| Закреплена за кафедрой | Кафедра экономики и прикладной информатики (Бийск) |
|---|---|
| Направление подготовки | 38.03.01. Экономика |
| Профиль | Бухгалтерский учет и аудит |
| Форма обучения | Очно-заочная |
| Общая трудоемкость | 7 ЗЕТ |
| Учебный план | ФлБийск_v38_03_01_Экономика_БиА-2025 |
|
|
||||||||||||||
Распределение часов по семестрам
| Курс (семестр) | 1 (1) | 1 (2) | Итого | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Недель | 15 | 22 | ||||
| Вид занятий | УП | РПД | УП | РПД | УП | РПД |
| Лекции | 10 | 10 | 14 | 14 | 24 | 24 |
| Практические | 16 | 16 | 22 | 22 | 38 | 38 |
| Сам. работа | 55 | 55 | 81 | 81 | 136 | 136 |
| Часы на контроль | 27 | 27 | 27 | 27 | 54 | 54 |
| Итого | 108 | 108 | 144 | 144 | 252 | 252 |
| 1.1. | Цель изучения дисциплины «Математика в экономике» – формирование у аспирантов представлений о существующих современных аналитических методах, используемых в экономике, а также навыков применения этих методов к различным задачам из области экономической теории |
|---|
| Цикл (раздел) ООП: Б1.О.05 |
| ОПК-2 | Способен осуществлять сбор, обработку и статистический анализ данных, необходимых для решения поставленных экономических задач; |
| В результате освоения дисциплины обучающийся должен | |
| 3.1. | Знать: |
|---|---|
| 3.1.1. | |
| 3.2. | Уметь: |
| 3.2.1. | |
| 3.3. | Иметь навыки и (или) опыт деятельности (владеть): |
| 3.3.1. | |
| Код занятия | Наименование разделов и тем | Вид занятия | Семестр | Часов | Компетенции | Литература |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Раздел 1. Раздел 1. Выпуклые функции и множества | ||||||
| 1.1. | Аффинные множества. Выпуклые множества. Выпуклая комбинация и понятие выпуклой оболочки. Примеры выпуклых множеств. Исчисление выпуклых множеств. Обобщенные неравенства. Наименьший и минимальный элемент. Парето-оптимальность, кривая производственных возможностей. Определение выпуклой функции. Основные примеры выпуклых функций одной и нескольких переменных. Одномерные сужения. Стандартное определение функции. | Лекции | 1 | 4 | ОПК-2 | Л3.1, Л3.2 |
| 1.2. | Подграфики и множества подуровня. Неравенство Йенсена. Основные приемы, используемые для проверки выпуклости. Преобразование Лежандра. Квазивыпуклые | Практические | 1 | 4 | ОПК-2 | Л2.1 |
| 1.3. | Выпуклость и дифференцируемые функции (условия первого и второго порядка); примеры. Подграфики и множества подуровня. Неравенство Йенсена. Основные приемы, используемые для проверки выпуклости | Сам. работа | 1 | 14 | ||
| Раздел 2. Раздел 2. Задачи математического программирования и их приложения | ||||||
| 2.1. | Задача математического программирования в стандартной форме. Глобальный и локальный оптимум. Неявные ограничения. Допустимости решения. Эквивалентные задачи. Примеры задач линейного программирования, квадратичного программирования, полуопределенного программирования. | Лекции | 1 | 2 | ОПК-2 | Л2.1 |
| 2.2. | программирования. Регуляризация. Задача в стандартной форме и ее Лагранжиан. Двойственная задача. Примеры двойственных задач. Двойственная функция Лагранжа и сопряженная функция. | Практические | 1 | 4 | ОПК-2 | Л2.1 |
| 2.3. | Глобальные оценки. Локальная чувствительность. Теорема об огибающей: постановка, интерпретация, доказательство, примеры применения, обобщения. Примеры приложений. Задача логистической регрессии. Линейные классификаторы. Метод Ньютона. Барьерные методы. Применение в полуопределенном программировании | Сам. работа | 1 | 12 | ||
| Раздел 3. Раздел 3. Неподвижные точки и теоремы существования в математической экономике и теории игр | ||||||
| 3.1. | Сжимающие отображения и теорема Банаха. Теорема Брауэра. Многозначные отображения. Непрерывная теорема максимума. | Лекции | 1 | 2 | ОПК-2 | Л2.1 |
| 3.2. | Существование равновесия в модели Эрроу-Дебре. Существование равновесия в обобщенных играх. Существование равновесия в супер модулярных играх | Практические | 1 | 4 | ОПК-2 | Л2.1 |
| 3.3. | Сжимающие отображения и теорема Банаха. Теорема Брауэра. Многозначные отображения. Непрерывная теорема максимума. | Сам. работа | 1 | 15 | ||
| Раздел 4. Раздел 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Теория устойчивости движения | ||||||
| 4.1. | Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Дифференциальные уравнения высших порядков. Линейные однородные и неоднородные уравнения n-го порядка | Лекции | 1 | 2 | ОПК-2 | Л2.1 |
| 4.2. | Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Невозмущенное и возмущенное движения, | Практические | 1 | 4 | ОПК-2 | Л2.1 |
| 4.3. | Геометрическая интерпретация устойчивости и асимптотической устойчивости. Устойчивость линейных автономных систем. Теоремы об устойчивости движения системы. Типы стационарных точек на плоскости | Сам. работа | 1 | 14 | ||
| Раздел 5. Раздел 5. Применение дифференциальных уравнений и их систем в моделях экономической динамики | ||||||
| 5.1. | Модель установления равновесной цены. Модель экономического роста Солоу. Динамика популяций. Мальтузианский подход к описанию динамики популяций. Модель ограниченного роста популяции. | Лекции | 2 | 4 | ОПК-2 | Л2.1 |
| 5.2. | Исследование устойчивости положений равновесия для конкретных примеров нелинейных автономных систем второго порядка. | Практические | 2 | 4 | ОПК-2 | Л2.1 |
| 5.3. | Модель конкурирующих видов с логистической поправкой. Модель «хищник-жертва» при наличии эффекта переполнения. Исследование устойчивости положений равновесия для конкретных примеров нелинейных автономных систем второго порядка. | Сам. работа | 2 | 30 | ||
| Раздел 6. Раздел 6. Обыкновенные разностные уравнения. | ||||||
| 6.1. | Линейные обыкновенные разностные уравнения. Структура общего решения. Однородные и неоднородные линейные обыкновенные разностные уравнения с постоянными коэффициентами | Лекции | 2 | 4 | ОПК-2 | Л2.1 |
| 6.2. | Системы обыкновенных разностных уравнений. Устойчивость линейных автономных систем. Подходы к исследованию устойчивости равновесий в экономических моделях с дискретным временем | Практические | 2 | 4 | ОПК-2 | Л2.1 |
| 6.3. | Динамическая модель Кейнса с дискретным временем. Модель Самуэльсона-Хикса с дискретным временем. Модель Баумоля-Вольфа. | Сам. работа | 2 | 18 | ||
| Раздел 7. Раздел 7. Динамическое программирование и оптимальное управление. | ||||||
| 7.1. | Формулировки задач динамической оптимизации в дискретном и непрерывном времени. Примеры задач динамической оптимизации в дискретном и непрерывном времени из экономической теории. Принцип оптимальности | Лекции | 2 | 4 | ОПК-2 | Л2.1 |
| 7.2. | Принцип максимума в дискретном времени. Принцип максимума в непрерывном времени. Условия трансверсальности. | Практические | 2 | 4 | ОПК-2 | Л2.1, Л1.1 |
| 7.3. | Принцип максимума в дискретном времени. Принцип максимума в непрерывном времени. Условия трансверсальности. Анализ модели Рамсея в непрерывном времени с помощью принципа максимума | Сам. работа | 2 | 22 | ||
| Раздел 8. Раздел 8. Технологические матрицы | ||||||
| 8.1. | Формирование неразложимой технологической матрицы.Технологическая матрица изолированных областей. Проверка технологической матрицы на разложимость. Продуктивная модель Леоньтева. | Лекции | 2 | 2 | ОПК-2 | Л2.1 |
| 8.2. | Проверка неразложимости технологической матрицы на продуктивность. Расчет полных затрат в матрице Леоньтева. | Практические | 2 | 4 | ОПК-2 | Л2.1 |
| 8.3. | Расчет валового выпуска на основе матрицы полных затрат. | Практические | 2 | 6 | ОПК-2 | Л2.1 |
| 8.4. | Формирование неразложимой технологической матрицы.Технологическая матрица изолированных областей. Проверка технологической матрицы на разложимость. Продуктивная модель Леоньтева | Сам. работа | 2 | 11 | ||
| 5.1. Контрольные вопросы и задания для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины |
| Вопросы 1. Понятие о многомерных статистических методах исследования. 2. Границы применимости многомерных статистических методов. 3. Классификация многомерных статистических методов. 4. Примеры задач, решаемых с помощью многомерных статистических методов исследования. 5. Построение математических моделей различных экономических задач, основные этапы. 6. Постановка задачи кластерного анализа. 7. Меры сходства в кластерном анализе, способы их вычисления. 8. Меры объединения или связи. 9. Построение дендрограммы, агломеративные и дивизитивные иерархические денограммы. 10. Последовательный кластерный анализ, метод к - средних. 11. Постановка задачи факторного анализа. 12. Стандартизация данных. 13. Корреляционные матрицы для исходных и стандартизированных данных, связь между ними. 14. Определение оптимального количества факторов на основании собственных чисел матрицы, критерий Кайзера, критерий факторной осыпи. 15. Выделение латентных переменных. 16. Понятие, методы нахождения и интерпретация матрицы факторных нагрузок и факторных весов. 17. Моделирование значений наблюдаемых переменных на основе выделенных латентных факторов. 18. Постановка задачи многомерного шкалирования. 19. Построение геометрического образа экономического пространства. 20. Метрические и неметрические методы шкалирования, показатель «стресса». 21. Постановка задачи дискриминантного анализа. 22. Понятие о дискриминантных функциях. 23. Определение оптимального количества дискриминантных функций. 24. Оценка параметров дискриминантных функций и их качества. 25. Классификация объектов и наблюдений при помощи дискриминантных функций. 26. Построение классифицирующих функций. 27. Классификация объектов и наблюдений при помощи классифицирующих функций. 28. Вычисление расстояний Махаланобиса, апостериорных расстояний и классификация объектов с их помощью. 29. Понятие классификационной матрицы, ее анализ. 30. Определение игры, хода, стратегии, цены игры. 31. Классификация игр. 32. Примеры решения матричных игр в задачах реальной экономики. 33. Методы решения матричных игр. 34. Критерии принятия решений в условиях неопределенности. |
| 5.2. Темы письменных работ для проведения текущего контроля (эссе, рефераты, курсовые работы и др.) |
| Задания для практических и домашних работ 1) Используя не менее двух методов кластер – процедур провести классификацию и построить дендограммы для данных точек Варианты: A B C D E 1 (3; 4) (-3; 8) (-2;-6) (5; 7) (6; 0) 2 (8; 4) (-3; 9) (2;-6) (5; -7) (5; 0) 3 (-4; 4) (-3; 0) (5;-6) (3; -7) (7; 0) 4 (-5; 4) (0; 8) (-9;-6) (-2; 7) (6; 5). Задание 1. Два предприятия производят продукцию и поставляют её на рынок региона. Они являются единственными поставщиками продукции в регион, поэтому полностью определяют рынок данной продукции в регионе. Каждое из предприятий имеет возможность производить продукцию с применением одной из пяти различных технологий. В зависимости от качества продукции, произведенной по каждой технологии, предприятия могут установить цену реализации единицы продукции на уровне 10, 8, 6, 4 и 2 денежных единиц соответственно. При этом предприятия имеют различные затраты на производство единицы продукции. В результате маркетингового исследования рынка продукции региона была определена функция спроса на продукцию Y=8 - 0.3-X, где, Y - количество продукции, которое приобретёт население региона (тыс.ед.), а Х-средняя цена продукции предприятий, д.е. Значения долей продукции предприятия 1, приобретенной населением, зависят от соотношения цен на продукцию предприятия 1 и предприятия 2. В результате маркетингового исследования эта зависимость установлена и значения вычислены 1.Существует ли в данной задаче ситуация равновесия при выборе технологий производства продукции обоими предприятиями? 2. Существуют ли технологии, которые предприятия заведомо не будут выбирать вследствие невыгодности? 3. Сколько продукции будет реализовано в ситуации равновесия? Какое предприятие окажется в выигрышном положении? Дайте краткую экономическую интерпретацию результатов решения задачи. Задание 2. Решить задачу 1, изменив исходные данные. Затраты на единицу продукции, произведенной на предприятиях региона (д.е.) и функцию спроса на продукцию: Y=8-(0.3 + 0.1-(N-l))-X Задание 3. Намечается крупномасштабное производство легковых автомобилей. Имеются четыре варианта проекта автомобиля. Определена экономическая эффективность каждого проекта в зависимости от рентабельности производства. По истечении трех сроков рассматриваются как некоторые состояния среды (природы). Значения экономической эффективности для различных проектов и состояний природы приведены. Требуется выбрать лучший проект легкового автомобиля для производства, используя критерии Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица. Сравните решение и сделайте выводы |
| 5.3. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации |
| Итоговая оценка выставляется согласно следующим критериям: Оценка «отлично» выставляется студенту, если он глубоко и прочно усвоил программный материал; исчерпывающе, последовательно, четко и логически стройно излагает его в письменных контрольных работах, умеет тесно увязывать теорию с практикой, свободно справляется с задачами, вопросами и другими видами знаний. Учебные достижения в оцениваемый период и результаты рубежного/текущего контроля демонстрируют высокую степень сформированности соответствующих компетенций. Оценка «хорошо» выставляется студенту, если он твердо знает материал, грамотно и по существу излагает его в письменных контрольных работах, не допуская существенных неточностей в ответе на вопрос, правильно применяет теоретические положения при решении практических вопросов и задач, владеет необходимыми навыками и приемами их выполнения. Учебные достижения в оцениваемый период и результаты рубежного/текущего контроля демонстрируют хорошую степень сформированности соответствующих компетенций. Оценка « удовлетворительно» выставляется студенту, если он имеет знания только основного материала, но не усвоил его деталей, допускает неточности, недостаточно правильные формулировки, нарушения логической последовательности в письменных контрольных работах. Учебные достижения в оцениваемый период и результаты рубежного/текущего контроля демонстрируют удовлетворительную степень сформированности соответствующих компетенций. Оценка «неудовлетворительно» выставляется студенту, который не знает значительной части программного материала, допускает существенные ошибки, неуверенно, с большими затруднениями отвечает на вопросы письменной контрольной работы. Учебные достижения в оцениваемый период и результаты рубежного/текущего контроля демонстрируют низкую степень сформированности соответствующих компетенций. Примеры контрольных работ Тема 2. Задачи математического программирования и их приложения Контрольная работа 1. Пусть = { ∈ 2| ∈ [0,2]×[0,1]} а множество = { ∈ 2| |||| 2 ≤ 1} Является ли множество X\D выпуклым? 2. На рисунке приведены линии уровня некоторой функции (), подпись соответствует значению функции на соответствующем множестве уровня {|() = }, = 1,2,3… Вопрос: какими свойствами обладает функция : Является ли она выпуклой, вогнутой, квазивыпуклой, квазивогнутой? Темы 3 – 5. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Теория устойчивости движения. Применение дифференциальных уравнений и их систем в моделях экономической динамики. Обыкновенные разностные уравнения. Исследование устойчивости равновесий в экономических моделях с дискретным временем Контрольная работа 1. Найдите общее решение дифференциального уравнения . y e x y 1 0 21 2. Простейшее предположение относительно роста популяции состоит в том, что темп прироста численности постоянен: N ( t ) / N ( t ) (t, N) качественную картину поведения траекторий. r . Изобразите на плоскости |
| 6.1. Рекомендуемая литература | ||||
| 6.1.1. Основная литература | ||||
| Авторы | Заглавие | Издательство, год | Эл. адрес | |
| Л1.1 | Шевалдина, О. Я. | Математика в экономике : Учебное псобие для СПО | Юрайт, 2020 | urait.ru |
| 6.1.2. Дополнительная литература | ||||
| Авторы | Заглавие | Издательство, год | Эл. адрес | |
| Л2.1 | Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М. ; Под общ. ред. Кремера Н.Ш. | МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ: ОТ АРИФМЕТИКИ ДО ЭКОНОМЕТРИКИ. УЧЕБНО-СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ 4-е изд., пер. и доп для академического бакалавриата: | М.:Издательство Юрайт, 2019 | biblio-online.ru |
| 6.1.3. Дополнительные источники | ||||
| Авторы | Заглавие | Издательство, год | Эл. адрес | |
| Л3.1 | Н. Ш. Кремер [и др.] | Высшая математика для экономистов: учеб. для вузов | М.: ЮНИТИ, 2004 | |
| Л3.2 | Красс М. С. | МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ. БАЗОВЫЙ КУРС 2-е изд., испр. и доп. Учебник для бакалавров: Гриф УМО ВО | М.:Издательство Юрайт, 2018 | biblio-online.ru |
| 6.2. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет" | ||||
| Название | Эл. адрес | |||
| Э1 | математика в экономике | portal.edu.asu.ru | ||
| 6.3. Перечень программного обеспечения | ||||
| 6.4. Перечень информационных справочных систем | ||||
| Лекции Раздел 1. Многомерные статистические методы исследования в экономике. Многомерный анализ как один из наиболее действенных количественных инструментов исследования социально-экономических процессов, описываемых большим числом характеристик. Кластерный анализ: постановка задачи, построение дендрограммы, иерархические и неиерархические структуры, агломеративные и дивизитивные иерархические методы. Факторный анализ, и его использование в исследовании связи, выделение латентных переменных (факторов), интерпретация факторных нагрузок и факторных весов, моделирование значений наблюдаемых переменных на основе выделенных латентных факторов. Многомерное шкалирование, построение геометрического образа экономического пространства, метрические и неметрические методы шкалирования, показатель «стресса». Раздел 2. Теоретико-вероятностные основы математического моделирования. Вероятностное моделирование как основа принятия решений в условиях неопределенности. Элементы теории стратегических игр, основные критерии выбора лучшей стратегии при управлении, теоретико-игровой подход к анализу данных. Временные ряды при изучении динамики экономических явлений, тренд, сезонность. Раздел 3. Анализ основных моделей экономики . Модель торговли, модель экспорта и импорта, модели спроса и потребления, модели управления запасами, модель выравнивания цен, модель Вольтера-Лотка, модель Холлинга-Тэннера и др. Анализ устойчивости моделей к изменениям внутри системы и внешней среды. Практические занятия 1. Многомерные статистические методы исследования в экономике. Этапы построения моделей, определение вида модели и метода решения задачи на основе математической модели. Кластерный анализ: меры сходства (расстояния), вычисление расстояний, меры объединения или связи, построение дендрограммы, агломеративные и дивизитивные иерархические методы (денограммы), последовательный кластерный анализ, метод к – средних. Факторный анализ: нахождение корреляционной матрицы, определение оптимального количества собственных чисел матрицы (количества факторов), критерий Кайзера, критерий факторной осыпи, выделение латентных переменных (факторов), нахождение и интерпретация матрицы факторных нагрузок и факторных весов, моделирование значений наблюдаемых переменных на основе выделенных латентных факторов. Многомерное шкалирование, построение геометрического образа экономического пространства, метрические и неметрические методы шкалирования, показатель «стресса» . Дискриминантный анализ: построение дискриминантных функций, оценка их качества, классификация объектов с помощью дискриминантных функций. 2. Теоретико-вероятностные основы математического моделирования. Принятие решений в условиях неопределенности. Элементы теории стратегических игр, основные критерии выбора лучшей стратегии при управлении, теоретико-игровой подход к анализу данных. Временные ряды при изучении динамики экономических явлений, тренд, сезонность, построение моделей с аддитивной и мультипликативной сезонностью. 3. Анализ основных моделей экономики. Модель торговли, модель экспорта и импорта, модели спроса и потребления, модели управления запасами, модель выравнивания цен, модель Вольтера-Лотка, модель Холлинга-Тэннера и др. Анализ устойчивости моделей к изменениям внутри системы и внешней среды. Лабораторные занятия MATHCAD: решение систем линейных и нелинейных уравнений, построение графиков функций, знакомство с функциями, предназначенными для решения задач линейной алгебры. Вычисление собственных векторов и собственных значений матриц. STATISTICA: кластерный анализ, факторный анализ, многомерное шкалирование, дискриминантный анализ. ПОИСК РЕШЕНИЯ: решение задач линейного программирования, двойственные задачи, анализ устойчивости двойственных оценок, компьютерное решение задач теории игр, транспортных задач и др. путем сведения их к задаче линейного программирования. EXCEL: анализ временных рядов, построение трендов, выбор оптимального тренда, построение моделей с аддитивной и мультипликативной сезонностью. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА Студентам необходимо самостоятельно повторять ранее изученные понятия по математике и эконометрике из следующих разделов: - линейная алгебра; - линейное программирование; - классические методы оптимизации; - дисперсионный анализ; - регрессионный анализ; |