МИНОБРНАУКИ РОССИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Алтайский государственный университет»

Моделирование природных процессов

рабочая программа дисциплины
Закреплена за кафедройКафедра дифференциальных уравнений
Направление подготовки01.03.02. Прикладная математика и информатика
ПрофильМатематическое и компьютерное моделирование в природных и индустриальных системах
Форма обученияОчная
Общая трудоемкость4 ЗЕТ
Учебный план01_03_02_Прикладная математика и информатика_МКМПиИС-2025
Часов по учебному плану 144
в том числе:
аудиторные занятия 56
самостоятельная работа 61
контроль 27
Виды контроля по семестрам
экзамены: 6

Распределение часов по семестрам

Курс (семестр) 3 (6) Итого
Недель 21,5
Вид занятий УПРПДУПРПД
Лекции 20 20 20 20
Лабораторные 36 0 36 0
Сам. работа 61 61 61 61
Часы на контроль 27 27 27 27
Итого 144 108 144 108

Программу составил(и):
доцент, заведующий кафедрой, Папин Александр Алексеевич

Рецензент(ы):
д.ф.-м.н., профессор, Родионов Е.Д.

Рабочая программа дисциплины
Моделирование природных процессов

разработана в соответствии с ФГОС:
Федеральный государственный образовательный стандарт высшего образования - бакалавриат по направлению подготовки 01.03.02 Прикладная математика и информатика (приказ Минобрнауки России от 10.01.2018 г. № 9)

составлена на основании учебного плана:
01.03.02 Прикладная математика и информатика
утвержденного учёным советом вуза от 03.05.2024 протокол № 7.

Рабочая программа одобрена на заседании кафедры
Кафедра дифференциальных уравнений

Протокол от 01.07.2025 г. № 8
Срок действия программы: 2025-2026 уч. г.

Заведующий кафедрой
д. ф.-м. н. Папин Александр Алексеевич, профессор кафедры дифференциальных уравнений


1. Цели освоения дисциплины

1.1.обучение основным понятиям и методам математического моделироания для анализа явлений и процессов различной природы и разработки эффективных математических методов решения задач естествознания;
овладение классическими математичскими моделями и методами качественного исследования и решения рассмотренных моделей;
ознакомление студентов с принципами построения математических моделей

2. Место дисциплины в структуре ООП

Цикл (раздел) ООП: Б1.О.05

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

ПК-1Способен осуществлять научно-исследовательскую деятельность, связанную с разработкой математических моделей сложных систем, алгоритмов, методов, программного обеспечения, инструментальных средств в соответствии с профилем профессиональной деятельности с использованием современных достижений науки и техники
ПК-1.1 Знает основные понятия, методы и подходы теоретических и экспериментальных исследований в области математического моделирования сложных систем
ПК-1.2 Ориентируется в современных математических методах, вычислительной технике и информационных технологиях
ПК-1.3 Имеет навыки обработки экспериментальных данных в области математического моделирования сложных систем
ПК-1.4 Имеет навыки применения/разработки информационных технологий для решения прикладных задач анализа сложных систем
ПК-1.5 Имеет навыки проектирования и создания комплексов программ для решения прикладных задач анализа сложных систем
В результате освоения дисциплины обучающийся должен
3.1.Знать:
3.1.1.о наиболее употребительных математических моделях
3.2.Уметь:
3.2.1.применять основные понятия и общие принципы механики континуума
3.3.Иметь навыки и (или) опыт деятельности (владеть):
3.3.1.моделированием при анализе проблем механики сплошных сред

4. Структура и содержание дисциплины

Код занятия Наименование разделов и тем Вид занятия Семестр Часов Компетенции Литература
Раздел 1. Математический аппарат
1.1. Базис, кобазис, ортобазис, ковариантные и контравариантные компоненты вектора, матрица перехода. Линейные отображения из Rn в Rm, матрица линейного отображения, композиция отображений. Случай n = m: невырожденное линейное отображение, собственный вектор, собственное значение, характеристическое уравнение, инварианты отображения, тождество Гамильтона - Кэли, скалярное произведение отображений. Случай m = 1: линейные формы, сопряженное пространство. Билинейные формы. Фундаментальная форма пространства Rn. Сопряженное линейное пространство. Симметричность. Прямая сумма симметричного и исимметричного линейных отображений. Случай n = 3. Векторное произведение a * b = E < a> . Группа ортогональных преобразований, представление группы. Изотропные функции, теорема о представлении изотропной функции. Полилинейные отображения. Тензоры. Ковариантные, контравариантные, смешанные компоненты. Преобразование компонент.Фундаментальный тензор. Операции: умножение на число, сложение, умножение тензоров, свертывание, кроне. Непрерывность отображения u. Дифференцируемость u., дифференцируемость, производное отображение, дифференцируемость композиции. Случай n = 1. Матрица Якоби. Случай m = 1 (градиент). Случай n = m (дивергенция, якобиан отображения). Дивергенция тензора. Ротор вектора (n = m = 3). Вторая производная, симметричность, оператор Лапласа. Высшие производные. Мера Лебега, объемы, аддитивные фунуции множества, интеграл, поверхностные мера и интеграл, теорема Гаусса - Остроградского. Прямые и обратные задачи теории упругости; модели пластических тел; модели механики жидкости и газа. Лекции 6 2 Л1.1, Л2.1
1.2. Криволинейные системы координат Арифметическое пространство А3. Система координат, базис и кобазис. Преобразование системы координат, ортогональные системы. Коэффициенты Ламе. Символы Кристоффеля. Прямое и обратное уравнения Колмогорова; метод Монте-Карло. Тензорные поля Производный тензор, ковариантные производные. Векторые операции: градиент функции, производная вектора, дивергенция вектора, оператор Лапласа от функции и вектора, ротор вектора, дивергенция тензора, физические компоненты. Математические модели в экономике; качественные имитационные и реляционные модели в оптимизации; источники противоречий в экономике и их моделирование. Лекции 6 2 Л1.1, Л2.1
1.3. Дифференциальные уравнения Задача Коши и ее разрешимость. Восстановление отображения по его производной. Теорема единственности. Теорема Фробениуса. Методы принятия решений в условиях нечеткой и неточной информации, в условиях неопределенности; статистические модели; модель Леонтьева “затраты-выпуск”; условия Хокина-Саймона. Лекции 6 1 Л1.1, Л2.1
1.4. Разбор лекций, решение задач, выполнение домашних заданий, подготовка к контрольной работе. Сам. работа 6 20 Л1.1, Л2.1
Раздел 2. Предмет и метод механики сплошной среды
2.1. Молекулярно-кинетическая и феноменологическая теории. Понятие о средних величинах. Связь с существованием решения в модели Леонтьева; условия Бауэра-Солоу существования решения; динамические модели межотраслевого баланса. Основные определения и аксиомы. Пространство-время. Материальный континуум. Плотность. Перемещение. Движение. Скорость частицы. Переменные Эйлера и Лагранжа. Полная производная. Импульс, момент импульса, кинетическая энергия, полная энергия. Аксиома баланса (принцип "отвердевания"). Внешние массовые силы. Внутренние поверхностные силы (вектор напряжений). Поток тепла. Модель М1. Равновесие в модели динамического межотраслевого баланса; модель Гейла; теорема о существовании равновесия в модели Гейла; качественные исследования оптимальных траекторий динамических моделей. Основные определения и аксиомы. Пространство-время. Материальный континуум. Плотность. Перемещение. Движение. Скорость частицы. Переменные Эйлера и Лагранжа. Полная производная. Импульс, момент импульса, кинетическая энергия, полная энергия. Аксиома баланса (принцип "отвердевания"). Внешние массовые силы. Внутренние поверхностные силы (вектор напряжений). Поток тепла. Модель М1. Равновесие в модели динамического межотраслевого баланса; модель Гейла; теорема о существовании равновесия в модели Гейла; качественные исследования оптимальных траекторий динамических моделей. Лекции 6 4 Л1.1, Л2.1
2.2. Непрерывное движение. Первая основная теорема механики сплошных сред. Тензор напряжений. Теорема о симметрии тензора напряжений. Теорема существования вектора потока тепла. Тензор скоростей деформаций. Модель непрерывных движений М2. Конкурентное равновесие и равновесие цены; существование равновесия в модели Эрроу-Дебре; динамическое равновесие. Лекции 6 2 Л1.1, Л2.1
2.3. Элементы термодинамики. Параметры состояния. Обратимые и необратимые процессы. Энтропия. Первый закон териодинамики Второй закон термодинамики. Основное термодинамическое тождество. Тензор напряжений Нормальные и касательные напряжения, главный базис, нормальные напряжения, квадрика напряжений. Круги Мора, среднее нормальное напряжение, девиатор напряжений. Тензор деформаций. Вектор перемещения частицы. Относительные удлинения и сдвиг. Тензор дисторсии. Тензор деформаций в лагранжевом и эйлеровом описаниях. Производная по времени тензора деформаций. Линейная теория. Определение перемещения по деформации. Постановка задачи.Теорема единственности. Условие совместности. Линейная теория (условия Сен - Венана) Лекции 6 1 Л1.1, Л2.1
2.4. Разбор лекций, решение задач, выполнение домашних заданий, подготовка к контрольной работе. Сам. работа 6 21 Л1.1, Л2.1
Раздел 3. Классические модели механики сплошных сред.
3.1. Жидкости и газы. Аксиомы Стокса, модель М3. Аксиома линейности, модель М4. Ддиссипативная функция. Модель несжимаемой жидкости М5 (уравнения Навье-Стокса). Модель идеальной жидкости М6 (уравнения Эйлера). Идеальный газ (модель М7). Диссипативные процессы. Парадокс Даламбера. Лекции 6 2 Л1.1, Л2.1
3.2. Деформируемые твердые тела. Лемма о плотности среды. Модель М8 (уравнения термоупругости). Закон Дюамеля - Неймана, модель М9 линейной термоупругости.Линейная теория упругости. Закон Гука, уравнения Ламе. Модуль Юнга, коэффициент Пуассона. Задача о равновесии в напряжениях и перемещениях. Условия совместности для тензора напряжений. Лекции 6 2 Л1.1, Л2.1
3.3. Сильный разрыв. Понятие обобщенного решения. Движение с сильным разрывом. Уравнения сильного разрыва, контактный разрыв, ударная волна. Субмоделирование. Элементы теории размерностей. Теорема Букингема. Лекции 6 2 Л1.1, Л2.1
3.4. Усложненные модели. Многофазные среды. Анизотропные среды. Вязкоупругие среды. Ползучесть, релаксация. Элементы Максвелла и Фойгта. Электромагнитные среды. Магнитогидродинамическое приближение. Лекции 6 2 Л1.1, Л2.1
3.5. Разбор лекций, решение задач, выполнение домашних заданий, подготовка к контрольной работе. Сам. работа 6 20 Л1.1, Л2.1

5. Фонд оценочных средств

5.1. Контрольные вопросы и задания для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
Указано в ФОС дисциплины
5.2. Темы письменных работ для проведения текущего контроля (эссе, рефераты, курсовые работы и др.)
Указано в ФОС дисциплины
5.3. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
Указано в ФОС дисциплины

6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

6.1. Рекомендуемая литература
6.1.1. Основная литература
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л1.1 Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Основы механики сплошной среды. Курс лекций: Учебное пособие Физматлт, 2006 biblioclub.ru
6.1.2. Дополнительная литература
Авторы Заглавие Издательство, год Эл. адрес
Л2.1 Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: учебное пособие. В 10 т. Т. 6. Гидродинамика: учебное пособие Физматлит, 2001 e.lanbook.com
6.2. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет"
Название Эл. адрес
Э1 Электронная библиотечная система Алтайского государственного университета : www.elibrary.ru
Э2 Электронно-библиотечная система издательства "Лань": www.e.lanbook.com
Э3 Электронно-библиотечная система "Университетская библиотека Online": www.biblioclub.ru
Э4 Курс на образовательном портале MOODLE portal.edu.asu.ru
6.3. Перечень программного обеспечения
Программное обеспечение для проведения практических работ: Microsoft Office Excel, Microsoft Office Word, Adobe Reader.
Microsoft Office 2010 (Office 2010 Professional, № 4065231 от 08.12.2010), (бессрочно);
Microsoft Windows 7 (Windows 7 Professional, № 61834699 от 22.04.2013), (бессрочно);
Chrome (http://www.chromium.org/chromium-os/licenses), (бессрочно); 7-Zip (http://www.7-zip.org/license.txt), (бессрочно);
AcrobatReader (http://wwwimages.adobe.com/content/dam/Adobe/en/legal/servicetou/Acrobat_com_Additional_TOU-en_US-20140618_1200.pdf), (бессрочно);
ASTRA LINUX SPECIAL EDITION (https://astralinux.ru/products/astra-linux-special-edition/), (бессрочно);
LibreOffice (https://ru.libreoffice.org/), (бессрочно);
Веб-браузер Chromium (https://www.chromium.org/Home/), (бессрочно);
Антивирус Касперский (https://www.kaspersky.ru/), (до 23 июня 2024);
Архиватор Ark (https://apps.kde.org/ark/), (бессрочно);
Okular (https://okular.kde.org/ru/download/), (бессрочно);
Редактор изображений Gimp (https://www.gimp.org/), (бессрочно)
6.4. Перечень информационных справочных систем
http://univertv.ru/video/matematika/ Открытый образовательный видеопортал UniverTV.ru. Образовательные фильмы на различные темы. Лекции в ведущих рос-сийских и зарубежных вузах. Научная конференция или научно-популярная лекция по интересующему вас вопросу.

2. http://elibrary.ru Научная электронная библиотека eLIBRARY.RU. Крупнейший рос-сийский информационный портал в области науки, технологии, медицины и образо-вания, содержащий рефераты и полные тексты более 12 млн научных статей и публикаций. На платформе eLIBRARY.RU доступны электронные версии более 1400 рос-сийских научно-технических журналов, в том числе более 500 журналов в открытом доступе.

3. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library.htm EqWorld – мир математических уравнений. Учебно-образовательная физико-математическая библиотека. Электронная библиотека содержит DjVu- и PDF-файлы учебников, учебных пособий, сборников задач и упражнений, конспектов лекций, монографий, справочников и диссертаций по математике, механике и физике. Все материалы присланы авторами и читателями или взяты из Интернета (из www архивов открытого доступа). Основной фонд библиотеки составляют книги, издававшиеся тридцать и более лет назад.

4. Множество полезных материалов опубликованы на сайте Интернет-университета информационных технологий «Интуит» по адресу http://www.intuit.ru.

5. Дополнительные материалы доступны на онлайн-ресурсе издательства «Лань» (http://e.lanbook.com/) и интернет-портале «Университетская библиотека онлайн» (http://www.biblioclub.ru/).

7. Материально-техническое обеспечение дисциплины

Аудитория Назначение Оборудование
Учебная аудитория для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), проведения практик Стандартное оборудование (учебная мебель для обучающихся, рабочее место преподавателя, доска)
Учебная аудитория для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского типа (лабораторных и(или) практических), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), проведения практик Стандартное оборудование (учебная мебель для обучающихся, рабочее место преподавателя, доска)
Помещение для самостоятельной работы помещение для самостоятельной работы обучающихся Компьютеры, ноутбуки с подключением к информационно-телекоммуникационной сети «Интернет», доступом в электронную информационно-образовательную среду АлтГУ

8. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

По дисциплине предусмотрены контрольные работы. В конце курса сдается экзамен.


В экзаменационный билет включен один теоретический вопрос. Экзамен проводится в устной форме. На подготовку ответа на вопрос и решение дополнительной задачи студенту отводится 45 минут. За ответ на теоретический вопрос студент может получить 60 баллов.На практических занятиях студент может получить за весь курс максимально 40 баллов, которые защитываются в общую сумму. Решение дополнительной задачи по теме практических заданий позволяет повысить оценку за соответствующее задание. В процессе усвоения дисциплины предусмотрено выполнение практических заданий и выполнение устного доклада по выбранной теме (подготовка проходит самостоятельно). Успешная защита доклада позволяет повысить итоговую оценку за изучаемый курс.

По результатам экзамена с учетом оценивания активности работы на лекционных и практических занятиях, посещаемости, выполнения домашних заданий может быть выставлена оценка по дисциплине.

Методические материалы, лекции, сборники задач, вопросы для подготовки к экзамену и перечень необходимой литературы представлен на образовательном портале АлтГУ http://portal.edu.asu.ru/.

Список вопросов, примеры практических заданий, вопросы для самостоятельного изучения указаны в ФОС дисциплины.